Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.2

Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Τρεις τύποι-«κλειδιά» που εμφανίζονται ξανά και ξανά στα μαθηματικά. Μάθε τους απ' έξω και υπολογίζεις το 61² στο μυαλό σου, αναπτύσσεις τετράγωνα ακαριαία, και ανοίγεις την πόρτα στην παραγοντοποίηση.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τι είναι ταυτότητα

Ταυτότητα: ισότητα με μεταβλητές που αληθεύει για ΟΛΕΣ τις τιμές τους.

Π.χ. $x (2 x + y) = 2 x^{2} + x y$ είναι ταυτότητα (ισχύει πάντα).

Αντίθετα, $4 x = 8 ΔΕΝ$ είναι ταυτότητα (ισχύει μόνο για $x$ =2).

★ Ταυτότητα 1 — Τετράγωνο αθροίσματος

$(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$

«Τετράγωνο πρώτου + διπλάσιο γινόμενο + τετράγωνο δεύτερου».

Απόδειξη: $(α + β) (α + β) = α^{2} + α β + β α + β^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ .

📝 Παράδειγμα

Ανάπτυξε:

(3 x + 2 z)^{2}

Πρώτος όρος $3 x$ , δεύτερος $2 z$ .
$(3 x)^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot (2 z) + (2 z)^{2}$
$= 9 x^{2} + 12 x z + 4 z^{2}$ .

9 x^{2} + 12 x z + 4 z^{2}

★ Ταυτότητα 2 — Τετράγωνο διαφοράς

$(α - β)^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}$

«Τετράγωνο πρώτου − διπλάσιο γινόμενο + τετράγωνο δεύτερου».

ΠΡΟΣΟΧΗ: το $+ β^{2}$ στο τέλος είναι ΘΕΤΙΚΟ (αφού (−β)²=+ $β^{2}$ ).

📝 Παράδειγμα

Ανάπτυξε:

(2 y - α)^{2}

$(2 y)^{2} - 2 \cdot (2 y) \cdot α + α^{2}$
$= 4 y^{2} - 4 α y + α^{2}$ .

4 y^{2} - 4 α y + α^{2}

★ Ταυτότητα 3 — Άθροισμα επί διαφορά

$(α + β) (α - β) = α^{2} - β^{2}$

«Διαφορά τετραγώνων». Οι μεσαίοι όροι αναιρούνται.

Απόδειξη: $α^{2} - α β + α β - β^{2} = α^{2} - β^{2}$ .

📝 Παράδειγμα

Νοερά: 49·51.

$49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1)$
$= 5 0^{2} - 1^{2} = 2500 - 1 = 2499$ .

= 2499

Νοεροί υπολογισμοί δυνάμεων

$6 1^{2} = (60 + 1)^{2} = 3600 + 120 + 1 = 3721$ .

$7 9^{2} = (80 - 1)^{2} = 6400 - 160 + 1 = 6241$ .

Χρήσιμο κόλπο: σπάσε σε στρογγυλό ± μικρό.

Χρήσιμη συνέπεια

Από $(α + β)^{2}$ : $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ .

Αν $α + β = 3$ και $α β = - 18$ : $α^{2} + β^{2} = 3^{2} - 2 (- 18) = 9 + 36 = 45$ .

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Ισχύει

(α + β)^{2} = α^{2} + β^{2}

Σωστό / Λάθος · 2

Η ισότητα

4 x = 8

είναι ταυτότητα.

Σωστό / Λάθος · 3

Ισχύει

(α - β)^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}

(με

+ β^{2}

στο τέλος).

Πολλαπλής επιλογής · 4

Το ανάπτυγμα του

(2 x + 1)^{2}

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο κάνει

(x - 5) (x + 5)

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Νοερά: 201·199.

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Ανάπτυξε:

(5 x + 3)^{2}

και

(6 - 3 x)^{2}

$(5 x + 3)^{2} = (5 x)^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot 3 + 3^{2} = 25 x^{2} + 30 x + 9$ .
$(6 - 3 x)^{2} = 6^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 x + (3 x)^{2} = 36 - 36 x + 9 x^{2}, δηλ$ . $9 x^{2} - 36 x + 36$ .

✓ Απάντηση:

25 x^{2} + 30 x + 9

και

9 x^{2} - 36 x + 36

Άσκηση 2

Πράξεις:

(2 x - 3)^{2} - 2 (3 x - 1) (3 x + 1)

$(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .
$(3 x - 1) (3 x + 1) = 9 x^{2} - 1$ , άρα $- 2 \cdot (9 x^{2} - 1) = - 18 x^{2} + 2$ .
Σύνολο: $4 x^{2} - 12 x + 9 - 18 x^{2} + 2 = - 14 x^{2} - 12 x + 11$ .

✓ Απάντηση:

- 14 x^{2} - 12 x + 11

Άσκηση 3

Αν

α + β = 3

και

α β = - 18

, βρες

α^{2} + β^{2}

Από $(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ → $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ .
$= 3^{2} - 2 \cdot (- 18) = 9 + 36 = 45$ .

✓ Απάντηση: 45

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Ανάπτυξε:

(1 - 2 y)^{2}

Πολλαπλής επιλογής · 8

Συμπλήρωσε: (□+7)² = □

+ 28 x +

□. Ο πρώτος όρος;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Νοερά: 10

5^{2}

Πολλαπλής επιλογής · 10

Αν

x + y = 5

και

x y = 4

, πόσο κάνει

x^{2} + y^{2}

;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Πόσο κάνει (

11

−

8

)(

11

8

);

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί στο

(α + β) (α - β)

«εξαφανίζονται» οι μεσαίοι όροι, αφήνοντας μόνο

α^{2} - β^{2}

;

Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

Θεωρία

Τι είναι ταυτότητα

★ Ταυτότητα 1 — Τετράγωνο αθροίσματος

★ Ταυτότητα 2 — Τετράγωνο διαφοράς

★ Ταυτότητα 3 — Άθροισμα επί διαφορά

Νοεροί υπολογισμοί δυνάμεων

Χρήσιμη συνέπεια

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Τι είναι ταυτότητα

★ Ταυτότητα 1 — Τετράγωνο αθροίσματος

★ Ταυτότητα 2 — Τετράγωνο διαφοράς

★ Ταυτότητα 3 — Άθροισμα επί διαφορά

Νοεροί υπολογισμοί δυνάμεων

Χρήσιμη συνέπεια

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης