Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.2

Δεκαδική Μορφή των Άρρητων Αριθμών

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Ο √2 έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που ΔΕΝ επαναλαμβάνονται ποτέ. Πώς δουλεύουμε με κάτι που δεν τελειώνει; Με ρητές προσεγγίσεις, όσο ακριβείς θέλουμε.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ορισμός άρρητου

Άρρητος αριθμός = κάθε αριθμός που ΔΕΝ είναι ρητός (δεν γράφεται ως $\frac{μ}{ν}$ με ακέραιους).

Χαρακτηριστικό: άπειρα δεκαδικά ψηφία ΧΩΡΙΣ περιοδικότητα.

Παραδείγματα: $2 = 1, 4142135$ ..., $π = 3, 1415926$ ..., $φ = \frac{1 + 5}{2} = 1, 6180339$ ...

💡 Θυμάμαι:Η ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ είναι το κριτήριο: άπειρα ΜΕ περίοδο → ρητός. Άπειρα ΧΩΡΙΣ περίοδο → άρρητος.

Ποιες ρίζες είναι άρρητες

Η τετραγωνική ρίζα θετικού ακεραίου είναι άρρητη, ΕΚΤΟΣ αν ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

$16 = 4$ (ρητός — τέλειο τετράγωνο)

$17$ , $2$ , $7$ , $29$ (άρρητοι)

Αλλά υπάρχουν και άρρητοι που ΔΕΝ είναι ρίζες: π, φ, και κατασκευασμένοι όπως 0,1010010001...

Ρητές προσεγγίσεις

Αφού δεν γράφουμε άρρητο ακριβώς, τον «παγιδεύουμε» μεταξύ ρητών:

$1, 414 < 2 < 1, 415$

Ο $1, 414 =$ προσέγγιση με ΕΛΛΕΙΨΗ (από κάτω).

Ο $1, 415 =$ προσέγγιση με ΥΠΕΡΟΧΗ (από πάνω).

Ακριβέστερη: αυτή που το τετράγωνό της απέχει λιγότερο από τον στόχο.

Εντοπισμός √n μεταξύ ακεραίων

Για να βρεις πού «πέφτει» μια ρίζα, βρες τα γειτονικά τέλεια τετράγωνα.

📝 Παράδειγμα

Βρες ρητή προσέγγιση του

27

στο εκατοστό και χιλιοστό.

$5^{2} = 25, 6^{2} = 36$ → $5 < 27 < 6$ .
Δοκιμές: $5, 1^{2} = 26, 01, 5, 2^{2} = 27, 04$ → $5, 1 < 27 < 5, 2$ .
Πιο στενά: $5, 1 9^{2} = 26, 9$ ..., $5, 2 0^{2} = 27, 04$ → $5, 19 < 27 < 5, 20$ .
Χιλιοστό: $5, 19 6^{2} \approx 26, 998 < 27 < 27, 009 \approx 5, 19 7^{2}$ → $5, 196 < 27 < 5, 197$ , άρα $27 \approx 5, 196$ .

= Εκατοστό:

\approx 5, 20

. Χιλιοστό:

\approx 5, 196

Σύγκριση ριζών

Αν α, β θετικοί με $α < β$ , τότε $α < β$ (η ρίζα διατηρεί τη διάταξη).

Π.χ. $11 < 21$ (γιατί 11 < 21).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

16

είναι άρρητος.

Σωστό / Λάθος · 2

Ο αριθμός 0,1010010001... (με αυξανόμενα μηδενικά) είναι άρρητος.

Σωστό / Λάθος · 3

Όλες οι τετραγωνικές ρίζες θετικών ακεραίων είναι άρρητες.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Ποιος ΕΙΝΑΙ άρρητος;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Μεταξύ ποιων ακεραίων βρίσκεται ο

27

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Ποιος είναι ΑΡΡΗΤΟΣ;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Γράψε έναν άρρητο που είναι ρίζα, και έναν που δεν είναι ρίζα, μεταξύ 5 και 6.

Ρίζα: ψάχνω $x$ μη-τέλειο τετράγωνο με $25 < x < 36$ . Π.χ. $x = 29$ → $29 \approx 5, 38$ (άρρητος).
Μη ρίζα: δεκαδικός με ακέραιο μέρος 5 και άπειρα μη περιοδικά ψηφία. Π.χ. 5,12723... (κατασκευασμένος).

✓ Απάντηση:

29

και 5,12723... (μη περιοδικός)

Άσκηση 2

Γράψε δύο ρητούς και δύο άρρητους μεταξύ

5 (\approx 2, 236)

και

7 (\approx 2, 645)

Ρητοί (απλοί δεκαδικοί στο διάστημα): 2,4 και 2,5.
Άρρητοι (μη περιοδικοί στο διάστημα): 2,3030030003... και 2,51789778899...

✓ Απάντηση: Ρητοί: 2,4 & 2,5. Άρρητοι: 2,303003... & 2,517897...

Άσκηση 3

Βρες μεταξύ ποιων διαδοχικών ακεραίων είναι:

5

14

20

29

99

$5$ : $2^{2} = 4 < 5 < 9 = 3^{2}$ → 2 και 3.
$14$ : $3^{2} = 9 < 14 < 16 = 4^{2}$ → 3 και 4.
$20$ : $4^{2} = 16 < 20 < 25 = 5^{2}$ → 4 και 5.
$29$ : $5^{2} = 25 < 29 < 36 = 6^{2}$ → 5 και 6.
$99$ : $9^{2} = 81 < 99 < 100 = 1 0^{2}$ → 9 και 10.

✓ Απάντηση: (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (9,10)

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Ποιος ΔΕΝ είναι άρρητος;

Πολλαπλής επιλογής · 8

69

βρίσκεται μεταξύ:

Πολλαπλής επιλογής · 9

Η δεκαδική αναπαράσταση ενός άρρητου είναι:

Πολλαπλής επιλογής · 10

Ποια ανισότητα είναι σωστή;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Ρητή προσέγγιση εκατοστού του

27 (\approx 5, 196)

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί δεν μπορούμε ΠΟΤΕ να γράψουμε ολόκληρο το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός άρρητου;

Δεκαδική Μορφή των Άρρητων Αριθμών

Θεωρία

Ορισμός άρρητου

Ποιες ρίζες είναι άρρητες

Ρητές προσεγγίσεις

Εντοπισμός √n μεταξύ ακεραίων

Σύγκριση ριζών

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Δεκαδική Μορφή των Άρρητων Αριθμών

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Ορισμός άρρητου

Ποιες ρίζες είναι άρρητες

Ρητές προσεγγίσεις

Εντοπισμός √n μεταξύ ακεραίων

Σύγκριση ριζών

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης