Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.3

Η Συνάρτηση Αναλογίας y = αx (Κλίση)

⏱ ~14 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Διπλάσια κιλά τυρί → διπλάσια τιμή. Τριπλάσια → τριπλάσια. Αυτή η «δίκαιη» σχέση λέγεται αναλογία, και η γραφική της είναι μια ευθεία που ξεκινά από το μηδέν. Η κλίση της σου λέει τον ρυθμό.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ανάλογα ποσά

Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν, πολλαπλασιάζοντας/διαιρώντας το ένα με αριθμό, το άλλο ×/÷ με τον ΙΔΙΟ αριθμό.

Π.χ. τυρί: ×2 κιλά → ×2 τιμή.

Κλειδί: ο λόγος είναι ΣΤΑΘΕΡΟΣ.

★ Συνάρτηση αναλογίας y = αx

Αν (σταθερό), τότε .

Ο α λέγεται σταθερά αναλογίας.

Π.χ. τυρί 0,02€/g: → .

📝 Παράδειγμα
Μανάβης: 1,5€/κιλό πεπόνι. Τύπος; Λόγος ;
  1. Κάθε κιλό → 1,5€. (σταθερό).
  2. Τύπος: .
= , σταθερά αναλογίας 1,5

Σύρε το α — η ευθεία γυρνά γύρω από το Ο. Δες το σημείο (1, α).

Εξίσωσηy = 2x
xyO-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, 2)
2.0
Κλίση α
2
Για x=1
y = 2
Πρόσημο
αύξουσα ↗

Γραφική: ευθεία από το Ο(0,0)

Όλα τα σημεία της βρίσκονται σε ΕΥΘΕΙΑ που ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ από την αρχή των αξόνων.

Λογικό: για 0 κιλά → 0 ευρώ, άρα περνά από το (0,0).

Για να τη χαράξεις: αρκούν 2 σημεία. Πάντα το Ο ακόμα, π.χ. (1, α).

★ Κλίση

Κλίση της ευθείας η μεταβολή του για μοναδιαία αύξηση του ο συντελεστής α.

Π.χ. : για κάθε +1 στο , το αυξάνεται κατά 2. Κλίση .

Διαισθητικά: πόσο «απότομη» είναι η ευθεία (σαν σκαλοπάτια — μεγάλη κλίση = απότομη).

💡 Θυμάμαι: είναι η διχοτόμος γωνίας (κλίση 1). είναι η διχοτόμος . (οριζόντια) έχει κλίση 0.

Πρόσημο της κλίσης

→ η ευθεία ανεβαίνει (αύξουσα).

→ η ευθεία κατεβαίνει (φθίνουσα).

Μεγαλύτερο |α| → πιο απότομη ευθεία.

📝 Παράδειγμα
Σταθερά αναλογίας . Τύπος, κλίση, μεταβολή για +1 στο ;
  1. Τύπος: .
  2. Κλίση .
  3. Για κάθε +1 στο , το ΚΑΤΕΒΑΙΝΕΙ κατά 1,5.
= , κλίση −1,5

Δοκίμασε α θετικό και αρνητικό — η ευθεία ανεβαίνει ή κατεβαίνει.

Εξίσωσηy = -1,5x
xyO-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, -1,5)
-1.5
Κλίση α
-1,50
Για x=1
y = -1,50
Πρόσημο
φθίνουσα ↘

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Σε ανάλογα ποσά, ο λόγος είναι σταθερός.
Σωστό / Λάθος · 2
Η γραφική παράσταση της περνά πάντα από την αρχή Ο(0,0).
Σωστό / Λάθος · 3
Η κλίση της είναι 5.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Ποια είναι η κλίση της ;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Αν , ανάλογα με →, ποιος ο τύπος;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ευθεία αναλογίας από Ο και . Εξίσωση;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Πίνακας: →→→. Είναι αναλογία; Σταθερά;
  1. Λόγοι: . Σταθερός!
  2. Άρα ανάλογα, σταθερά αναλογίας 3.
  3. Τύπος: .
✓ Απάντηση: Ναι, σταθερά
Άσκηση 2
Λύση «ζωντανά»
Άσκηση
Άνθρωπος περπατά σταθερά: σε 1 sec → 1,5 . Τύπος; Πόσο σε 20 sec; Πόση ώρα για 900 ;

Πάτα «▶ Παίξε» για να δεις τη λύση να γράφεται βήμα-βήμα.

    6 βήματα
    Άσκηση 3
    Δρόμος με κλίση 24%: ανεβαίνει 24 ανά 100 οριζόντια. Πόσο ανεβαίνει στα 50 ;
    1. Κλίση 24% . Τύπος: .
    2. : .
    ✓ Απάντηση: 12

    Δοκίμασέ το μόνος/η σου

    Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

    Πολλαπλής επιλογής · 7
    Κλίση της ;
    Πολλαπλής επιλογής · 8
    Πίνακας ανάλογος: →→→. Σταθερά;
    Πολλαπλής επιλογής · 9
    Αυτοκίνητο εκπέμπει λίτρο. Πόσα από 6 λίτρα;
    Πολλαπλής επιλογής · 10
    Πλοίο: 36 ναυτικά μίλια σε 3 ώρες. Πόσο για 108 μίλια;
    Πολλαπλής επιλογής · 11
    Πάσσαλος 1, → σκιά 4,. Δέντρο → σκιά . Ύψος δέντρου; (ανάλογα)

    Ερώτηση κατανόησης

    Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

    Πολλαπλής επιλογής · 12
    Γιατί η ευθεία της αναλογίας περνά ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ από το Ο(0,0);
    MathHub.grΦύλλο εργασίας
    Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 3 · §3.3

    Η Συνάρτηση Αναλογίας y = αx (Κλίση)

    Όνομα: ____________________________
    Ημ/νία: ____________
    Βαθμός: _____ / 20

    Θεωρία με μια ματιά

    Ανάλογα ποσά
    • Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν, πολλαπλασιάζοντας/διαιρώντας το ένα με αριθμό, το άλλο ×/÷ με τον ΙΔΙΟ αριθμό.
    • Π.χ. τυρί: ×2 κιλά → ×2 τιμή.
    • Κλειδί: ο λόγος είναι ΣΤΑΘΕΡΟΣ.
    Συνάρτηση αναλογίας y = αx
    • Αν (σταθερό), τότε .
    • Ο α λέγεται σταθερά αναλογίας.
    • Π.χ. τυρί 0,02€/g: → .
    Γραφική παράσταση: y = 2x
    xy-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, 2)
    Γραφική: ευθεία από το Ο(0,0)
    • Όλα τα σημεία της βρίσκονται σε ΕΥΘΕΙΑ που ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ από την αρχή των αξόνων.
    • Λογικό: για 0 κιλά → 0 ευρώ, άρα περνά από το (0,0).
    • Για να τη χαράξεις: αρκούν 2 σημεία. Πάντα το Ο ακόμα, π.χ. (1, α).
    Κλίση
    • Κλίση της ευθείας η μεταβολή του για μοναδιαία αύξηση του ο συντελεστής α.
    • Π.χ. : για κάθε +1 στο , το αυξάνεται κατά 2. Κλίση .
    • Διαισθητικά: πόσο «απότομη» είναι η ευθεία (σαν σκαλοπάτια — μεγάλη κλίση = απότομη).
    Πρόσημο της κλίσης
    • → η ευθεία ανεβαίνει (αύξουσα).
    • → η ευθεία κατεβαίνει (φθίνουσα).
    • Μεγαλύτερο |α| → πιο απότομη ευθεία.
    Γραφική παράσταση: y = -1,5x
    xy-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, -1,5)

    ΑΣωστό ή Λάθος

    1.
    Σε ανάλογα ποσά, ο λόγος είναι σταθερός.Σ ◻  Λ ◻
    2.
    Η γραφική παράσταση της περνά πάντα από την αρχή Ο(0,0).Σ ◻  Λ ◻
    3.
    Η κλίση της είναι 5.Σ ◻  Λ ◻

    ΒΑσκήσεις

    Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
    1.
    Ποια είναι η κλίση της ;
    Α) −Β) Γ) 5Δ) −5
    2.
    Αν , ανάλογα με →, ποιος ο τύπος;
    Α) Β) Γ) Δ)
    3.
    Ευθεία αναλογίας από Ο και . Εξίσωση;
    Α) Β) Γ) Δ)
    4.
    Κλίση της ;
    Α) Β) 3Γ) −Δ) 1
    5.
    Πίνακας ανάλογος: →→→. Σταθερά;
    Α) Β) 2Γ) 1Δ) 9
    6.
    Αυτοκίνητο εκπέμπει λίτρο. Πόσα από 6 λίτρα;
    Α) 618Β) 600Γ) 103Δ) 6
    Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
    7.
    Πίνακας: →→→. Είναι αναλογία; Σταθερά;
    8.
    Άνθρωπος περπατά σταθερά: σε 1 sec → 1,5 . Τύπος; Πόσο σε 20 sec; Πόση ώρα για 900 ;
    9.
    Δρόμος με κλίση 24%: ανεβαίνει 24 ανά 100 οριζόντια. Πόσο ανεβαίνει στα 50 ;
    Λύσεις · Η Συνάρτηση Αναλογίας y = αx (Κλίση)
    Α. Σωστό / Λάθος
    1. Σωστό2. Σωστό3. Σωστό
    Β. Πολλαπλής επιλογής
    1. Α) Η κλίση = ο συντελεστής του .
    2. Α) Σταθερά . Άρα .
    3. Α) . Άρα .
    4. Α) Κλίση τελεστής .
    5. Α) . Σταθερά αναλογίας 0,5.
    6. Α) . Για : .
    Β. Ανάπτυξη
    1. Λόγοι: . Σταθερός! → Άρα ανάλογα, σταθερά αναλογίας 3. → Τύπος: . ⟹ Ναι, σταθερά
    2. Αναλογία (από Ο): . → : . → : → x = 600 \sec = 10\,\text{\min}. ⟹ = 1, (30 στα 20 , 600 = 10 min για 900 )
    3. Κλίση 24% . Τύπος: . → : . ⟹ 12
    MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός