Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.4

Η Γραμμική Συνάρτηση y = αx + β

⏱ ~14 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Το ταξί χρεώνει 2,50€ «σημαία» + 1,20€/χλμ. Δεν είναι καθαρή αναλογία — έχει ένα «πάγιο». Αυτό είναι το y = αx + β: η ευθεία που ΔΕΝ ξεκινά από το μηδέν. Το α δίνει τον ρυθμό, το β την αφετηρία.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Από y = αx σε y = αx + β

Όταν υπάρχει αναλογική μεταβολή ΣΥΝ μια σταθερή ποσότητα (πάγιο/αρχικό), έχουμε $y = α x + β$ .

Π.χ. ποδήλατο: 0,5€ $/ χλμ + 2$ € πάγιο → $y = 0, 5 x + 2$ .

★ Ερμηνεία των α και β

• $α =$ ΚΛΙΣΗ: η μεταβολή του $y$ για μοναδιαία αύξηση του $x$ (ο ρυθμός).

• $β =$ ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ: η τιμή του $y$ όταν $x = 0$ (αφού $y$ = α·0 + β = β).

Η ευθεία $y = α x + β$ είναι ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ στην $y = α x$ (ίδια κλίση α), μετατοπισμένη κατά β.

💡 Θυμάμαι:Όταν

β \neq = 0

, η ευθεία ΔΕΝ περνά από το Ο, αλλά τέμνει τον άξονα

y

στο σημείο (0, β).

Σύρε α (κλίση) και β (αρχική τιμή). Δες: το α γυρνά την ευθεία, το β την ανεβοκατεβάζει — η τομή με τον y είναι πάντα στο (0, β).

Εξίσωσηy = 1,5x + 2

α1.5

β2.0

Κλίση α

1,50

Τομή με y

(0, 2)

Τομή με x

(-1,33, 0)

Πώς χαράζω την ευθεία

Αρκούν 2 σημεία. Βάζω δύο τιμές στο $x$ , βρίσκω τα $y$ .

Π.χ. $y = (\frac{3}{2}) x + 1$ : $x = 0$ → $y = 1$ (σημείο (0,1)), $x$ =2→ $y = 4$ (σημείο (2,4)).

📝 Παράδειγμα

Ποια είναι η εξίσωση ευθείας με κλίση 0,5 που περνά από (−2, 0);

$y = α x + β$ με $α = 0, 5$ : $y = 0, 5 x + β$ .
Περνά από (−2,0): $0 = 0, 5 \cdot (- 2) + β$ → $0 = - 1 + β$ → $β = 1$ .
Άρα $y = 0, 5 x + 1$ .

y = 0, 5 x + 1

Γνώρισμα γραμμικής (από πίνακα)

Πίνακας είναι γραμμικής συνάρτησης ⇔ για κάθε +1 στο $x$ , το $y$ αλλάζει κατά ΣΤΑΘΕΡΗ ποσότητα.

Π.χ. $y$ : 3,2,1,0,−1 (κάθε φορά −1) → γραμμική (κλίση −1).

Αν η αλλαγή ΔΕΝ είναι σταθερή → όχι γραμμική.

★ Γραφική επίλυση αx + β = γ

Για να λύσεις γραφικά $την α x + β = γ$ :

1. Σχεδιάζεις $y = α x + β$ (ευθεία) και $y = γ$ (οριζόντια).

2. Βρίσκεις το κοινό τους σημείο.

3. Η τετμημένη του = η λύση.

📝 Παράδειγμα

Λύσε αλγεβρικά:

3 x - 1 = 3

$3 x = 3 + 1 = 4$ .
$x = \frac{4}{3} \approx 1, 3$ .
(Γραφικά: οι $y = 3 x - 1$ και $y = 3$ τέμνονται στο $x \approx 1, 3$ .)

x = \frac{4}{3}

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Στην

y = α x + β

, ο β είναι η τιμή του

y

όταν

x = 0

Σωστό / Λάθος · 2

Οι ευθείες

y = 0, 5 x

και

y = 0, 5 x + 2

είναι παράλληλες.

Σωστό / Λάθος · 3

Η ευθεία

y = 3 x + 2

περνά από την αρχή Ο(0,0).

Πολλαπλής επιλογής · 4

Η ευθεία

y = 5 x

είναι παράλληλη με:

Πολλαπλής επιλογής · 5

Ταξί: 2,50€ σημαία + 1,20€

/ χλμ

. Τύπος χρέωσης

y

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Λύσε γραφικά/αλγεβρικά:

3 x + 4 = 11

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Κερί ύψους

12 cm

, καίγεται

2 cm / \overset{ω}{ˊ} ρα

. Τύπος ύψους

y

μετά

x

ώρες; Ερμηνεία α,β;

Αρχικό ύψος $12 (= β)$ , μειώνεται $\frac{2}{ω ˊ ρα} (= α = - 2)$ .
Τύπος: $y = - 2 x + 12$ .
$β = 12$ : αρχικό ύψος. $α = - 2$ : μειώνεται $2 cm / \overset{ω}{ˊ} ρα$ .

✓ Απάντηση:

y = - 2 x + 12

Άσκηση 2

Φορτηγό 6 τόνοι (απόβαρο), φορτώνει

5 T

σε

10\,\text{\min}

. Τύπος βάρους

y (t)

; Πότε φτάνει

20 T

;

Ρυθμός: $\frac{5T}{10}\,\text{\min} = 0{,}5 \frac{T}{\min} (=α)$ . Απόβαρο $6 (= β)$ .
Τύπος: $y = 0, 5 t + 6$ .
$y = 20$ : $0, 5 t + 6 = 20$ → $0, 5 t = 14$ → $t = 28\,\text{\min}$ .

✓ Απάντηση:

y = 0, 5 t + 6

(φτάνει

20 T

στα 28 λεπτά)

Άσκηση 3

Ποιος πίνακας είναι γραμμικής; Α:

y = 3, 2, 1, 0, - 1

. Β:

y = - 1, 0, - 1, - 4, - 9

(για

x

=−1,0,1,2,3).

Α: μεταβολές −1,−1,−1,−1 (σταθερές) → γραμμική.
Β: μεταβολές +1,−1,−3,−5 (όχι σταθερές) → ΟΧΙ γραμμική.

✓ Απάντηση: Ο Α είναι γραμμικής

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Στην

y = 4 x + 3

, ποια η κλίση και το σημείο τομής με

y

;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Ανήκει το

A (1, - 2)

στη γραφική της

y = 3 x - 5

;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ενοικίαση: 50€/διανυκτέρευση + 30€ τέλος καθαρισμού. Κόστος 7 νυχτών;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Λύσε:

- 7 x + 1 = 13

Πολλαπλής επιλογής · 11

Για ποιο α οι

y = (α - 1) x + 3

και

y = 3 x - 2

είναι παράλληλες;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί στο μοντέλο «πάγιο + κατανάλωση» το β είναι το πάγιο και το α ο ρυθμός;

Η Γραμμική Συνάρτηση y = αx + β

Θεωρία

Από y = αx σε y = αx + β

★ Ερμηνεία των α και β

Πώς χαράζω την ευθεία

Γνώρισμα γραμμικής (από πίνακα)

★ Γραφική επίλυση αx + β = γ

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Η Γραμμική Συνάρτηση y = αx + β

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Από y = αx σε y = αx + β

★ Ερμηνεία των α και β

Πώς χαράζω την ευθεία

Γνώρισμα γραμμικής (από πίνακα)

★ Γραφική επίλυση αx + β = γ

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης