Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.5

Η Αντίστροφη Αναλογία y = α/x (Υπερβολή)

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Περισσότεροι εργάτες → λιγότερες μέρες για τη γέφυρα. Περισσότεροι μαθητές → φθηνότερο ταξίδι κατ' άτομο. Όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει — αλλά το ΓΙΝΟΜΕΝΟ μένει σταθερό. Αυτή είναι η αντίστροφη αναλογία.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

★ Αντιστρόφως ανάλογα

Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν, πολλαπλασιάζοντας το ένα με έναν αριθμό, το άλλο διαιρείται με τον ΙΔΙΟ αριθμό.

Ισοδύναμα: το ΓΙΝΟΜΕΝΟ τους μένει σταθερό: $x \cdot y = α (α \neq = 0)$ .

Π.χ. ταξίδι 300€: 10 μαθητές→30€, 20 μαθητές→15€. Πάντα $x \cdot y = 300$ .

Συνάρτηση y = α/x

Από $x \cdot y = α$ παίρνουμε $y = \frac{α}{x} (x \neq = 0, α \neq = 0)$ .

Λέγεται συνάρτηση αντίστροφης αναλογίας.

Π.χ. ταξίδι: $y = \frac{300}{x}$ (κόστος ανά μαθητή).

📝 Παράδειγμα

Πίνακας με

x

y

σταθερό:

x = 4

→

y = 20, x = 8

→

y = 10, x = 40

→

y = 2

. Τύπος;

Γινόμενα: $4 \cdot 20 = 80, 8 \cdot 10 = 80, 40 \cdot 2 = 80$ . Σταθερό!
Άρα αντιστρόφως ανάλογα, $x \cdot y = 80$ .
Τύπος: $y = \frac{80}{x}$ .

y = \frac{80}{x}

★ Η υπερβολή

Η γραφική παράσταση της $y = \frac{α}{x}$ λέγεται ΥΠΕΡΒΟΛΗ.

Δεν είναι ευθεία — είναι καμπύλη με ΔΥΟ ξεχωριστούς κλάδους.

Οι κλάδοι ΔΕΝ τέμνουν ποτέ τους άξονες (γιατί $x \neq = 0$ και $y$ ≠0).

💡 Θυμάμαι:Γιατί δεν τέμνει τους άξονες; Αν

x = 0

το

\frac{α}{x} δεν

ορίζεται. Και το

y = \frac{α}{x} δεν

γίνεται ποτέ 0 (κλάσμα με μη μηδενικό αριθμητή).

Σύρε το α. Θετικό → κλάδοι στο 1ο & 3ο τεταρτημόριο, αρνητικό → 2ο & 4ο. Οι κλάδοι πλησιάζουν τους άξονες αλλά ποτέ δεν τους αγγίζουν.

Εξίσωσηy = 6 / x

α6.0

Σταθερά α

Κλάδοι

1ο & 3ο τετ/μόριο

Ασύμπτωτες

x = 0, y = 0

Πρόσημο α & τεταρτημόρια

$α > 0$ → οι κλάδοι στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

$α < 0$ → οι κλάδοι στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.

Οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς την αρχή Ο.

Συμπεριφορά

Για $α > 0$ : όταν το $x$ αυξάνεται, το $y$ ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ (π.χ. $y$ = $\frac{10}{x}$ ).

Για $α < 0$ : όταν το $x$ αυξάνεται, το $y$ αυξάνεται (π.χ. $y$ =− $\frac{10}{x}$ ).

Σε αντίθεση με την ευθεία αναλογία $(y = α x), εδ \overset{ω}{ˊ}$ η σχέση είναι «αντίστροφη».

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το γινόμενο

x

y

είναι σταθερό.

Σωστό / Λάθος · 2

Η γραφική παράσταση της

y = \frac{α}{x}

είναι ευθεία.

Σωστό / Λάθος · 3

Η υπερβολή

y = \frac{α}{x}

τέμνει τον άξονα

x

στο (0,0).

Πολλαπλής επιλογής · 4

10 εργάτες χτίζουν γέφυρα σε 6 μέρες (x·

y

σταθερό). Τύπος χρόνου

y

ανά

x

εργάτες;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Στην

y = \frac{10}{x} (α > 0)

, οι κλάδοι είναι στα τεταρτημόρια:

Πολλαπλής επιλογής · 6

Στην

y = \frac{10}{x}

, όταν το

x

αυξάνεται, το

y

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Είναι αντιστρόφως ανάλογα;

x = 4

→

y = 20, x = 8

→

y = 10, x = 5

→

y = 16, x = 40

→

y = 2

. Τύπος;

Γινόμενα: $4 \cdot 20 = 80, 8 \cdot 10 = 80, 5 \cdot 16 = 80, 40 \cdot 2 = 80$ . Σταθερό!
Άρα αντιστρόφως ανάλογα.
Τύπος: $y = \frac{80}{x}$ .

✓ Απάντηση:

Ναι \cdot y = \frac{80}{x}

Άσκηση 2

Ταξίδι 300€ μοιράζεται. Κόστος/μαθητή για 10, 20, 5 μαθητές;

$y = \frac{300}{x}$ .
10 μαθητές: $\frac{300}{10} = 30$ €.
20 μαθητές: $\frac{300}{20} = 15$ €.
5 μαθητές: $\frac{300}{5} = 60$ €.

✓ Απάντηση: 30€, 15€, 60€

Άσκηση 3

Σύγκρινε

y = \frac{10}{x}

και

y = - \frac{10}{x}

: σε ποια τεταρτημόρια;

$y = \frac{10}{x}$ : $α = 10 > 0$ → 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
$y = - \frac{10}{x}$ : $α = - 10 < 0$ → 2ο και 4ο τεταρτημόριο.
Το πρόσημο του α καθορίζει τα τεταρτημόρια.

✓ Απάντηση:

y = \frac{10}{x}

→ 1ο, 3ο.

y = - \frac{10}{x}

→ 2ο, 4ο.

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Ποια ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Αν

x \cdot y = 24

σταθερό, ποιος ο τύπος;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Στην

y = - \frac{5}{x}

, όταν το

x

αυξάνεται, το

y

Πολλαπλής επιλογής · 10

Η υπερβολή

y = \frac{6}{x}

περνά από το σημείο:

Πολλαπλής επιλογής · 11

Αυτοκίνητο: σταθερή απόσταση 120 km. Χρόνος

y

ως συνάρτηση ταχύτητας

x

;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί η υπερβολή

y = \frac{α}{x} δεν

τέμνει ποτέ τους άξονες;

Η Αντίστροφη Αναλογία y = α/x (Υπερβολή)

Θεωρία

★ Αντιστρόφως ανάλογα

Συνάρτηση y = α/x

★ Η υπερβολή

Πρόσημο α & τεταρτημόρια

Συμπεριφορά

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Η Αντίστροφη Αναλογία y = α/x (Υπερβολή)

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

★ Αντιστρόφως ανάλογα

Συνάρτηση y = α/x

★ Η υπερβολή

Πρόσημο α & τεταρτημόρια

Συμπεριφορά

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης