Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.3

Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Παραγοντοποίηση = το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Από άθροισμα → γινόμενο. Είναι το κλειδί που ξεκλειδώνει εξισώσεις 2ου βαθμού, απλοποιήσεις και αποδείξεις. 5 μέθοδοι, ένας στόχος.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τι είναι παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση: μετατροπή μιας παράστασης από ΑΘΡΟΙΣΜΑ σε ΓΙΝΟΜΕΝΟ.

Εργαλεία: η επιμεριστική ιδιότητα και οι αξιοσημείωτες ταυτότητες.

Ένα πολυώνυμο είναι «πλήρως παραγοντοποιημένο» όταν κανένας παράγοντας δεν παραγοντοποιείται άλλο.

Μέθοδος 1 — Κοινός παράγοντας

Αν όλοι οι όροι έχουν κοινό παράγοντα, τον βγάζεις έξω: .

← βγάζεις τον ΜΕΓΙΣΤΟ κοινό παράγοντα

💡 Θυμάμαι:Βγάλε πάντα τον ΜΕΓΙΣΤΟ κοινό παράγοντα. Το είναι πλήρες — ο παραγοντοποιείται κι άλλο.

Μέθοδος 2 — Ομαδοποίηση

Όταν δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους, χωρίζεις σε ομάδες:

📝 Παράδειγμα
Παραγοντοποίησε: .
  1. 1η ομάδα : κοινός ² → .
  2. 2η ομάδα : κοινός 3 → .
  3. Κοινός : .
=

Μέθοδος 3 — Διαφορά τετραγώνων

. Όταν έχεις διαφορά δύο τετραγώνων.

Μέθοδος 4 — Ανάπτυγμα τετραγώνου

και .

Όταν το τριώνυμο είναι «τέλειο τετράγωνο».

Μέθοδος 5 — Τριώνυμο x²+(β+γ)x+βγ

.

Ψάχνεις δύο αριθμούς με ΑΘΡΟΙΣΜΑ τον συντελεστή του και ΓΙΝΟΜΕΝΟ τον σταθερό όρο.

📝 Παράδειγμα
Παραγοντοποίησε: .
  1. Ψάχνω δύο αριθμούς: άθροισμα 7, γινόμενο 12.
  2. Δοκιμές: 3 και 4 (3+4=7, 3·4=12 ✓).
  3. .
=

★ Λύση εξίσωσης με παραγοντοποίηση

Κανόνας: αν , τότε Ή .

Παραγοντοποιείς, μηδενίζεις κάθε παράγοντα.

📝 Παράδειγμα
Λύσε: .
  1. Παραγοντοποίηση: .
  2. ή .
  3. ή .
= ή

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Το είναι πλήρως παραγοντοποιημένο.
Σωστό / Λάθος · 2
Ισχύει .
Σωστό / Λάθος · 3
Αν , τότε αναγκαστικά και ταυτόχρονα.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Παραγοντοποίησε: .
Πολλαπλής επιλογής · 5
Παραγοντοποίησε το τριώνυμο .
Πολλαπλής επιλογής · 6
Λύσε: .

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Παραγοντοποίησε: .
  1. Άθροισμα 3, γινόμενο −10 (ετερόσημοι, αφού γινόμενο αρνητικό).
  2. Δοκιμές: 5 και −2 (5+(−2)=3, 5·(−2)=−10 ✓).
  3. .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 2
Παραγοντοποίησε: .
  1. Κανονική μορφή: .
  2. Ελέγχω αν είναι τέλειο τετράγωνο: .
  3. Άρα .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Παραγοντοποίησε με ομαδοποίηση: .
  1. Αναδιάταξη: .
  2. 1η ομάδα η ομάδα .
  3. Κοινός : .
✓ Απάντηση:

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Παραγοντοποίησε: .
Πολλαπλής επιλογής · 8
Παραγοντοποίησε: .
Πολλαπλής επιλογής · 9
Παραγοντοποίησε: .
Πολλαπλής επιλογής · 10
Λύσε: .
Πολλαπλής επιλογής · 11
Νοερά με ταυτότητα: 75−75.

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί η παραγοντοποίηση επιτρέπει να λύνουμε εξισώσεις όπως ;

0/12 ερωτήσεις απαντημένες — συνέχισε για να δεις το σκορ σου

▶ Επόμενη: §2.4 Ρητές Παραστάσεις← Πίσω στην τάξη

Γιατί το χρειάζεσαι; Λύση εξισώσεων x²+5x+6=0 (φυσική: πότε ένα σώμα αγγίζει το έδαφος), απλοποίηση κλασμάτων, κρυπτογραφία (παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών = η βάση του RSA).

MathHub.grΦύλλο εργασίας
Γ΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.3

Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Τι είναι παραγοντοποίηση
  • Παραγοντοποίηση: μετατροπή μιας παράστασης από ΑΘΡΟΙΣΜΑ σε ΓΙΝΟΜΕΝΟ.
  • Εργαλεία: η επιμεριστική ιδιότητα και οι αξιοσημείωτες ταυτότητες.
  • Ένα πολυώνυμο είναι «πλήρως παραγοντοποιημένο» όταν κανένας παράγοντας δεν παραγοντοποιείται άλλο.
Μέθοδος 1 — Κοινός παράγοντας
  • Αν όλοι οι όροι έχουν κοινό παράγοντα, τον βγάζεις έξω: .
  • ← βγάζεις τον ΜΕΓΙΣΤΟ κοινό παράγοντα
Μέθοδος 2 — Ομαδοποίηση
  • Όταν δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους, χωρίζεις σε ομάδες:
Μέθοδος 3 — Διαφορά τετραγώνων
  • . Όταν έχεις διαφορά δύο τετραγώνων.
Μέθοδος 4 — Ανάπτυγμα τετραγώνου
  • και .
  • Όταν το τριώνυμο είναι «τέλειο τετράγωνο».
Μέθοδος 5 — Τριώνυμο x²+(β+γ)x+βγ
  • .
  • Ψάχνεις δύο αριθμούς με ΑΘΡΟΙΣΜΑ τον συντελεστή του και ΓΙΝΟΜΕΝΟ τον σταθερό όρο.
Λύση εξίσωσης με παραγοντοποίηση
  • Κανόνας: αν , τότε Ή .
  • Παραγοντοποιείς, μηδενίζεις κάθε παράγοντα.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Το είναι πλήρως παραγοντοποιημένο.Σ ◻  Λ ◻
2.
Ισχύει .Σ ◻  Λ ◻
3.
Αν , τότε αναγκαστικά και ταυτόχρονα.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Παραγοντοποίησε: .
Α) Β) Γ) Δ)
2.
Παραγοντοποίησε το τριώνυμο .
Α) Β) Γ) Δ)
3.
Λύσε: .
Α) ή Β) ή Γ) Δ) ή
4.
Παραγοντοποίησε: .
Α) Β) Γ) Δ)
5.
Παραγοντοποίησε: .
Α) Β) Γ) Δ)
6.
Παραγοντοποίησε: .
Α) Β) Γ) Δ)
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Παραγοντοποίησε: .
8.
Παραγοντοποίησε: .
9.
Παραγοντοποίησε με ομαδοποίηση: .
Λύσεις · Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων
Α. Σωστό / Λάθος
1. Λάθος2. Σωστό3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Α) Κοινός παράγοντας : .
  2. Α) Άθροισμα 7, γινόμενο 10 → 2 και 5. Άρα .
  3. Α) → ή → ή .
  4. Α) (ανάπτυγμα τετραγώνου).
  5. Α) Κοινός 2: (διαφορά τετραγώνων μέσα).
  6. Α) Άθροισμα −6, γινόμενο 8 (ομόσημοι αρνητικοί) → −2 και −4. Άρα .
Β. Ανάπτυξη
  1. Άθροισμα 3, γινόμενο −10 (ετερόσημοι, αφού γινόμενο αρνητικό). → Δοκιμές: 5 και −2 (5+(−2)=3, 5·(−2)=−10 ✓). → . ⟹
  2. Κανονική μορφή: . → Ελέγχω αν είναι τέλειο τετράγωνο: . → Άρα . ⟹
  3. Αναδιάταξη: . → 1η ομάδα η ομάδα . → Κοινός : . ⟹
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός