Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.2

Καρτεσιανές Συντεταγμένες & Γραφική Παράσταση

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Πώς λες σε ένα πυροσβεστικό «πήγαινε εκεί» με ακρίβεια; «2 δεξιά, 2 πάνω» = το σημείο (2,2). Ο Καρτέσιος έδωσε διεύθυνση σε κάθε σημείο του επιπέδου — και γέφυρωσε άλγεβρα με γεωμετρία.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Το καρτεσιανό σύστημα Οxy

Δύο κάθετοι βαθμολογημένοι άξονες: οριζόντιος ΄ (τετμημένων), κατακόρυφος ΄ (τεταγμένων).

Τομή τους = αρχή Ο(0,0).

Αν τα μοναδιαία διαστήματα είναι ίσα → ορθοκανονικό σύστημα.

Συντεταγμένες σημείου

Κάθε σημείο Μ ορίζεται μοναδικά από ζεύγος (α, β):

• τετμημένη (1ος αριθμός, πάνω στον ).

• τεταγμένη (2ος αριθμός, πάνω στον ).

Γράφουμε Μ(α, β). Π.χ. Μ(4, 2).

Κάθε σημείο → ένα ζεύγος. Κάθε ζεύγος → ένα σημείο.

💡 Θυμάμαι:Κάθε σημείο του άξονα έχει τεταγμένη 0: π.χ. (2,0). Κάθε σημείο του άξονα έχει τετμημένη 0: π.χ. (0,3).

Τεταρτημόρια

Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια (πρόσημα τετμημένης, τεταγμένης):

• 1ο: (+, +) • 2ο: (−, +)

• 3ο: (−, −) • 4ο: (+, −)

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Γραφική παράσταση = το σύνολο όλων των σημείων (x, ) της συνάρτησης.

Σημείο Μ(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση ⇔ οι συντεταγμένες του ΕΠΑΛΗΘΕΥΟΥΝ τον τύπο.

📝 Παράδειγμα
Ανήκουν τα Κ(4,6) και στη γραφική παράσταση της ;
  1. Κ(4,6): . Ισχύει → ανήκει ✓.
  2. : → ΔΕΝ ανήκει.
= Κ ανήκει, Λ όχι

Η γραφική της y = 2x − 2 (το παράδειγμα). Κάθε σημείο ΠΑΝΩ στην ευθεία επαληθεύει τον τύπο — όποιο είναι εκτός, δεν ανήκει.

Εξίσωσηy = 2x − 2
xyO-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, 0)
2.0
-2.0
Κλίση α
2
Τομή με y
(0, -2)
Τομή με x
(1, 0)

Έλεγχος «είναι γραφική συνάρτησης;»

Κάθε κάθετη ευθεία (παράλληλη στον ) πρέπει να τέμνει τη γραμμή σε ΤΟ ΠΟΛΥ ένα σημείο.

Αν μια κάθετη την τέμνει σε 2+ σημεία → ΔΕΝ είναι γραφική συνάρτησης (ένα θα είχε δύο ).

Απόσταση σημείων (με Πυθαγόρειο)

Φτιάχνεις ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις διαφορές συντεταγμένων.

Π.χ. Α(1,1), Β(5,4): . → .

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Στο σημείο Μ(4,2), ο αριθμός 4 είναι η τετμημένη.
Σωστό / Λάθος · 2
Κάθε σημείο του άξονα ΄ έχει τεταγμένη 0.
Σωστό / Λάθος · 3
Αν μια κάθετη ευθεία τέμνει μια γραμμή σε 2 σημεία, η γραμμή είναι γραφική συνάρτησης.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Σε ποιο τεταρτημόριο είναι το (−3, 5);
Πολλαπλής επιλογής · 5
Ανήκει το στη γραφική της ;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Απόσταση των και ;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Συμπλήρωσε πίνακα της για .
  1. για κάθε :
  2. →−1, −2→0, −1→1, 0→2, 1→3, 2→4, 3→5.
  3. Τα σημεία βρίσκονται πάνω σε ευθεία.
✓ Απάντηση: (−3,−1),(−2,0),(−1,1),(0,2),(1,3),(2,4),(3,5)
Άσκηση 2
Βρες το συμμετρικό του Μ(2,3) ως προς: άξονα , άξονα , αρχή Ο.
  1. Ως προς ΄: αλλάζει πρόσημο το → (2,−3).
  2. Ως προς ΄: αλλάζει πρόσημο το → (−2,3).
  3. Ως προς Ο: αλλάζουν και τα δύο → (−2,−3).
✓ Απάντηση: (2,−3), (−2,3), (−2,−3)
Άσκηση 3
Απόσταση ρ του Μ(6,8) από την αρχή Ο(0,0).
  1. Διαφορές από το : 6 και 8.
  2. .
✓ Απάντηση:

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Σε ποιο τεταρτημόριο το (+, −);
Πολλαπλής επιλογής · 8
Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα ΄;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ανήκει το στη γραφική της ;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Συντεταγμένες σημείου στον άξονα με τεταγμένη 3;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Απόσταση των Α(1,1) και Β(4,5);

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί ο «έλεγχος κάθετης ευθείας» λέει αν μια γραμμή είναι γραφική συνάρτησης;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 3 · §3.2

Καρτεσιανές Συντεταγμένες & Γραφική Παράσταση

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Το καρτεσιανό σύστημα Οxy
  • Δύο κάθετοι βαθμολογημένοι άξονες: οριζόντιος ΄ (τετμημένων), κατακόρυφος ΄ (τεταγμένων).
  • Τομή τους = αρχή Ο(0,0).
  • Αν τα μοναδιαία διαστήματα είναι ίσα → ορθοκανονικό σύστημα.
Συντεταγμένες σημείου
  • Κάθε σημείο Μ ορίζεται μοναδικά από ζεύγος (α, β):
  • • τετμημένη (1ος αριθμός, πάνω στον ).
  • • τεταγμένη (2ος αριθμός, πάνω στον ).
  • Γράφουμε Μ(α, β). Π.χ. Μ(4, 2).
  • Κάθε σημείο → ένα ζεύγος. Κάθε ζεύγος → ένα σημείο.
Τεταρτημόρια
  • Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια (πρόσημα τετμημένης, τεταγμένης):
  • • 1ο: (+, +) • 2ο: (−, +)
  • • 3ο: (−, −) • 4ο: (+, −)
Γραφική παράσταση συνάρτησης
  • Γραφική παράσταση = το σύνολο όλων των σημείων (x, ) της συνάρτησης.
  • Σημείο Μ(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση ⇔ οι συντεταγμένες του ΕΠΑΛΗΘΕΥΟΥΝ τον τύπο.
Γραφική παράσταση: y = 2x − 2
xy-8-6-4-22468-8-6-4-22468(1, 0)
Έλεγχος «είναι γραφική συνάρτησης;»
  • Κάθε κάθετη ευθεία (παράλληλη στον ) πρέπει να τέμνει τη γραμμή σε ΤΟ ΠΟΛΥ ένα σημείο.
  • Αν μια κάθετη την τέμνει σε 2+ σημεία → ΔΕΝ είναι γραφική συνάρτησης (ένα θα είχε δύο ).
Απόσταση σημείων (με Πυθαγόρειο)
  • Φτιάχνεις ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις διαφορές συντεταγμένων.
  • Π.χ. Α(1,1), Β(5,4): . → .

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Στο σημείο Μ(4,2), ο αριθμός 4 είναι η τετμημένη.Σ ◻  Λ ◻
2.
Κάθε σημείο του άξονα ΄ έχει τεταγμένη 0.Σ ◻  Λ ◻
3.
Αν μια κάθετη ευθεία τέμνει μια γραμμή σε 2 σημεία, η γραμμή είναι γραφική συνάρτησης.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Σε ποιο τεταρτημόριο είναι το (−3, 5);
Α) 1οΒ) 2οΓ) 3οΔ) 4ο
2.
Ανήκει το στη γραφική της ;
Α) ΝαιΒ) ΌχιΓ) Μόνο αν Δ) Δεν ορίζεται
3.
Απόσταση των και ;
Α) 5Β) 7Γ) Δ) 12
4.
Σε ποιο τεταρτημόριο το (+, −);
Α) 4οΒ) 1οΓ) 2οΔ) 3ο
5.
Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα ΄;
Α) (3,5)Β) (−3,−5)Γ) (3,−5)Δ) (5,−3)
6.
Ανήκει το στη γραφική της ;
Α) Όχι (y θα ήταν 7)Β) ΝαιΓ) Μόνο αν Δ) Ανήκει στον
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Συμπλήρωσε πίνακα της για .
8.
Βρες το συμμετρικό του Μ(2,3) ως προς: άξονα , άξονα , αρχή Ο.
9.
Απόσταση ρ του Μ(6,8) από την αρχή Ο(0,0).
Λύσεις · Καρτεσιανές Συντεταγμένες & Γραφική Παράσταση
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Σωστό3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Β) Τετμημένη , τεταγμένη → (−,+) → 2ο τεταρτημόριο.
  2. Α) . Ισχύει → ανήκει.
  3. Α) Διαφορές: . .
  4. Α) Θετική τετμημένη, αρνητική τεταγμένη → 4ο τεταρτημόριο.
  5. Α) Ως προς ΄ αλλάζει το πρόσημο της τετμημένης: (3,5).
  6. Α) . Δεν ανήκει.
Β. Ανάπτυξη
  1. για κάθε : → →−1, −2→0, −1→1, 0→2, 1→3, 2→4, 3→5. → Τα σημεία βρίσκονται πάνω σε ευθεία. ⟹ (−3,−1),(−2,0),(−1,1),(0,2),(1,3),(2,4),(3,5)
  2. Ως προς ΄: αλλάζει πρόσημο το → (2,−3). → Ως προς ΄: αλλάζει πρόσημο το → (−2,3). → Ως προς Ο: αλλάζουν και τα δύο → (−2,−3). ⟹ (2,−3), (−2,3), (−2,−3)
  3. Διαφορές από το : 6 και 8. → . ⟹
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός