Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.3

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Q ∪ Άρρητοι)

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Οι ρητοί είναι άπειροι — αλλά αφήνουν «τρύπες» στην ευθεία! Οι άρρητοι κλείνουν αυτές τις τρύπες. Μαζί φτιάχνουν τους πραγματικούς (R), που γεμίζουν την ευθεία ΧΩΡΙΣ κενά.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Η ιεραρχία των συνόλων

$N$ ⊂ $Z$ ⊂ $Q$ ⊂ $R$

• $N$ (Φυσικοί): 0, 1, 2, 3, …

• $Z$ (Ακέραιοι): …, −2, −1, 0, 1, 2, …

• $Q$ (Ρητοί): ακέραιοι + κλάσματα + τερματιζόμενοι + περιοδικοί δεκαδικοί.

• $R$ (Πραγματικοί): όλοι οι ρητοί + όλοι οι άρρητοι.

💡 Θυμάμαι:Κάθε φυσικός είναι ακέραιος, κάθε ακέραιος ρητός, κάθε ρητός πραγματικός. ΟΧΙ το αντίστροφο: ο

2

είναι πραγματικός αλλά όχι ρητός.

Η ευθεία γεμίζει — πληρότητα

Οι ρητοί είναι άπειροι ΑΛΛΑ αφήνουν κενά (στις θέσεις των άρρητων).

Οι άρρητοι «κλείνουν» όλα τα κενά.

Έτσι, στην ευθεία πραγματικών:

• Κάθε πραγματικός αριθμός → ΕΝΑ ακριβώς σημείο.

• Κάθε σημείο → ΕΝΑΝ ακριβώς πραγματικό αριθμό.

Σύγκριση & διάταξη

Στον άξονα: όσο πιο δεξιά, τόσο μεγαλύτερος.

Για σύγκριση, μετατρέπουμε όλους σε δεκαδική μορφή (ρητή προσέγγιση για άρρητους).

📝 Παράδειγμα

Διάταξε:

16

17

, 4,4̄, 4½,

23

, 4,99...

Σε δεκαδικά: $16 = 4, 17 \approx 4, 123, 4, 4$ ̄ $= 4, 444$ ..., 4½ $= 4, 5, 23 \approx 4, 80, 4, 99$ ...=5.
Σειρά: $4 < 4, 123 < 4, 444 < 4, 5 < 4, 80 < 5$ .

16 < 17 < 4, 4

< 4

< 23 < 4, 99

...

★ Πυκνότητα: δεν υπάρχει «επόμενος» ρητός

Στους φυσικούς, ο επόμενος του 8 είναι ο 9.

Στους ρητούς; ΔΕΝ υπάρχει επόμενος! Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει ΠΑΝΤΑ άλλος ρητός.

Π.χ. «επόμενος του 8»: αν πεις 8,1, εγώ βρίσκω 8,05 (ανάμεσα). Αν πεις 8,05, βρίσκω 8,025. Επ' άπειρον.

💡 Θυμάμαι:Αυτή η ιδιότητα λέγεται «πυκνότητα». Οι ρητοί (και οι πραγματικοί) είναι πυκνοί — άπειροι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο.

Γεωμετρική τοποθέτηση άρρητων

Ο $2$ τοποθετείται ΑΚΡΙΒΩΣ στον άξονα: φτιάχνω τετράγωνο πλευράς 1, η διαγώνιος είναι $2$ , τη μεταφέρω με διαβήτη.

Εναλλακτικά: κατ' εκτίμηση, με ρητές προσεγγίσεις (1,4 → 1,41 → 1,414…).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Κάθε ρητός αριθμός είναι πραγματικός.

Σωστό / Λάθος · 2

Κάθε πραγματικός αριθμός είναι ρητός.

Σωστό / Λάθος · 3

Υπάρχει αριθμός που είναι ταυτόχρονα ρητός και άρρητος.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Κάθε ρητός αριθμός είναι:

Πολλαπλής επιλογής · 5

Ο αριθμός π είναι:

Πολλαπλής επιλογής · 6

Ποιος είναι ο επόμενος ρητός του 8;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Σύγκρινε και διάταξε:

34

και 5⅜.

5⅜ $= 5 + \frac{3}{8} = \frac{43}{8} = 5, 375$ .
$34$ : $5^{2} = 25, 6^{2} = 36$ → μεταξύ 5 και 6. Δοκιμή: $5, 8^{2} = 33, 64, 5, 8 3^{2} \approx 33, 99$ → $34 \approx 5, 83$ .
$5, 83 > 5, 375$ , άρα $34 > 5$ ⅜.

✓ Απάντηση:

34 > 5

⅜

Άσκηση 2

Διάταξε από μικρότερο:

25

28

30

32

35

36

$25 = 5, 36 = 6$ (τέλεια). Οι ενδιάμεσες μεταξύ 5 και 6.
Η ρίζα διατηρεί διάταξη: $25 < 28 < 30 < 32 < 35 < 36$ .

✓ Απάντηση:

25 < 28 < 30 < 32 < 35 < 36

Άσκηση 3

Βρες έναν ρητό κι έναν άρρητο μεταξύ

2 (\approx 1, 414)

και

3 (\approx 1, 732)

Ρητός: απλός δεκαδικός στο διάστημα, π.χ. 1,5.
Άρρητος: μη περιοδικός στο διάστημα, π.χ. 1,5151151115...

✓ Απάντηση: Ρητός: 1,5. Άρρητος: 1,5151151115...

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Ποια ιεραρχία είναι σωστή;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Υπάρχει αριθμός ακέραιος που ΔΕΝ είναι ρητός;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Πόσοι πραγματικοί υπάρχουν μεταξύ

\frac{1}{3}

και

\frac{1}{2}

;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Σύγκρινε: 6 και

37

Πολλαπλής επιλογής · 11

Ποιος από τους παρακάτω είναι ρητός;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί λέμε ότι «οι άρρητοι κλείνουν τις τρύπες της ευθείας»;

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Q ∪ Άρρητοι)

Θεωρία

Η ιεραρχία των συνόλων

Η ευθεία γεμίζει — πληρότητα

Σύγκριση & διάταξη

★ Πυκνότητα: δεν υπάρχει «επόμενος» ρητός

Γεωμετρική τοποθέτηση άρρητων

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Q ∪ Άρρητοι)

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Η ιεραρχία των συνόλων

Η ευθεία γεμίζει — πληρότητα

Σύγκριση & διάταξη

★ Πυκνότητα: δεν υπάρχει «επόμενος» ρητός

Γεωμετρική τοποθέτηση άρρητων

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης