Όλος ο ορισμός των δυνάμεων επεκτείνεται στους πραγματικούς ($\alpha \in R$):

• ${\alpha }^{\nu }=\alpha \cdot \alpha \cdot$…·α (ν παράγοντες), για $\nu >1$.

• ${\alpha }^1=\alpha$.

• ${\alpha }^0=1$ (για $\alpha \ne 0$).

• ${\alpha }^{-\nu }=\frac{1}{{\alpha }^{\nu }}$ (για $\alpha \ne 0$).

Π.χ. $(\sqrt{6}{)}^2=6,(\sqrt{7})\cdot (\sqrt{7})\cdot (\sqrt{7})=(\sqrt{7}{)}^3$.

Για α, β ∈ $R(\ne 0)$ και ακέραιους μ, ν:

${\alpha }^{\mu }\cdot {\alpha }^{\nu }={\alpha }^{\mu +\nu }$

${\alpha }^{\mu }$ : ${\alpha }^{\nu }={\alpha }^{\mu -\nu }$

$({\alpha }^{\mu }{)}^{\nu }={\alpha }^{\mu \cdot \nu }$

${\alpha }^{\nu }\cdot {\beta }^{\nu }=(\alpha \beta {)}^{\nu }$

$\frac{{\alpha }^{\nu }}{{\beta }^{\nu }}=(\frac{\alpha }{\beta }{)}^{\nu }$

$(\frac{\alpha }{\beta }{)}^{-\nu }=(\frac{\beta }{\alpha }{)}^{\nu }$

Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες σε μεταβλητές:

$x$⁻$³\cdot (-x{)}^6=x$⁻$³\cdot x^6=x^3$

$(-3\cdot x^3\cdot y{)}^4=(-3{)}^4\cdot (x^3{)}^4\cdot y^4=81\cdot x^{12}\cdot y^4$

Μορφή: $\alpha \cdot 10^{\nu }$, με $1\le \alpha <10$ και ν ακέραιος.

Μεγάλοι: $\mathrm{7.350.000}=7,35\cdot 10^6$.

Μικροί: $0,0000008=8\cdot 10$⁻⁷.

Πράξεις: πολλαπλασιάζω/διαιρώ τους «α», προσθέτω/αφαιρώ εκθέτες.