Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.4

Οι Πράξεις στους Πραγματικούς Αριθμούς

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Πόσο κάνει √7 + (−√7); Μηδέν — χωρίς καμία προσέγγιση! Άλλοτε οι πράξεις με άρρητους δίνουν καθαρό ρητό, άλλοτε πρέπει να προσεγγίσουμε. Σήμερα μαθαίνεις να ξεχωρίζεις.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Οι ιδιότητες ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΝΤΑΙ στους R

Όλες οι ιδιότητες πράξεων από τους ρητούς ισχύουν και στους πραγματικούς (α, β, γ ∈ ):

• Αντιμεταθετική:

• Προσεταιριστική:

• Ουδέτερα:

• Αντίθετοι: . Αντίστροφοι:

• Επιμεριστική:

Πράξεις με άρρητους — δύο σενάρια

ΣΕΝΑΡΙΟ Α: Οι ιδιότητες δίνουν ΚΑΘΑΡΟ ρητό → δεν χρειάζεται προσέγγιση.

+ 2⅜ ⅜ (οι αλληλοαναιρούνται)

ΣΕΝΑΡΙΟ Β: Δεν απλοποιούνται → ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΜΕ με ρητές προσεγγίσεις.

💡 Θυμάμαι:ΚΑΝΟΝΑΣ: Πριν προσεγγίσεις, ΕΛΕΓΞΕ αν οι ιδιότητες δίνουν ρητό. Χάνεις ακρίβεια αν προσεγγίσεις πρόωρα.

Αφαίρεση & διαίρεση

Αφαίρεση = πρόσθεση αντίθετου: .

Διαίρεση = πολλαπλασιασμός αντίστροφου: α : .

📝 Παράδειγμα
Υπολόγισε: .
  1. Ανάπτυξη με διπλή επιμεριστική (προσοχή στα πρόσημα):
  3. .
= −1 (ρητός!)

Προτεραιότητα πράξεων (ίδια)

1. Δυνάμεις. 2. Πολλαπλασιασμοί/διαιρέσεις. 3. Προσθέσεις/αφαιρέσεις.

Παρενθέσεις πρώτα. Ισχύει αυτούσια και στους πραγματικούς.

Πρόσημα γινομένων

Ίδιοι κανόνες: ομόσημοι → +, ετερόσημοι → −.

Π.χ. αν και , τότε (ο , ο → γινόμενο αρνητικό).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Ισχύει .
Σωστό / Λάθος · 2
Για να υπολογίσουμε + 5 − , πρέπει οπωσδήποτε να προσεγγίσουμε τον .
Σωστό / Λάθος · 3
Αν και , ο αριθμός είναι θετικός.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Πόσο κάνει ( + 2)( − 2);
Πολλαπλής επιλογής · 5
Πόσο κάνει ;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Αν α, β αντίθετοι , πόσο κάνει α : β;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Απλοποίησε: .
  1. Επιμεριστική: · + 1· −
  3. .
✓ Απάντηση: 6 (ρητός)
Άσκηση 2
Άθροισμα: .
  1. Άνοιγμα (αφαίρεση = πρόσθεση αντιθέτου): .
  2. α: . β: . γ: .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Απλοποίησε , μετά βρες τιμή αν και .
  1. Άνοιγμα: .
  2. Ομαδοποίηση: .
  3. Αντικατάσταση: .
✓ Απάντηση: −8,5

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Πόσο κάνει · ;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Πόσο κάνει ( − )( + );
Πολλαπλής επιλογής · 9
Με ευκολότερο τρόπο: −67,98·88,179 − 67,98·11,821.
Πολλαπλής επιλογής · 10
Αν , πόσο κάνει ;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα θετικό και γινόμενο αρνητικό. Είναι:

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί προτιμάμε να εφαρμόζουμε ιδιότητες ΠΡΙΝ προσεγγίσουμε άρρητους;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Γ΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.4

Οι Πράξεις στους Πραγματικούς Αριθμούς

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Οι ιδιότητες ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΝΤΑΙ στους R
  • Όλες οι ιδιότητες πράξεων από τους ρητούς ισχύουν και στους πραγματικούς (α, β, γ ∈ ):
  • • Αντιμεταθετική:
  • • Προσεταιριστική:
  • • Ουδέτερα:
  • • Αντίθετοι: . Αντίστροφοι:
  • • Επιμεριστική:
Πράξεις με άρρητους — δύο σενάρια
  • ΣΕΝΑΡΙΟ Α: Οι ιδιότητες δίνουν ΚΑΘΑΡΟ ρητό → δεν χρειάζεται προσέγγιση.
  • + 2⅜ ⅜ (οι αλληλοαναιρούνται)
  • ΣΕΝΑΡΙΟ Β: Δεν απλοποιούνται → ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΜΕ με ρητές προσεγγίσεις.
Αφαίρεση & διαίρεση
  • Αφαίρεση = πρόσθεση αντίθετου: .
  • Διαίρεση = πολλαπλασιασμός αντίστροφου: α : .
Προτεραιότητα πράξεων (ίδια)
  • 1. Δυνάμεις. 2. Πολλαπλασιασμοί/διαιρέσεις. 3. Προσθέσεις/αφαιρέσεις.
  • Παρενθέσεις πρώτα. Ισχύει αυτούσια και στους πραγματικούς.
Πρόσημα γινομένων
  • Ίδιοι κανόνες: ομόσημοι → +, ετερόσημοι → −.
  • Π.χ. αν και , τότε (ο , ο → γινόμενο αρνητικό).

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Ισχύει .Σ ◻  Λ ◻
2.
Για να υπολογίσουμε + 5 − , πρέπει οπωσδήποτε να προσεγγίσουμε τον .Σ ◻  Λ ◻
3.
Αν και , ο αριθμός είναι θετικός.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Πόσο κάνει ( + 2)( − 2);
Α) 1Β) 5Γ) Δ) 9
2.
Πόσο κάνει ;
Α) −πΒ) +πΓ) Δ)
3.
Αν α, β αντίθετοι , πόσο κάνει α : β;
Α) 1Β) −1Γ) 0Δ) 0,5
4.
Πόσο κάνει · ;
Α) 3Β) 9Γ) 6Δ)
5.
Πόσο κάνει ( − )( + );
Α) 5Β) 7Γ) Δ) 9
6.
Με ευκολότερο τρόπο: −67,98·88,179 − 67,98·11,821.
Α) −6798Β) −679,8Γ) 6798Δ) 0
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Απλοποίησε: .
8.
Άθροισμα: .
9.
Απλοποίησε , μετά βρες τιμή αν και .
Λύσεις · Οι Πράξεις στους Πραγματικούς Αριθμούς
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Α) Διαφορά τετραγώνων: .
  2. Α) . Άνοιγμα: . Συνολικά: .
  3. Β) Αντίθετοι: . Άρα α:.
  4. Α) ()² = 3 (συνέπεια ορισμού ρίζας).
  5. Α) (μορφή (α−β)(β+α) = −).
  6. Α) Επιμεριστική (κοινός παράγοντας): .
Β. Ανάπτυξη
  1. Επιμεριστική: · + 1· − → → . ⟹ 6 (ρητός)
  2. Άνοιγμα (αφαίρεση = πρόσθεση αντιθέτου): . → α: . β: . γ: . ⟹
  3. Άνοιγμα: . → Ομαδοποίηση: . → Αντικατάσταση: . ⟹ −8,5
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός