Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.1

Γραμμικές Αριθμητικές Κανονικότητες

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Τραπέζια που ενώνονται, σανίδες σε παρτέρια, σκαλοπάτια: όλα ακολουθούν μοτίβα. Σήμερα μαθαίνεις να βρίσκεις τον «μυστικό κανόνα» που προβλέπει οποιονδήποτε όρο — ακόμα και τον 1000ό — χωρίς να μετράς έναν-έναν.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τι είναι κανονικότητα

Κανονικότητα (ή μοτίβο): μια δομή στοιχείων που παράγεται από έναν κανόνα.

Κάθε στοιχείο λέγεται όρος. Η θέση του στη σειρά είναι η σειρά του όρου (ν = 1, 2, 3, …).

Παράδειγμα: 2, 4, 6, 8, … (άρτιοι) — κάθε όρος = προηγούμενος + 2.

Γραμμική κανονικότητα: y = α·ν + β

Γραμμική αριθμητική κανονικότητα: κάθε όρος (εκτός του 1ου) προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον ΙΔΙΟ σταθερό αριθμό.

Γενικός τύπος: $y = α \cdot ν + β$ , όπου:

• $α =$ η σταθερή διαφορά (πόσο αλλάζει κάθε φορά)

• $β =$ προσαρμογή ώστε να βγαίνει σωστά ο 1ος όρος

• $ν =$ η θέση του όρου (1, 2, 3, …)

• $y =$ η τιμή του όρου

💡 Θυμάμαι:Χαρακτηριστικό-κλειδί: ΣΤΑΘΕΡΗ διαφορά μεταξύ διαδοχικών όρων. Αν η διαφορά αλλάζει, ΔΕΝ είναι γραμμική.

Δύο κανόνες

1) Κανόνας «από όρο σε όρο» (αναδρομικός): «πρόσθεσε τον α στον προηγούμενο». Καλό για τους ΕΠΟΜΕΝΟΥΣ όρους.

2) Γενικός κανόνας (νιοστού όρου): $y = α \cdot ν + β$ . Καλό για ΟΠΟΙΟΝΔΗΠΟΤΕ όρο απευθείας (π.χ. ο 100ός).

📝 Παράδειγμα

Παρτέρια: 1→4 σανίδες, 2→7, 3→10, 4→13. Βρες τον γενικό τύπο και τον 100ό όρο.

Σταθερή διαφορά: $7 - 4 = 3$ . Άρα $α = 3$ .
1ος όρος $(ν = 1)$ : 4. Από $y = 3 \cdot 1 + β = 4$ → $β = 1$ .
Γενικός τύπος: $y = 3 ν + 1$ .
100ός όρος: $y = 3 \cdot 100 + 1 = 301$ σανίδες.

y = 3 ν + 1, 100 \overset{ο}{ˊ} ς

όρος

= 301

Πώς βρίσκω τον τύπο από αριθμούς

Βήμα 1: Βρες τη σταθερή διαφορά α (αφαίρεσε δύο διαδοχικούς όρους).

Βήμα 2: Γράψε $y = α \cdot ν + β$ .

Βήμα 3: Αντικατέστησε ένα γνωστό ζεύγος (ν, $y$ ) για να βρεις το β.

📝 Παράδειγμα

Ακολουθία: −8, −14, −20, −26, … Βρες τον γενικό όρο.

Διαφορά: $- 14 - (- 8) = - 6$ . Άρα $α = - 6$ .
$y = - 6 ν + β$ . Για $ν = 1, y = - 8$ : $- 8 = - 6 \cdot 1 + β$ → $β = - 2$ .
Γενικός όρος: $y = - 6 ν - 2$ .

y = - 6 ν - 2

Πρόσημο της διαφοράς α

$α > 0$ → η ακολουθία ΑΥΞΑΝΕΙ (π.χ. 5, 8, 11, …).

$α < 0$ → η ακολουθία ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ (π.χ. 18, 15, 12, …).

Στη γραφική παράσταση: όλα τα σημεία (ν, $y$ ) βρίσκονται πάνω σε μία ΕΥΘΕΙΑ — γι' αυτό λέγεται «γραμμική».

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Η ακολουθία 1, 2, 4, 8, 16, … είναι γραμμική κανονικότητα.

Σωστό / Λάθος · 2

Στον τύπο

y = α \cdot ν + β

, ο α είναι η σταθερή διαφορά διαδοχικών όρων.

Πολλαπλής επιλογής · 3

Ποια ακολουθία είναι γραμμική;

Πολλαπλής επιλογής · 4

Γενικός όρος της 10, 13, 16, 19, …;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Ο 5ος όρος της 7, 0, −7, −14, …;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Στον κανόνα

A = - 5 ν + 8

, ποια πρόταση είναι σωστή;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Αεροπλάνο στα

10000 m

αρχίζει κάθοδο.

t = 0

→

10000, t = 1

→

9700, t = 2

→9400. Τύπος ύψους

h (t)

; Πότε προσγειώνεται;

Κάθε λεπτό το ύψος μειώνεται κατά $300 m (9700 - 10000 = - 300)$ .
Τύπος: $h = 10000 - 300 t$ .
Προσγείωση όταν $h = 0$ : $0 = 10000 - 300 t$ → $300 t = 10000$ → $t \approx 33, 3$ λεπτά.

✓ Απάντηση:

h = 10000 - 300 t

, προσγείωση ~33 λεπτά

Άσκηση 2

Πάρκινγκ: 3€ είσοδος + 2€

/ \overset{ω}{ˊ} ρα

. Τύπος δαπάνης

y

για ν ώρες;

1 ώρα: $3 + 2 = 5$ €. 2 ώρες: 7€. 3 ώρες: 9€. Σταθερή διαφορά 2 → $α = 2$ .
$y = 2 ν + β$ . Για $ν = 1, y = 5$ : $5 = 2 \cdot 1 + β$ → $β = 3$ .
Τύπος: $y = 2 ν + 3$ .

✓ Απάντηση:

y = 2 ν + 3

Άσκηση 3

Στάδιο: 1η σειρά 680 θέσεις, κάθε επόμενη +32. Πόσες θέσεις στην 26η σειρά;

$α = 32$ (σταθερή αύξηση). 1ος όρος 680.
$y = 32 ν + β$ . Για $ν = 1, y = 680$ : $680 = 32 + β$ → $β = 648$ .
Τύπος: $y = 32 ν + 648$ . Για $ν = 26$ : $y = 32 \cdot 26 + 648 = 832 + 648 = 1480$ .

✓ Απάντηση: 1480 θέσεις στην 26η σειρά

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Γενικός όρος της 8, 10, 12, 14, …;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Πρώτος όρος 6, διαφορά −8. Ποιοι οι 4 πρώτοι όροι;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Γενικός όρος της −9, −12, −15, −18, …;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Η Κωνσταντίνα έχει 193 τραγούδια, προσθέτει 5/εβδομάδα. Πόσα μετά από 8 εβδομάδες;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Πύργος καλαθιών: 55, 61, 67, 73, … Αν δεν ξεπερνά τα

170 cm

, πόσα καλάθια το πολύ;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί ο γενικός κανόνας

y =

αν + β είναι πιο ισχυρός από τον «από όρο σε όρο»;

Γραμμικές Αριθμητικές Κανονικότητες

Θεωρία

Τι είναι κανονικότητα

Γραμμική κανονικότητα: y = α·ν + β

Δύο κανόνες

Πώς βρίσκω τον τύπο από αριθμούς

Πρόσημο της διαφοράς α

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Γραμμικές Αριθμητικές Κανονικότητες

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Τι είναι κανονικότητα

Γραμμική κανονικότητα: y = α·ν + β

Δύο κανόνες

Πώς βρίσκω τον τύπο από αριθμούς

Πρόσημο της διαφοράς α

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης