Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.4

Λύση Εξίσωσης με τις Ιδιότητες της Ισότητας

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Μία αρχή λύνει κάθε εξίσωση 1ου βαθμού: η εξίσωση είναι ζυγαριά σε ισορροπία — ό,τι κάνεις στο ένα μέλος, το κάνεις και στο άλλο. Από αυτήν βγαίνει η μέθοδος που θα χρησιμοποιείς μέχρι το Λύκειο και μετά.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Οι ιδιότητες της ισότητας (η ζυγαριά)

Σε μια εξίσωση μπορούμε, χωρίς να αλλάξουν οι λύσεις της:

• Να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό ή παράσταση και στα δύο μέλη.

• Να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τα δύο μέλη με τον ίδιο ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟ αριθμό.

Κάθε τέτοιο βήμα δίνει ισοδύναμη εξίσωση — ίδιες λύσεις, απλούστερη μορφή.

💡 Θυμάμαι:Διαίρεση με 0 αποκλείεται: δεν ορίζεται. Και πολλαπλασιασμός με 0 καταστρέφει: η «χάνει» κάθε πληροφορία για το .

★ Ο πρακτικός κανόνας: μεταφορά όρων

Από τις ιδιότητες βγαίνει ο κανόνας που γράφεις στην πράξη: όρος που αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.

Δεν είναι «κόλπο» — είναι η αφαίρεση και από τα δύο μέλη, γραμμένη σύντομα: το με « και μέλη» γίνεται κατευθείαν .

📝 Παράδειγμα
Λύσε: .
  1. Μεταφορά: άγνωστοι αριστερά, γνωστοί δεξιά → .
  2. Αναγωγή: .
  3. Διαίρεση με 5: . Έλεγχος: και ✓.
=

★ Η πλήρης μέθοδος (5 βήματα)

1. Απαλοιφή παρονομαστών (× με το ΕΚΠ, αν υπάρχουν κλάσματα).

2. Απαλοιφή παρενθέσεων (επιμεριστική).

3. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους (μεταφορά όρων).

4. Αναγωγή όμοιων όρων → μορφή .

5. Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.

📝 Παράδειγμα
Λύσε: .
  1. Παρενθέσεις: .
  2. Χωρισμός: .
  3. Αναγωγή: . Διαίρεση: .
  4. Έλεγχος: και ✓.
=

★ Εξισώσεις με κλάσματα: απαλοιφή παρονομαστών

Τα κλάσματα φεύγουν ΠΡΙΝ από όλα: πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το ΕΚΠ των παρονομαστών.

Κάθε όρος (και οι ακέραιοι!) πολλαπλασιάζεται με το ΕΚΠ — μετά απλοποιείς και η εξίσωση μένει χωρίς κλάσματα.

📝 Παράδειγμα
Λύσε: .
  1. . Πολλαπλασιάζω όλα με 6:
  2. → .
  3. Παρενθέσεις: .
  4. Χωρισμός: → .
  5. Έλεγχος: και ✓.
=
💡 Θυμάμαι:Συχνότερο λάθος: ξεχνάς να πολλαπλασιάσεις τον «σκέτο» ακέραιο όρο (εδώ το +1) με το ΕΚΠ.

Πλήθος λύσεων — 3 περιπτώσεις

Κάθε εξίσωση 1ου βαθμού καταλήγει σε μορφή . Από εκεί:

• → ΜΟΝΑΔΙΚΗ λύση: .

• → ΑΠΕΙΡΕΣ λύσεις (αόριστη ή ταυτότητα) — κάθε αριθμός επαληθεύει.

• → ΚΑΜΙΑ λύση (αδύνατη) — κανένας αριθμός επί 0 δεν δίνει β.

📝 Παράδειγμα
Πόσες λύσεις έχουν: α) − 7 = , β) + 21 = 3(x + 7);
  1. α) − = 7 → . Αδύνατη — καμία λύση.
  2. β) + 21 = + 21 → . Ταυτότητα — άπειρες λύσεις.
= α) αδύνατη, β) αόριστη (ταυτότητα)

Η επαλήθευση δεν είναι προαιρετική

Αντικαθιστάς τη λύση και στα δύο μέλη. Αν δεν βγουν ίσα, κάποιο βήμα χάλασε — και το βρήκες ΠΡΙΝ το βρει ο διορθωτής.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Όρος που μεταφέρεται από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζει πρόσημο.
Σωστό / Λάθος · 2
Η εξίσωση έχει λύση το .
Πολλαπλής επιλογής · 3
Στην , με τι πολλαπλασιάζεις τα δύο μέλη για απαλοιφή παρονομαστών;
Πολλαπλής επιλογής · 4
Λύσε: .
Πολλαπλής επιλογής · 5
Η εξίσωση :
Πολλαπλής επιλογής · 6
Λύσε: .

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Λύση «ζωντανά»
Άσκηση
Λύσε: .

Πάτα «▶ Παίξε» για να δεις τη λύση να γράφεται βήμα-βήμα.

    6 βήματα
    Άσκηση 2
    Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς και τετράγωνο πλευράς έχουν ίσες περιμέτρους. Βρες το .
    1. Περίμετροι: τρίγωνο , τετράγωνο .
    2. → .
    3. Χωρισμός: → .
    4. Έλεγχος: τρίγωνο , τετράγωνο ✓.
    ✓ Απάντηση: (κοινή περίμετρος 12)
    Άσκηση 3
    Λύσε και χαρακτήρισε: α) + 2 = , β) 6 − ( + 1) = 5 − .
    1. α) − = −2 → . Αδύνατη.
    2. β) 6 − − 1 = 5 − → → . Ταυτότητα.
    3. Παρατήρηση: το πρόσημο πριν την παρένθεση στο β) αλλάζει ΟΛΑ τα πρόσημα μέσα της.
    ✓ Απάντηση: α) καμία λύση, β) άπειρες λύσεις

    Δοκίμασέ το μόνος/η σου

    Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

    Πολλαπλής επιλογής · 7
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 8
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 9
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 10
    Η εξίσωση :
    Πολλαπλής επιλογής · 11
    Λύσε: .

    Ερώτηση κατανόησης

    Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

    Πολλαπλής επιλογής · 12
    Γιατί μια εξίσωση 1ου βαθμού έχει 0, 1 ή άπειρες λύσεις — ποτέ ακριβώς 2;
    MathHub.grΦύλλο εργασίας
    Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.4

    Λύση Εξίσωσης με τις Ιδιότητες της Ισότητας

    Όνομα: ____________________________
    Ημ/νία: ____________
    Βαθμός: _____ / 20

    Θεωρία με μια ματιά

    Οι ιδιότητες της ισότητας (η ζυγαριά)
    • Σε μια εξίσωση μπορούμε, χωρίς να αλλάξουν οι λύσεις της:
    • • Να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό ή παράσταση και στα δύο μέλη.
    • • Να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τα δύο μέλη με τον ίδιο ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΟ αριθμό.
    • Κάθε τέτοιο βήμα δίνει ισοδύναμη εξίσωση — ίδιες λύσεις, απλούστερη μορφή.
    Ο πρακτικός κανόνας: μεταφορά όρων
    • Από τις ιδιότητες βγαίνει ο κανόνας που γράφεις στην πράξη: όρος που αλλάζει μέλος, αλλάζει πρόσημο.
    • Δεν είναι «κόλπο» — είναι η αφαίρεση και από τα δύο μέλη, γραμμένη σύντομα: το με « και μέλη» γίνεται κατευθείαν .
    Η πλήρης μέθοδος (5 βήματα)
    • 1. Απαλοιφή παρονομαστών (× με το ΕΚΠ, αν υπάρχουν κλάσματα).
    • 2. Απαλοιφή παρενθέσεων (επιμεριστική).
    • 3. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους (μεταφορά όρων).
    • 4. Αναγωγή όμοιων όρων → μορφή .
    • 5. Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
    Εξισώσεις με κλάσματα: απαλοιφή παρονομαστών
    • Τα κλάσματα φεύγουν ΠΡΙΝ από όλα: πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το ΕΚΠ των παρονομαστών.
    • Κάθε όρος (και οι ακέραιοι!) πολλαπλασιάζεται με το ΕΚΠ — μετά απλοποιείς και η εξίσωση μένει χωρίς κλάσματα.
    Πλήθος λύσεων — 3 περιπτώσεις
    • Κάθε εξίσωση 1ου βαθμού καταλήγει σε μορφή . Από εκεί:
    • • → ΜΟΝΑΔΙΚΗ λύση: .
    • • → ΑΠΕΙΡΕΣ λύσεις (αόριστη ή ταυτότητα) — κάθε αριθμός επαληθεύει.
    • • → ΚΑΜΙΑ λύση (αδύνατη) — κανένας αριθμός επί 0 δεν δίνει β.
    Η επαλήθευση δεν είναι προαιρετική
    • Αντικαθιστάς τη λύση και στα δύο μέλη. Αν δεν βγουν ίσα, κάποιο βήμα χάλασε — και το βρήκες ΠΡΙΝ το βρει ο διορθωτής.

    ΑΣωστό ή Λάθος

    1.
    Όρος που μεταφέρεται από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζει πρόσημο.Σ ◻  Λ ◻
    2.
    Η εξίσωση έχει λύση το .Σ ◻  Λ ◻

    ΒΑσκήσεις

    Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
    1.
    Στην , με τι πολλαπλασιάζεις τα δύο μέλη για απαλοιφή παρονομαστών;
    Α) Με 3Β) Με 4Γ) Με 12Δ) Με 7
    2.
    Λύσε: .
    Α) Β) Γ) Δ)
    3.
    Η εξίσωση :
    Α) Είναι αδύνατηΒ) Έχει μοναδική λύση Γ) Έχει μοναδική λύση Δ) Έχει άπειρες λύσεις (ταυτότητα)
    4.
    Λύσε: .
    Α) Β) Γ) Δ)
    5.
    Λύσε: .
    Α) Β) Γ) Δ)
    6.
    Λύσε: .
    Α) Β) Γ) Δ)
    Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
    7.
    Λύσε: .
    8.
    Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς και τετράγωνο πλευράς έχουν ίσες περιμέτρους. Βρες το .
    9.
    Λύσε και χαρακτήρισε: α) + 2 = , β) 6 − ( + 1) = 5 − .
    Λύσεις · Λύση Εξίσωσης με τις Ιδιότητες της Ισότητας
    Α. Σωστό / Λάθος
    1. Σωστό2. Λάθος
    Β. Πολλαπλής επιλογής
    1. Γ) . Προκύπτει → → .
    2. Α) Χωρισμός: → → .
    3. Δ) → → . Κάθε αριθμός επαληθεύει.
    4. Β) → → . Έλεγχος: και ✓.
    5. Α) → → .
    6. Β) → → .
    Β. Ανάπτυξη
    1. . Πολλαπλασιάζω όλους τους όρους με 24: → → . → Χωρισμός: . → Αναγωγή: . Διαίρεση: . → Έλεγχος: και ✓. ⟹
    2. Περίμετροι: τρίγωνο , τετράγωνο . → → . → Χωρισμός: → . → Έλεγχος: τρίγωνο , τετράγωνο ✓. ⟹ (κοινή περίμετρος 12)
    3. α) − = −2 → . Αδύνατη. → β) 6 − − 1 = 5 − → → . Ταυτότητα. → Παρατήρηση: το πρόσημο πριν την παρένθεση στο β) αλλάζει ΟΛΑ τα πρόσημα μέσα της. ⟹ α) καμία λύση, β) άπειρες λύσεις
    MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός