Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.2

Αλγεβρικές Παραστάσεις

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Τα γράμματα στα μαθηματικά δεν είναι μυστήριο — είναι «κουτιά» που κρατάνε αριθμούς. Σήμερα μαθαίνεις να τα χειρίζεσαι: να μαζεύεις όμοια, να ανοίγεις παρενθέσεις, να απλοποιείς.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τι είναι αλγεβρική παράσταση

Αλγεβρική παράσταση: έκφραση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές και αριθμούς.

Μεταβλητή: γράμμα που παριστάνει αριθμό (μπορεί να πάρει διάφορες τιμές).

Παραδείγματα: $x + 1, 2 x^{2} y, 3 α, 5 α β + 7$ .

Όροι & συστατικά

Όρος: τμήμα παράστασης με μόνο πολλαπλασιασμούς (αριθμού × μεταβλητών). Π.χ. στο $3 x y^{2} + 4$ , οι όροι είναι $3 x y$ ² και 4.

• Συντελεστής: ο αριθμητικός παράγοντας. Στο $3 x y$ ², συντελεστής $= 3$ .

• Μεταβλητές: τα γράμματα. Στο $3 x y$ ², μεταβλητές $x$ , $y$ .

• Σταθερός όρος: σκέτος αριθμός (π.χ. το 4).

💡 Θυμάμαι:Όταν ο συντελεστής είναι 1, παραλείπεται:

1 x^{2} = x^{2}

. Μεταξύ αριθμού-μεταβλητής το × εννοείται:

26 x y = 26 \cdot x \cdot y

Όμοιοι όροι

Όμοιοι όροι: έχουν ΤΙΣ ΙΔΙΕΣ μεταβλητές στους ΙΔΙΟΥΣ εκθέτες.

Π.χ. στο $3 x^{2} + 8 x y - 9 x y + 5 x$ : όμοιοι είναι μόνο οι $8 x y$ και $- 9 x y$ .

Οι $3 x$ ² και $5 x$ ΔΕΝ είναι όμοιοι (ίδια μεταβλητή $x$ αλλά διαφορετικός εκθέτης: 2 vs 1).

Οι σταθεροί όροι είναι πάντα όμοιοι μεταξύ τους.

Αναγωγή όμοιων όρων

Αναγωγή = μάζεμα όμοιων όρων σε έναν, προσθέτοντας τους συντελεστές.

Π.χ. $2 x + 3 x = (2 + 3) x = 5 x$ .

ΠΡΟΣΟΧΗ: μόνο όμοιοι όροι μαζεύονται! $3 x + 2 x = 5 x (ΟΧΙ 5 x^{2})$ . Και $3 x + 4 ΔΕΝ$ μαζεύεται (διαφορετικοί όροι).

📝 Παράδειγμα

Απλοποίησε:

4 x + 6 z - x + 8 y + 3 z - 5 y

Όμοιοι: $(4 x, - x), (6 z, 3 z), (8 y, - 5 y)$ .
$x$ : $(4 - 1) x = 3 x$
$z$ : $(6 + 3) z = 9 z$
$y$ : $(8 - 5) y = 3 y$

3 x + 3 y + 9 z

Επιμεριστική ιδιότητα

$α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$

Χρήσεις:

• Άνοιγμα παρένθεσης: $3 \cdot (x + 2) = 3 x + 6$

• Με αρνητικό: $- 3 α \cdot (2 β - 4 α) = - 6 α β + 12 α^{2}$

• Κοινός παράγοντας (αντίστροφα): $5 x + 5 y = 5 (x + y)$

💡 Θυμάμαι:Αρνητικό πριν από παρένθεση = πολλαπλασιασμός με −1:

- (- 5 x + 3) = 5 x - 3

(αλλάζουν ΟΛΑ τα πρόσημα).

Διπλή επιμεριστική ιδιότητα

$(α + β) (γ + δ) = α γ + α δ + β γ + β δ$

Κάθε όρος της 1ης παρένθεσης × κάθε όρο της 2ης, μετά πρόσθεση.

Σχεδίασε «βελάκια» για να μην ξεχάσεις κανένα γινόμενο (4 γινόμενα συνολικά).

📝 Παράδειγμα

Ανάπτυξε:

(5 x + 3) (2 - x)

$5 x \cdot 2 + 5 x \cdot (- x) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot (- x)$
$= 10 x - 5 x^{2} + 6 - 3 x$
Αναγωγή: $- 5 x^{2} + (10 x - 3 x) + 6$
$= - 5 x^{2} + 7 x + 6$

- 5 x^{2} + 7 x + 6

Αριθμητική τιμή

Για να βρεις την τιμή: αντικατέστησε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνε πράξεις (με προτεραιότητα).

Συμβουλή: πρώτα ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΕ την παράσταση, μετά αντικατέστησε — λιγότερες πράξεις, λιγότερα λάθη.

📝 Παράδειγμα

Βρες την τιμή του

B = 2 x + 4 x^{2} - 2 x - 5 + x^{2}

για

x = - 2

Πρώτα απλοποιώ: $4 x^{2} + x^{2} = 5 x^{2}$ και $2 x - 2 x = 0$ . Άρα $B = 5 x^{2} - 5$ .
Αντικαθιστώ $x = - 2$ : $B = 5 \cdot (- 2)^{2} - 5 = 5 \cdot 4 - 5 = 20 - 5 = 15$ .

= 15

Ισοδύναμες παραστάσεις

Δύο παραστάσεις είναι ισοδύναμες αν δίνουν ΤΗΝ ΙΔΙΑ τιμή για ΟΛΕΣ τις τιμές των μεταβλητών.

Π.χ. $5 x + x$ και $6 x$ είναι ισοδύναμες (πάντα ίσες).

Αλλά $x$ + $x$ και $x^{2}$ ΔΕΝ είναι (ίσες μόνο για $x = 0$ και $x = 2$ — όχι παντού).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Οι όροι

3 x

² και

5 x

είναι όμοιοι.

Σωστό / Λάθος · 2

Ισχύει

3 x + 2 x = 5 x^{2}

Σωστό / Λάθος · 3

Οι παραστάσεις

5 x + x

και

6 x

είναι ισοδύναμες.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Πόσο κάνει

2 α^{2} + 3 α^{2}

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο κάνει

7 (α + 2)

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Η τιμή της

13 - 10 x

για

x = - 1

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Απλοποίησε:

2 (x + 1) + 3 (x - 2)

Επιμεριστική: $2 x + 2 + 3 x - 6$ .
Αναγωγή: $(2 x + 3 x) + (2 - 6) = 5 x - 4$ .

✓ Απάντηση:

5 x - 4

Άσκηση 2

Απλοποίησε:

9 x + 6 y - (8 y - 3 x)

Αρνητικό πριν παρένθεση → αλλάζουν πρόσημα: $9 x + 6 y - 8 y + 3 x$ .
Αναγωγή: $(9 x + 3 x) + (6 y - 8 y) = 12 x - 2 y$ .

✓ Απάντηση:

12 x - 2 y

Άσκηση 3

Ανάπτυξε:

(- x + 2) (2 x - 3)

$(- x) \cdot 2 x + (- x) \cdot (- 3) + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot (- 3)$
$= - 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6$
Αναγωγή: $- 2 x^{2} + 7 x - 6$ .

✓ Απάντηση:

- 2 x^{2} + 7 x - 6

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Στην

- 4 x + 3 - 4 x^{2} + 3 x

, ποιοι είναι όμοιοι όροι;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Απλοποίησε:

5 x - 7 x + 3 x

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ανάπτυξε:

- 5 (- 2 x + 4)

Πολλαπλής επιλογής · 10

Τιμή της

A = x^{2} + y^{2} + 2 x y

για

x = 3, y = - 2

;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Αν

x + y = \frac{1}{5}

, πόσο κάνει

A = 4 (x + 5 y) + 5 (4 x + y) + x

;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί δεν μπορούμε να «μαζέψουμε» τους όρους

3 x

και 4 σε έναν;

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Θεωρία

Τι είναι αλγεβρική παράσταση

Όροι & συστατικά

Όμοιοι όροι

Αναγωγή όμοιων όρων

Επιμεριστική ιδιότητα

Διπλή επιμεριστική ιδιότητα

Αριθμητική τιμή

Ισοδύναμες παραστάσεις

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Τι είναι αλγεβρική παράσταση

Όροι & συστατικά

Όμοιοι όροι

Αναγωγή όμοιων όρων

Επιμεριστική ιδιότητα

Διπλή επιμεριστική ιδιότητα

Αριθμητική τιμή

Ισοδύναμες παραστάσεις

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης