Γ΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.1

Δεκαδική Μορφή των Ρητών Αριθμών

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Στη Β' Γυμνασίου μάθαμε ότι κάθε περιοδικός δεκαδικός είναι ρητός. Σήμερα μαθαίνεις ΠΩΣ — το αλγεβρικό κόλπο που μετατρέπει το 0,777... σε κλάσμα. Και ανακαλύπτεις ότι 0,999... = 1!

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Δύο τύποι δεκαδικών ρητών

Κάθε ρητός (μη ακέραιος) → δεκαδικός, με τη διαίρεση αριθμητή/παρονομαστή. Αποτέλεσμα:

• ΤΕΡΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ (πεπερασμένα ψηφία): .

• ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ (άπειρα, με περίοδο): ... ̄, ... ̄5̄.

💡 Θυμάμαι:Συμβολισμός: παύλα πάνω από την περίοδο. 0,7̄ ..., 2,4̄5̄ ...

Κανόνας τερματισμού

Ένας ρητός (ανάγωγος) τερματίζεται ⇔ ο παρονομαστής αναλύεται σε πρώτους ΜΟΝΟ 2 και/ή 5.

Παραδείγματα:

: (έχει τον 7!) → περιοδικός.

: (μόνο 5) → τερματίζεται.

📝 Παράδειγμα
Γράψε δεκαδικά: α) , β) .
  1. α) = = = = 1,3.
  2. β) απλοποιείται: .
= α) 1,3 β) 0,16

★ Μετατροπή περιοδικού → κλάσμα (μέθοδος 10x)

Το κλειδί: πολλαπλασιάζω με δύναμη του 10 ώστε να «ευθυγραμμιστεί» η περίοδος, μετά αφαιρώ.

Παράδειγμα 0,555...:

...

... (×10)

... − 0,555... → → .

📝 Παράδειγμα
Μετάτρεψε το 0,4̄5̄ (=0,4545...) σε κλάσμα.
  1. ...
  2. Περίοδος 2 ψηφία → ×100: ...
  3. → → .
=

★ Το παράδοξο: 0,999... = 1

Εφαρμόζοντας τη μέθοδο στο 0,999...:

...

...

→ → .

Άρα 0,999... ΑΚΡΙΒΩΣ (όχι «σχεδόν»). Δύο γραφές του ίδιου αριθμού!

💡 Θυμάμαι:Όμοια: 2,999... και 3,4999... . Η περίοδος 9 «κρύβει» έναν τερματιζόμενο δεκαδικό.

Συμπέρασμα

• Κάθε τερματιζόμενος και κάθε περιοδικός δεκαδικός είναι ρητός.

• Κάθε ρητός γράφεται ως τερματιζόμενος ή περιοδικός δεκαδικός.

• Κλασματική & δεκαδική μορφή = ισοδύναμες εκφράσεις του ίδιου ρητού.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Ο αριθμός 0,7̄ (=0,777...) είναι ρητός.
Σωστό / Λάθος · 2
Το 0,999... είναι ΛΙΓΟ μικρότερο από το 1.
Σωστό / Λάθος · 3
Το κλάσμα γράφεται ως τερματιζόμενος δεκαδικός.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Ποιο κλάσμα ΔΕΝ τερματίζεται;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Το 0,3̄ (=0,333...) σε ανάγωγο κλάσμα είναι:
Πολλαπλής επιλογής · 6
Το 0,6̄ σε ανάγωγο κλάσμα:

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Μετάτρεψε σε κλάσμα: 0,8888...
  1. ...
  2. ...
  3. → → .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 2
Μετάτρεψε σε κλάσμα: 0,131313... (=0,1̄3̄)
  1. ...
  2. Περίοδος 2 ψηφία → ×100: ...
  3. → → .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Δείξε ότι 2,999... .
  1. ...
  2. ...
  3. → → .
✓ Απάντηση: 2,999...

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Το σε δεκαδική μορφή:
Πολλαπλής επιλογής · 8
Πόσα ψηφία έχει η περίοδος του ;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Το 0,1̄2̄ (=0,121212...) σε κλάσμα:
Πολλαπλής επιλογής · 10
Ποιο ΔΕΝ μπορεί να είναι δεκαδικό ανάπτυγμα ρητού;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Το 3,4999... ισούται με:

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί η μέθοδος «×10 και αφαίρεση» μετατρέπει κάθε περιοδικό σε κλάσμα;

0/12 ερωτήσεις απαντημένες — συνέχισε για να δεις το σκορ σου

▶ Επόμενη: §1.2 Δεκαδική Μορφή των Άρρητων Α…← Πίσω στην τάξη

Γιατί το χρειάζεσαι; Η μετατροπή δεκαδικού↔κλάσματος είναι θεμελιώδης σε υπολογισμούς ακριβείας, χρηματοοικονομικά, μηχανική. Το «0,999...=1» δείχνει πόσο λεπτή είναι η έννοια του απείρου.

MathHub.grΦύλλο εργασίας
Γ΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.1

Δεκαδική Μορφή των Ρητών Αριθμών

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Δύο τύποι δεκαδικών ρητών
  • Κάθε ρητός (μη ακέραιος) → δεκαδικός, με τη διαίρεση αριθμητή/παρονομαστή. Αποτέλεσμα:
  • • ΤΕΡΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ (πεπερασμένα ψηφία): .
  • • ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ (άπειρα, με περίοδο): ... ̄, ... ̄5̄.
Κανόνας τερματισμού
  • Ένας ρητός (ανάγωγος) τερματίζεται ⇔ ο παρονομαστής αναλύεται σε πρώτους ΜΟΝΟ 2 και/ή 5.
  • Παραδείγματα:
  • : (έχει τον 7!) → περιοδικός.
  • : (μόνο 5) → τερματίζεται.
Μετατροπή περιοδικού → κλάσμα (μέθοδος 10x)
  • Το κλειδί: πολλαπλασιάζω με δύναμη του 10 ώστε να «ευθυγραμμιστεί» η περίοδος, μετά αφαιρώ.
  • Παράδειγμα 0,555...:
  • ...
  • ... (×10)
  • ... − 0,555... → → .
Το παράδοξο: 0,999... = 1
  • Εφαρμόζοντας τη μέθοδο στο 0,999...:
  • ...
  • ...
  • → → .
  • Άρα 0,999... ΑΚΡΙΒΩΣ (όχι «σχεδόν»). Δύο γραφές του ίδιου αριθμού!
Συμπέρασμα
  • • Κάθε τερματιζόμενος και κάθε περιοδικός δεκαδικός είναι ρητός.
  • • Κάθε ρητός γράφεται ως τερματιζόμενος ή περιοδικός δεκαδικός.
  • • Κλασματική & δεκαδική μορφή = ισοδύναμες εκφράσεις του ίδιου ρητού.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Ο αριθμός 0,7̄ (=0,777...) είναι ρητός.Σ ◻  Λ ◻
2.
Το 0,999... είναι ΛΙΓΟ μικρότερο από το 1.Σ ◻  Λ ◻
3.
Το κλάσμα γράφεται ως τερματιζόμενος δεκαδικός.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Ποιο κλάσμα ΔΕΝ τερματίζεται;
Α) Β) Γ) Δ)
2.
Το 0,3̄ (=0,333...) σε ανάγωγο κλάσμα είναι:
Α) Β) Γ) ως έχειΔ)
3.
Το 0,6̄ σε ανάγωγο κλάσμα:
Α) Β) Γ) Δ) ως έχει
4.
Το σε δεκαδική μορφή:
Α) 0,625Β) 0,58̄Γ) 0,8Δ) 1,6
5.
Πόσα ψηφία έχει η περίοδος του ;
Α) 1Β) 2Γ) 3Δ) Δεν είναι περιοδικός
6.
Το 0,1̄2̄ (=0,121212...) σε κλάσμα:
Α) Β) Γ) Δ)
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Μετάτρεψε σε κλάσμα: 0,8888...
8.
Μετάτρεψε σε κλάσμα: 0,131313... (=0,1̄3̄)
9.
Δείξε ότι 2,999... .
Λύσεις · Δεκαδική Μορφή των Ρητών Αριθμών
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) : (έχει τον 3) → περιοδικός. Οι άλλοι: (μόνο 2&5) → τερματίζουν.
  2. Β) ..., ..., (ανάγωγο).
  3. Β) ..., ..., .
  4. Α) (μόνο 2) → τερματίζεται. .
  5. Α) ... περίοδος το ψηφίο 3 (1 ψηφίο).
  6. Α) Περίοδος 2 ψηφία: ..., .
Β. Ανάπτυξη
  1. ... → ... → → → . ⟹
  2. ... → Περίοδος 2 ψηφία → ×100: ... → → → . ⟹
  3. ... → ... → → → . ⟹ 2,999...
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός