Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.3

Εξίσωση 1ου Βαθμού (Έννοια & Εισαγωγή)

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Η εξίσωση είναι μια ερώτηση γραμμένη στη γλώσσα της άλγεβρας: «ποιος αριθμός κάνει την ισότητα αληθινή;». Εδώ μαθαίνεις την ορολογία και δύο πρώτες μεθόδους απάντησης.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τι είναι εξίσωση

Εξίσωση: ισότητα με τουλάχιστον μία μεταβλητή, της οποίας την τιμή ζητάμε.

Π.χ. .

Ορολογία: αριστερά του «=» το 1ο μέλος, δεξιά το 2ο μέλος. Η μεταβλητή = άγνωστος. Όροι με τον άγνωστο = άγνωστοι όροι, σκέτοι αριθμοί = γνωστοί όροι.

Λύση (ρίζα) & επαλήθευση

Λύση ή ρίζα: κάθε αριθμός που επαληθεύει την ισότητα.

Το σημαντικό: ΔΕΝ χρειάζεσαι κανέναν να σου πει αν βρήκες σωστά. Αντικαθιστάς τη λύση και βλέπεις αν τα δύο μέλη βγάζουν το ίδιο. Η άλγεβρα αυτοελέγχεται.

📝 Παράδειγμα
Είναι ο λύση της ;
  1. Αντικατάσταση: .
  2. Τα δύο μέλη ίσα → επαληθεύει.
= είναι λύση

Βαθμός εξίσωσης

Ο εκθέτης του αγνώστου (με μη μηδενικό συντελεστή) ορίζει τον βαθμό.

→ ¹ → 1ου βαθμού. → → 2ου βαθμού.

Σε αυτό το κεφάλαιο: μόνο 1ου βαθμού.

Μέθοδος 1: Αντίστροφες πράξεις

Αν ο άγνωστος εμφανίζεται ΜΙΑ φορά, η εξίσωση είναι μια αλυσίδα πράξεων πάνω του. Την «ξετυλίγεις» ανάποδα: ξεκινάς από το αποτέλεσμα και αντιστρέφεις κάθε πράξη (+ ↔ −, × ↔ :).

📝 Παράδειγμα
Λύσε: .
  1. Η αλυσίδα: → (:2) → (−1) → 19.
  2. Ανάποδα: 19 → (+1) → 20 → (×2) → 40.
  3. Έλεγχος: ✓.
=

Μέθοδος 2: Στοχευμένες δοκιμές

Δοκιμάζεις τιμές και «στενεύεις»: αν το αποτέλεσμα βγει μικρό, ανεβαίνεις· αν βγει μεγάλο, κατεβαίνεις.

Π.χ. : δίνει 33 (μικρό), δίνει 49 (μεγάλο), δίνει 41 ✓.

Ξεκάθαρα: οι δοκιμές βοηθούν να ΚΑΤΑΛΑΒΕΙΣ τι ψάχνεις — αλλά είναι αργές. Η γενική μέθοδος που λύνει τα πάντα έρχεται στην §2.4.

Ισοδύναμες εξισώσεις

Δύο εξισώσεις με τις ίδιες ακριβώς λύσεις λέγονται ισοδύναμες. Π.χ. και .

Όλη η επίλυση είναι αυτό: μετασχηματίζεις την εξίσωση σε όλο και απλούστερες ισοδύναμες, μέχρι να μείνει « αριθμός».

💡 Θυμάμαι:Κράτα αυτή την ιδέα — είναι ο σκελετός της §2.4.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Στην εξίσωση , το «» είναι το 2ο μέλος.
Σωστό / Λάθος · 2
Ο είναι λύση της .
Πολλαπλής επιλογής · 3
Η εξίσωση είναι:
Πολλαπλής επιλογής · 4
«Σκέφτομαι αριθμό, τον διαιρώ με 7, βρίσκω 4.» Ο αριθμός;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Η λύση της ;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Η Αλίκη έχει 27 τραγούδια — 5 περισσότερα από τα διπλάσια της Γεωργίας (x). Ποια εξίσωση το λέει;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Λύση «ζωντανά»
Άσκηση
Λύσε με αντίστροφες πράξεις: .

Πάτα «▶ Παίξε» για να δεις τη λύση να γράφεται βήμα-βήμα.

    4 βήματα
    Άσκηση 2
    Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 93. Βρες τους.
    1. Συμβολισμός: (ο μεσαίος ).
    2. → → .
    3. Άρα 30, 31, 32. Έλεγχος: ✓.
    ✓ Απάντηση: 30, 31, 32
    Άσκηση 3
    Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 9 ισούται με το επταπλάσιό του αυξημένο κατά 26. Ποιος είναι ο αριθμός;
    1. Εξίσωση: — άγνωστος και στα ΔΥΟ μέλη, οι αντίστροφες πράξεις δεν αρκούν.
    2. Στοχευμένες δοκιμές σε αρνητικούς (τα μέλη πλησιάζουν όσο κατεβαίνουμε):
    3. : μέλη −19 και −9. : μέλη −23 και −23. Ίσα ✓.
    ✓ Απάντηση: (στην §2.4 αυτή λύνεται σε 3 γραμμές)

    Δοκίμασέ το μόνος/η σου

    Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

    Πολλαπλής επιλογής · 7
    Είναι ο λύση της ;
    Πολλαπλής επιλογής · 8
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 9
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 10
    Λύσε: .
    Πολλαπλής επιλογής · 11
    Πέντε ίσες σανίδες κόβονται από σανίδα 185 cm και περισσεύουν 35 cm. Μήκος κάθε σανίδας;

    Ερώτηση κατανόησης

    Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

    Πολλαπλής επιλογής · 12
    Γιατί οι αντίστροφες πράξεις δουλεύουν ΜΟΝΟ όταν ο άγνωστος εμφανίζεται μία φορά;
    MathHub.grΦύλλο εργασίας
    Β΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.3

    Εξίσωση 1ου Βαθμού (Έννοια & Εισαγωγή)

    Όνομα: ____________________________
    Ημ/νία: ____________
    Βαθμός: _____ / 20

    Θεωρία με μια ματιά

    Τι είναι εξίσωση
    • Εξίσωση: ισότητα με τουλάχιστον μία μεταβλητή, της οποίας την τιμή ζητάμε.
    • Π.χ. .
    • Ορολογία: αριστερά του «=» το 1ο μέλος, δεξιά το 2ο μέλος. Η μεταβλητή = άγνωστος. Όροι με τον άγνωστο = άγνωστοι όροι, σκέτοι αριθμοί = γνωστοί όροι.
    Λύση (ρίζα) & επαλήθευση
    • Λύση ή ρίζα: κάθε αριθμός που επαληθεύει την ισότητα.
    • Το σημαντικό: ΔΕΝ χρειάζεσαι κανέναν να σου πει αν βρήκες σωστά. Αντικαθιστάς τη λύση και βλέπεις αν τα δύο μέλη βγάζουν το ίδιο. Η άλγεβρα αυτοελέγχεται.
    Βαθμός εξίσωσης
    • Ο εκθέτης του αγνώστου (με μη μηδενικό συντελεστή) ορίζει τον βαθμό.
    • → ¹ → 1ου βαθμού. → → 2ου βαθμού.
    • Σε αυτό το κεφάλαιο: μόνο 1ου βαθμού.
    Μέθοδος 1: Αντίστροφες πράξεις
    • Αν ο άγνωστος εμφανίζεται ΜΙΑ φορά, η εξίσωση είναι μια αλυσίδα πράξεων πάνω του. Την «ξετυλίγεις» ανάποδα: ξεκινάς από το αποτέλεσμα και αντιστρέφεις κάθε πράξη (+ ↔ −, × ↔ :).
    Μέθοδος 2: Στοχευμένες δοκιμές
    • Δοκιμάζεις τιμές και «στενεύεις»: αν το αποτέλεσμα βγει μικρό, ανεβαίνεις· αν βγει μεγάλο, κατεβαίνεις.
    • Π.χ. : δίνει 33 (μικρό), δίνει 49 (μεγάλο), δίνει 41 ✓.
    • Ξεκάθαρα: οι δοκιμές βοηθούν να ΚΑΤΑΛΑΒΕΙΣ τι ψάχνεις — αλλά είναι αργές. Η γενική μέθοδος που λύνει τα πάντα έρχεται στην §2.4.
    Ισοδύναμες εξισώσεις
    • Δύο εξισώσεις με τις ίδιες ακριβώς λύσεις λέγονται ισοδύναμες. Π.χ. και .
    • Όλη η επίλυση είναι αυτό: μετασχηματίζεις την εξίσωση σε όλο και απλούστερες ισοδύναμες, μέχρι να μείνει « αριθμός».

    ΑΣωστό ή Λάθος

    1.
    Στην εξίσωση , το «» είναι το 2ο μέλος.Σ ◻  Λ ◻
    2.
    Ο είναι λύση της .Σ ◻  Λ ◻

    ΒΑσκήσεις

    Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
    1.
    Η εξίσωση είναι:
    Α) 1ου βαθμούΒ) 2ου βαθμούΓ) χωρίς βαθμόΔ) ισοδύναμη με
    2.
    «Σκέφτομαι αριθμό, τον διαιρώ με 7, βρίσκω 4.» Ο αριθμός;
    Α) Β) 28Γ) Δ) 11
    3.
    Η λύση της ;
    Α) Β) Γ) Δ)
    4.
    Η Αλίκη έχει 27 τραγούδια — 5 περισσότερα από τα διπλάσια της Γεωργίας (x). Ποια εξίσωση το λέει;
    Α) Β) Γ) Δ)
    5.
    Είναι ο λύση της ;
    Α) ΌχιΒ) ΝαιΓ) Μόνο αν Δ) Δεν ορίζεται
    6.
    Λύσε: .
    Α) Β) Γ) Δ)
    Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
    7.
    Λύσε με αντίστροφες πράξεις: .
    8.
    Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 93. Βρες τους.
    9.
    Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 9 ισούται με το επταπλάσιό του αυξημένο κατά 26. Ποιος είναι ο αριθμός;
    Λύσεις · Εξίσωση 1ου Βαθμού (Έννοια & Εισαγωγή)
    Α. Σωστό / Λάθος
    1. Λάθος2. Σωστό
    Β. Πολλαπλής επιλογής
    1. Β) Ο άγνωστος έχει εκθέτη 2 → 2ου βαθμού. (Και όχι ισοδύναμη με : το έχει ΔΥΟ λύσεις, ή .)
    2. Β) . Αντίστροφη του «:7» είναι «×7»: . Έλεγχος: ✓.
    3. Δ) Ανάποδα: , μετά −18 : . Έλεγχος: ✓.
    4. Γ) Διπλάσια της Γεωργίας: . Πέντε περισσότερα από αυτά: . Αυτό ισούται με 27.
    5. Β) ✓.
    6. Α) Ανάποδα: , μετά 51 : . Έλεγχος: ✓.
    Β. Ανάπτυξη
    1. Η αλυσίδα πάνω στο : (+1) → (×8) → 56. → Αντίστροφη του «×8»: 56 : . Άρα . → Αντίστροφη του «+1»: . Άρα . → Έλεγχος: ✓. ⟹
    2. Συμβολισμός: (ο μεσαίος ). → → → . → Άρα 30, 31, 32. Έλεγχος: ✓. ⟹ 30, 31, 32
    3. Εξίσωση: — άγνωστος και στα ΔΥΟ μέλη, οι αντίστροφες πράξεις δεν αρκούν. → Στοχευμένες δοκιμές σε αρνητικούς (τα μέλη πλησιάζουν όσο κατεβαίνουμε): → : μέλη −19 και −9. : μέλη −23 και −23. Ίσα ✓. ⟹ (στην §2.4 αυτή λύνεται σε 3 γραμμές)
    MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός