Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.1

Η Έννοια της Συνάρτησης (Πίνακας & Τύπος)

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Αγοράζεις μήλα 3€/κιλό: 2 κιλά → 6€, 3 κιλά → 9€. Κάθε ποσότητα δίνει ΜΙΑ ακριβώς τιμή. Αυτή η «μηχανή» που μετατρέπει x σε y λέγεται συνάρτηση — η καρδιά όλων των μαθηματικών.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Συμμεταβολή

Συμμεταβολή = όταν δύο μεγέθη αλλάζουν ταυτόχρονα.

Π.χ. μάζα μήλων ↔ αξία· βάθος δύτη ↔ πίεση νερού.

Συχνά το ένα μέγεθος «προκαλεί»/καθορίζει τη μεταβολή του άλλου.

★ Ορισμός συνάρτησης

Συνάρτηση = διαδικασία όπου κάθε τιμή αντιστοιχίζεται σε ΜΙΑ ΜΟΝΟ τιμή .

Το «μία μόνο» είναι το κλειδί: ένα → ακριβώς ένα (όχι δύο).

Π.χ. μήλα: κάθε ποσότητα κιλών δίνει ακριβώς μία τιμή σε ευρώ. Συνάρτηση.

💡 Θυμάμαι:Αντιπαράδειγμα: «12 λίτρα βενζίνη» μια μέρα έδωσαν 115 km, άλλη μέρα 107 km. Το ίδιο δίνει δύο → ΔΕΝ είναι συνάρτηση.

Ανεξάρτητη & Εξαρτημένη μεταβλητή

ανεξάρτητη μεταβλητή (αυτή που «δίνουμε»).

εξαρτημένη μεταβλητή (αυτή που «προκύπτει», εξαρτάται από το ).

Λέμε «το είναι συνάρτηση του ».

Τύπος συνάρτησης

Τύπος = η εξίσωση που συνδέει συμβολικά το με το .

Στα μήλα: (αξία × κιλά).

📝 Παράδειγμα
Ελαιοπαραγωγός παίρνει λάδι ίσο με το 25% του βάρους των ελιών (0,25 κιλά λάδι ανά κιλό ελιές). Τύπος; Πόσα κιλά ελιές χρειάζονται για 150 κιλά λάδι;
  1. Από κιλά ελιές → 0, κιλά λάδι. Τύπος: .
  2. Για : → .
= — χρειάζονται 600 κιλά ελιές

Πίνακας τιμών & 4 αναπαραστάσεις

Πίνακας τιμών = πίνακας με τιμές και τις αντίστοιχες .

Είναι πίνακας συνάρτησης ⇔ όλα τα ζεύγη (x,) έχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ πρώτο στοιχείο .

Μια συνάρτηση παριστάνεται 4 τρόπους: λεκτικά, αριθμητικά (πίνακας), συμβολικά (τύπος), γραφικά.

💡 Θυμάμαι:Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις τύπο! Π.χ. «σε κάθε παιδί → το ύψος του» είναι συνάρτηση χωρίς τύπο.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Σε μια συνάρτηση, κάθε τιμή αντιστοιχεί σε ΜΙΑ μόνο τιμή .
Σωστό / Λάθος · 2
Στον τύπο , το είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.
Σωστό / Λάθος · 3
Ένας πίνακας όπου το δίνει μια φορά και άλλη φορά είναι συνάρτηση.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Ρόμβος με πλευρά . Ο τύπος της περιμέτρου ;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Κατάστημα κάνει έκπτωση 18%. Νέα τιμή ως συνάρτηση παλιάς ;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ποιος πίνακας ΔΕΝ είναι συνάρτησης; (x→)

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Σκέφτομαι αριθμό, τον τριπλασιάζω, προσθέτω 3. α) Αν σκεφτώ −1; β) Αν προκύψει 12, τι σκέφτηκα; γ) Τύπος;
  1. Τύπος: .
  2. α) =−1: .
  3. β) =12: → → .
✓ Απάντηση: = +3, α) 0, β) 3
Άσκηση 2
Πίνακας ακεραίων και τετραγώνων: είναι συνάρτηση; Τύπος;
  1. Κάθε ακέραιος έχει ΕΝΑ τετράγωνο → συνάρτηση.
  2. Ανεξάρτητη (ακέραιος), εξαρτημένη (τετράγωνο).
  3. Τύπος: .
✓ Απάντηση: Ναι, συνάρτηση
Άσκηση 3
Ορθογώνιο εμβαδού 72 c με πλευρές , . Τύπος ως συνάρτηση ;
  1. Εμβαδόν .
  2. Λύνω ως προς : .
✓ Απάντηση:

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Πορτοκάλια 0,90€. Τύπος αξίας για κιλά;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Στον , για πόσο είναι το ;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ποια ΕΙΝΑΙ συνάρτηση;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Συμπλήρωσε για :
Πολλαπλής επιλογής · 11
Καναπές με έκπτωση 40%. Τύπος τελικής τιμής ως συνάρτηση αρχικής ;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί η συνθήκη «ένα → ένα » είναι τόσο σημαντική για μια συνάρτηση;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 3 · §3.1

Η Έννοια της Συνάρτησης (Πίνακας & Τύπος)

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Συμμεταβολή
  • Συμμεταβολή = όταν δύο μεγέθη αλλάζουν ταυτόχρονα.
  • Π.χ. μάζα μήλων ↔ αξία· βάθος δύτη ↔ πίεση νερού.
  • Συχνά το ένα μέγεθος «προκαλεί»/καθορίζει τη μεταβολή του άλλου.
Ορισμός συνάρτησης
  • Συνάρτηση = διαδικασία όπου κάθε τιμή αντιστοιχίζεται σε ΜΙΑ ΜΟΝΟ τιμή .
  • Το «μία μόνο» είναι το κλειδί: ένα → ακριβώς ένα (όχι δύο).
  • Π.χ. μήλα: κάθε ποσότητα κιλών δίνει ακριβώς μία τιμή σε ευρώ. Συνάρτηση.
Ανεξάρτητη & Εξαρτημένη μεταβλητή
  • ανεξάρτητη μεταβλητή (αυτή που «δίνουμε»).
  • εξαρτημένη μεταβλητή (αυτή που «προκύπτει», εξαρτάται από το ).
  • Λέμε «το είναι συνάρτηση του ».
Τύπος συνάρτησης
  • Τύπος = η εξίσωση που συνδέει συμβολικά το με το .
  • Στα μήλα: (αξία × κιλά).
Πίνακας τιμών & 4 αναπαραστάσεις
  • Πίνακας τιμών = πίνακας με τιμές και τις αντίστοιχες .
  • Είναι πίνακας συνάρτησης ⇔ όλα τα ζεύγη (x,) έχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ πρώτο στοιχείο .
  • Μια συνάρτηση παριστάνεται 4 τρόπους: λεκτικά, αριθμητικά (πίνακας), συμβολικά (τύπος), γραφικά.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Σε μια συνάρτηση, κάθε τιμή αντιστοιχεί σε ΜΙΑ μόνο τιμή .Σ ◻  Λ ◻
2.
Στον τύπο , το είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.Σ ◻  Λ ◻
3.
Ένας πίνακας όπου το δίνει μια φορά και άλλη φορά είναι συνάρτηση.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Ρόμβος με πλευρά . Ο τύπος της περιμέτρου ;
Α) Β) Γ) Δ)
2.
Κατάστημα κάνει έκπτωση 18%. Νέα τιμή ως συνάρτηση παλιάς ;
Α) Β) Γ) Δ)
3.
Ποιος πίνακας ΔΕΝ είναι συνάρτησης; (x→)
Α) (0,9)(1,9)(2,9)(3,9)Β) (9,1)(9,2)(9,3)(9,4)Γ) (1,1)(2,4)(3,9)Δ) (−2,4)(−1,1)(0,0)
4.
Πορτοκάλια 0,90€. Τύπος αξίας για κιλά;
Α) Β) Γ) Δ)
5.
Στον , για πόσο είναι το ;
Α) −6Β) 0Γ) 6Δ) −3
6.
Ποια ΕΙΝΑΙ συνάρτηση;
Α) Σε κάθε μαθητή → το ύψος τουΒ) Σε κάθε ύψος → οι μαθητές με αυτόΓ) Σε κάθε αριθμό → όλοι οι μεγαλύτεροί τουΔ) Σε κάθε χρώμα → τα αντικείμενα με αυτό
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Σκέφτομαι αριθμό, τον τριπλασιάζω, προσθέτω 3. α) Αν σκεφτώ −1; β) Αν προκύψει 12, τι σκέφτηκα; γ) Τύπος;
8.
Πίνακας ακεραίων και τετραγώνων: είναι συνάρτηση; Τύπος;
9.
Ορθογώνιο εμβαδού 72 c με πλευρές , . Τύπος ως συνάρτηση ;
Λύσεις · Η Έννοια της Συνάρτησης (Πίνακας & Τύπος)
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) Περίμετρος ρόμβου ίσες πλευρές .
  2. Α) Με −18% πληρώνεις το 82%: .
  3. Β) Στο β) το ΙΔΙΟ δίνει πολλά (1,2,3,4) → όχι συνάρτηση. (Στο α) το ίδιο για διάφορα είναι ΟΚ — η συνθήκη είναι για το .)
  4. Α) Αξία = τιμή/κιλό × κιλά .
  5. Α) .
  6. Α) Κάθε μαθητής έχει ΕΝΑ ύψος → συνάρτηση. Οι άλλες αντιστοιχίζουν ένα σε πολλά .
Β. Ανάπτυξη
  1. Τύπος: . → α) =−1: . → β) =12: → → . ⟹ = +3, α) 0, β) 3
  2. Κάθε ακέραιος έχει ΕΝΑ τετράγωνο → συνάρτηση. → Ανεξάρτητη (ακέραιος), εξαρτημένη (τετράγωνο). → Τύπος: . ⟹ Ναι, συνάρτηση
  3. Εμβαδόν . → Λύνω ως προς : . ⟹
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός