Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.5

Ρεαλιστικά Προβλήματα με Εξισώσεις

⏱ ~14 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Η εξίσωση είναι το μοντέλο — αλλά η πραγματικότητα έχει τον τελευταίο λόγο. Εδώ μαθαίνεις να μεταφράζεις πρόβλημα σε εξίσωση ΚΑΙ να κρίνεις αν η μαθηματική λύση στέκει στον πραγματικό κόσμο.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης

Πραγματικό πρόβλημα → εξίσωση (το «μαθηματικό μοντέλο») → λύση → ερμηνεία & έλεγχος στο πλαίσιο του προβλήματος.

Το τελευταίο στάδιο ξεχωρίζει τον καλό λύτη: η λύση της εξίσωσης ΔΕΝ είναι αυτόματα λύση του προβλήματος.

Πορεία επίλυσης (5 βήματα)

1. Διάβασε· ξεχώρισε δεδομένα από ζητούμενα.

2. Συμβόλισε με ΕΝΑ ζητούμενο — συνήθως το μικρότερο μέγεθος.

3. Έκφρασε τα υπόλοιπα μεγέθη μέσω του .

4. Μετάφρασε τη σχέση της εκφώνησης σε εξίσωση και λύσε (§2.4).

5. Έλεγξε τη λύση ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ, όχι μόνο στην εξίσωση.

📝 Παράδειγμα
Γήπεδο βόλεϊ: μήκος διπλάσιο του πλάτους, περίμετρος 54 . Διαστάσεις;
  1. Πλάτος , μήκος .
  2. Περίμετρος: → .
  3. Πλάτος 9 , μήκος 18 . Έλεγχος: ✓.
= 9 × 18

★ Οι 3 ετυμηγορίες του ελέγχου

Όταν η λύση «δεν κάθεται» στο πρόβλημα, ο έλεγχος βγάζει μία από τρεις ετυμηγορίες:

1) ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΝΩ — όταν πρέπει να καλυφθεί ανάγκη: 320 μαθητές, λεωφορεία 50 θέσεων → → → χρειάζονται 7 (με 6 μένουν 20 μαθητές έξω).

2) ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΩ — όταν υπάρχει όριο που δεν ξεπερνιέται: με 12€, δημητριακά 5,25€ και νερά 1,50€ → → → αγοράζει 4 φιάλες (η 5η δεν πληρώνεται).

3) ΑΠΟΡΡΙΨΗ — όταν η λύση είναι αδύνατη στο πλαίσιο: αρνητικό πλήθος, μη ακέραιος αριθμός ατόμων, βαθμός πάνω από το 20.

💡 Θυμάμαι:Ίδια εξίσωση, διαφορετικό πλαίσιο → διαφορετική απάντηση. Το πλαίσιο αποφασίζει.

Προβλήματα κίνησης

Βασική σχέση: απόσταση = ταχύτητα × χρόνος .

Όταν δύο κινητά διανύουν την ΙΔΙΑ απόσταση, εξισώνεις τις δύο εκφράσεις της.

📝 Παράδειγμα
Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν μαζί από την Α προς τη Β, με και . Το γρήγορο φτάνει 2 ώρες νωρίτερα. Απόσταση ΑΒ;
  1. Χρόνος αργού , γρήγορου .
  2. Ίδια απόσταση: .
  3. → → .
  4. . Έλεγχος: ✓.
=

Προβλήματα ποσοστών

Έκπτωση π% σημαίνει: πληρώνεις το % της αρχικής τιμής.

Π.χ. αγορά με έκπτωση 20% και τελικό κόστος 240€: → € αρχική αξία.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Η λύση της εξίσωσης είναι πάντα και λύση του προβλήματος.
Σωστό / Λάθος · 2
Με 12€ για δημητριακά 5,25€ και νερά 1,50€ το ένα, η λύση σημαίνει 5 φιάλες.
Πολλαπλής επιλογής · 3
Μαθητής έχει 15 και 19 σε δύο διαγωνίσματα (άριστα το 20). Μπορεί να βγάλει μέσο όρο 19 με ένα τρίτο;
Πολλαπλής επιλογής · 4
Δοκάρι 3,6 κόβεται σε δύο μέρη, το ένα τριπλάσιο του άλλου. Το μικρό μέρος;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Ο Ανδρέας έχει 5€ περισσότερα από τον Βασίλη (x). Αν ο Βασίλης τού δώσει 2€, ο Ανδρέας θα έχει τετραπλάσια. Ποια εξίσωση;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Πατέρας 11πλάσιος της κόρης· σε 6 χρόνια θα είναι 5πλάσιος. Ηλικία κόρης σήμερα;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Οι τρεις τάξεις Γυμνασίου έχουν 360 μαθητές. Η Α΄ έχει διπλάσιους από τη Β΄ και η Γ΄ τριπλάσιους από τη Β΄. Πόσους έχει κάθε τάξη;
  1. Συμβολίζω με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ποσότητα (Β΄ τάξη). Τότε Α΄ , Γ΄ .
  2. → → .
  3. Α΄ , Β΄ , Γ΄ . Έλεγχος: ✓ και όλα θετικά ακέραια ✓.
✓ Απάντηση: Α΄ 120, Β΄ 60, Γ΄ 180 μαθητές
Άσκηση 2
Λύση «ζωντανά»
Άσκηση
Δύο ποδηλάτες: ο πρώτος , ο δεύτερος . Ο γρήγορος τερμάτισε 6 λεπτά νωρίτερα. Μήκος διαδρομής;

Πάτα «▶ Παίξε» για να δεις τη λύση να γράφεται βήμα-βήμα.

    6 βήματα
    Άσκηση 3
    Υπάρχει φυσικός αριθμός που, αν προστεθεί σε αριθμητή και παρονομαστή του , το κλάσμα να γίνει ίσο με 2;
    1. Έστω ο αριθμός: .
    2. → .
    3. Χωρισμός: → .
    4. Έλεγχος πλαισίου: ζητείται ΦΥΣΙΚΟΣ. Ο είναι. Ετυμηγορία: ΑΠΟΡΡΙΨΗ.
    ✓ Απάντηση: Δεν υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός

    Δοκίμασέ το μόνος/η σου

    Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

    Πολλαπλής επιλογής · 7
    Η Άννα έχει διπλάσια χρήματα από τη Ναταλία. Αν δώσει 3€ στη Ναταλία, θα έχουν ίσα. Πόσα έχει η Ναταλία;
    Πολλαπλής επιλογής · 8
    Μπλουζάκια: την Τρίτη αγόρασε 3 και περίσσεψαν 15€. Το Σάββατο, με τιμή μειωμένη κατά 5€, τα ίδια χρήματα έπαιρναν ακριβώς 5. Τιμή Τρίτης;
    Πολλαπλής επιλογής · 9
    Δύο συμπληρωματικές γωνίες: η μεγάλη ισούται με 6 φορές τη μικρή μείον 50°. Η μικρή;
    Πολλαπλής επιλογής · 10
    Πέντε διαδοχικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα 100. Ο μεσαίος;
    Πολλαπλής επιλογής · 11
    180 μαθητές, λεωφορεία 40 θέσεων. Πόσα λεωφορεία;

    Ερώτηση κατανόησης

    Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

    Πολλαπλής επιλογής · 12
    Στα προβλήματα λεωφορείων στρογγυλοποιούμε ΠΑΝΩ (6,4 → 7), στα προβλήματα αγορών ΚΑΤΩ (4,5 → 4). Τι καθορίζει τη διαφορά;
    MathHub.grΦύλλο εργασίας
    Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.5

    Ρεαλιστικά Προβλήματα με Εξισώσεις

    Όνομα: ____________________________
    Ημ/νία: ____________
    Βαθμός: _____ / 20

    Θεωρία με μια ματιά

    Ο κύκλος της μοντελοποίησης
    • Πραγματικό πρόβλημα → εξίσωση (το «μαθηματικό μοντέλο») → λύση → ερμηνεία & έλεγχος στο πλαίσιο του προβλήματος.
    • Το τελευταίο στάδιο ξεχωρίζει τον καλό λύτη: η λύση της εξίσωσης ΔΕΝ είναι αυτόματα λύση του προβλήματος.
    Πορεία επίλυσης (5 βήματα)
    • 1. Διάβασε· ξεχώρισε δεδομένα από ζητούμενα.
    • 2. Συμβόλισε με ΕΝΑ ζητούμενο — συνήθως το μικρότερο μέγεθος.
    • 3. Έκφρασε τα υπόλοιπα μεγέθη μέσω του .
    • 4. Μετάφρασε τη σχέση της εκφώνησης σε εξίσωση και λύσε (§2.4).
    • 5. Έλεγξε τη λύση ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ, όχι μόνο στην εξίσωση.
    Οι 3 ετυμηγορίες του ελέγχου
    • Όταν η λύση «δεν κάθεται» στο πρόβλημα, ο έλεγχος βγάζει μία από τρεις ετυμηγορίες:
    • 1) ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΝΩ — όταν πρέπει να καλυφθεί ανάγκη: 320 μαθητές, λεωφορεία 50 θέσεων → → → χρειάζονται 7 (με 6 μένουν 20 μαθητές έξω).
    • 2) ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΩ — όταν υπάρχει όριο που δεν ξεπερνιέται: με 12€, δημητριακά 5,25€ και νερά 1,50€ → → → αγοράζει 4 φιάλες (η 5η δεν πληρώνεται).
    • 3) ΑΠΟΡΡΙΨΗ — όταν η λύση είναι αδύνατη στο πλαίσιο: αρνητικό πλήθος, μη ακέραιος αριθμός ατόμων, βαθμός πάνω από το 20.
    Προβλήματα κίνησης
    • Βασική σχέση: απόσταση = ταχύτητα × χρόνος .
    • Όταν δύο κινητά διανύουν την ΙΔΙΑ απόσταση, εξισώνεις τις δύο εκφράσεις της.
    Προβλήματα ποσοστών
    • Έκπτωση π% σημαίνει: πληρώνεις το % της αρχικής τιμής.
    • Π.χ. αγορά με έκπτωση 20% και τελικό κόστος 240€: → € αρχική αξία.

    ΑΣωστό ή Λάθος

    1.
    Η λύση της εξίσωσης είναι πάντα και λύση του προβλήματος.Σ ◻  Λ ◻
    2.
    Με 12€ για δημητριακά 5,25€ και νερά 1,50€ το ένα, η λύση σημαίνει 5 φιάλες.Σ ◻  Λ ◻

    ΒΑσκήσεις

    Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
    1.
    Μαθητής έχει 15 και 19 σε δύο διαγωνίσματα (άριστα το 20). Μπορεί να βγάλει μέσο όρο 19 με ένα τρίτο;
    Α) Ναι, αν γράψει 23Β) Όχι — η εξίσωση δίνει , απορρίπτεταιΓ) Ναι, αν γράψει 20Δ) Όχι — η εξίσωση είναι αδύνατη
    2.
    Δοκάρι 3,6 κόβεται σε δύο μέρη, το ένα τριπλάσιο του άλλου. Το μικρό μέρος;
    Α) 1,2 Β) 2,7 Γ) 0,9 Δ) 1,8
    3.
    Ο Ανδρέας έχει 5€ περισσότερα από τον Βασίλη (x). Αν ο Βασίλης τού δώσει 2€, ο Ανδρέας θα έχει τετραπλάσια. Ποια εξίσωση;
    Α) Β) Γ) Δ)
    4.
    Πατέρας 11πλάσιος της κόρης· σε 6 χρόνια θα είναι 5πλάσιος. Ηλικία κόρης σήμερα;
    Α) 3 ετώνΒ) 5 ετώνΓ) 6 ετώνΔ) 4 ετών
    5.
    Η Άννα έχει διπλάσια χρήματα από τη Ναταλία. Αν δώσει 3€ στη Ναταλία, θα έχουν ίσα. Πόσα έχει η Ναταλία;
    Α) 3€Β) 12€Γ) 6€Δ) 9€
    6.
    Μπλουζάκια: την Τρίτη αγόρασε 3 και περίσσεψαν 15€. Το Σάββατο, με τιμή μειωμένη κατά 5€, τα ίδια χρήματα έπαιρναν ακριβώς 5. Τιμή Τρίτης;
    Α) 20€Β) 15€Γ) 25€Δ) 18€
    Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
    7.
    Οι τρεις τάξεις Γυμνασίου έχουν 360 μαθητές. Η Α΄ έχει διπλάσιους από τη Β΄ και η Γ΄ τριπλάσιους από τη Β΄. Πόσους έχει κάθε τάξη;
    8.
    Δύο ποδηλάτες: ο πρώτος , ο δεύτερος . Ο γρήγορος τερμάτισε 6 λεπτά νωρίτερα. Μήκος διαδρομής;
    9.
    Υπάρχει φυσικός αριθμός που, αν προστεθεί σε αριθμητή και παρονομαστή του , το κλάσμα να γίνει ίσο με 2;
    Λύσεις · Ρεαλιστικά Προβλήματα με Εξισώσεις
    Α. Σωστό / Λάθος
    1. Λάθος2. Λάθος
    Β. Πολλαπλής επιλογής
    1. Β) → . Αλγεβρικά σωστό, βαθμολογικά αδύνατο — ετυμηγορία: ΑΠΟΡΡΙΨΗ. (Προσοχή: η εξίσωση ΔΕΝ είναι αδύνατη — το πρόβλημα είναι.)
    2. Γ) → → (και μεγάλο 2,7 ).
    3. Α) Ανδρέας μετά: . Βασίλης μετά: . «Τετραπλάσια»: → → .
    4. Δ) → → → . (Πατέρας 44· σε 6 χρόνια ✓.)
    5. Γ) Ναταλία , Άννα . Μετά: → .
    6. Α) Τιμή Τρίτης : οικονομίες → → → €. (Οικονομίες 75€ ✓.)
    Β. Ανάπτυξη
    1. Συμβολίζω με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ποσότητα (Β΄ τάξη). Τότε Α΄ , Γ΄ . → → → . → Α΄ , Β΄ , Γ΄ . Έλεγχος: ✓ και όλα θετικά ακέραια ✓. ⟹ Α΄ 120, Β΄ 60, Γ΄ 180 μαθητές
    2. Προσοχή στις μονάδες: 6\,\text{\min} = 0{,}1\,\text{h}. → Χρόνος αργού , γρήγορου . Ίδια απόσταση: → → → → . → Διαδρομή: . Έλεγχος: ✓. ⟹ 10 km
    3. Έστω ο αριθμός: . → → . → Χωρισμός: → . → Έλεγχος πλαισίου: ζητείται ΦΥΣΙΚΟΣ. Ο είναι. Ετυμηγορία: ΑΠΟΡΡΙΨΗ. ⟹ Δεν υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός
    MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός