Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.7

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Ρητοί ∪ Άρρητοι)

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Ρητοί + Άρρητοι = Πραγματικοί (R). Όλοι μαζί γεμίζουν την ευθεία ΧΩΡΙΣ ΚΕΝΑ. Κάθε σημείο της ευθείας = ένας πραγματικός αριθμός. Κάθε πραγματικός αριθμός = ένα σημείο.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Η ιεραρχία συνόλων αριθμών

$N$ ⊂ $Z$ ⊂ $Q$ ⊂ $R$

• $N =$ Φυσικοί: 0, 1, 2, 3, …

• $Z =$ Ακέραιοι: …, −2, −1, 0, 1, 2, …

• $Q =$ Ρητοί: όλοι ως $\frac{α}{β}$ (δεκαδικοί τερματιζόμενοι ή περιοδικοί).

• $R =$ Πραγματικοί: όλοι οι ρητοί + όλοι οι άρρητοι.

💡 Θυμάμαι:Κάθε φυσικός είναι ακέραιος. Κάθε ακέραιος είναι ρητός. Κάθε ρητός είναι πραγματικός. Το αντίθετο ΔΕΝ ισχύει: ο

2

είναι πραγματικός αλλά όχι ρητός.

Ορισμός: R = πραγματικοί

Πραγματικός αριθμός = κάθε ρητός ή άρρητος.

Συμβολίζεται $R$ (από το real).

Παραδείγματα: −6, − $12$ , −0,333..., $- \frac{7}{16}, 0, 1, 24, π, 2, 2, 101101110$ ...

Η ευθεία των πραγματικών

Στην ευθεία: ορίζουμε σημείο $O = 0$ , διάνυσμα μήκους 1 → όλα τα άλλα σημεία παίρνουν τιμή.

Δεξιά $O$ : θετικοί. Αριστερά $O$ : αρνητικοί.

Στην ευθεία τοποθετούμε ΟΛΟΥΣ τους πραγματικούς — ρητούς και άρρητους.

Δύο κρίσιμες ιδιότητες:

• Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ΕΝΑ ακριβώς σημείο της ευθείας.

• Κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε ΕΝΑΝ ακριβώς πραγματικό αριθμό.

💡 Θυμάμαι:Αυτό λέγεται "συνεχής αντιστοιχία" — η

R

"γεμίζει" την ευθεία χωρίς κενά. Με μόνο τους ρητούς θα είχαμε άπειρες τρύπες (στις θέσεις των άρρητων).

Γεωμετρική κατασκευή του √2

Πώς τοποθετούμε ακριβώς τον $2$ στον άξονα; Με γεωμετρία!

1. Σχεδιάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 και 1.

2. Υποτείνουσα $= 1^{2} + 1^{2} = 2$ (από Πυθαγόρειο).

3. Με διαβήτη παίρνουμε αυτό το μήκος και το μεταφέρουμε στον άξονα από το $O$ .

Άρα $2$ ΥΠΑΡΧΕΙ ως γεωμετρικό μέγεθος, ΑΚΡΙΒΩΣ, αν και δεν γράφεται ως κλάσμα.

Δυνάμεις πραγματικών

Όλος ο ορισμός και οι ιδιότητες των δυνάμεων (από §1.1, §1.2) ΙΣΧΥΟΥΝ και για βάση πραγματικό αριθμό.

Π.χ.:

$(7)^{4} = 7^{2} = 49$ (γιατί ( $7$ )² = 7)

$π^{0} = 1$

( $6$ )⁻ $² = \frac{1}{6}^{2} = \frac{1}{6}$

$π \cdot π \cdot π \cdot π \cdot π \cdot π = π^{6}$

Η εξίσωση x² = α

Πόσες λύσεις έχει στους πραγματικούς; Εξαρτάται από το πρόσημο του α:

$α > 0$ → ΔΥΟ λύσεις: $x = + α$ και $x = - α$ .

$α = 0$ → ΜΙΑ λύση: $x = 0$ .

$α < 0$ → ΚΑΜΙΑ λύση (αδύνατη), γιατί κάθε τετράγωνο $\geq 0$ .

📝 Παράδειγμα

Λύσε: α)

x^{2}

= 3,24, β)

x^{2}

= −36, γ)

x^{2}

= 0.

α) 3,24 > 0 → δύο λύσεις. $3, 24 = 1, 8$ (γιατί 1, $8^{2}$ = 3,24). Άρα $x = + 1, 8$ ή $x = - 1, 8$ .
β) −36 < 0 → αδύνατη. Κανένας πραγματικός δεν δίνει αρνητικό τετράγωνο.
γ) $x^{2}$ = 0 → $x = 0$ μοναδική λύση.

= α)

x

= ±1,8, β) αδύνατη, γ)

x

= 0

Χρυσή τομή φ

Ένας διάσημος άρρητος: $φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 6180339$ ...

Εμφανίζεται σε αρχιτεκτονική (Παρθενώνας), τέχνη (Da Vinci), φυσική (φύλλα φυτών), φύση.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Κάθε πραγματικός αριθμός είναι ρητός.

Σωστό / Λάθος · 2

Κάθε άρρητος είναι πραγματικός.

Σωστό / Λάθος · 3

Η εξίσωση

x^{2} = - 9

έχει δύο λύσεις στους πραγματικούς.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Σε ποιο σημείο της ευθείας πραγματικών βρίσκεται ο

2

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο κάνει (

7

)⁴;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Λύσεις της

x^{2} = 0

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Τοποθέτησε τους αριθμούς από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο: −

16

, −3,38, −

6

17

\frac{1 + 5}{2}

, 2,5̄,

\frac{21}{5}

Υπολογίζω καθένα προσεγγιστικά:
$- 16 = - 4$
−3,38
$- 6 \approx - 2, 45$
$17$ : $4^{2} = 16 < 17 < 25 = 5^{2}$ , άρα $4 < 17 < 5$ . Ακριβέστερα $17 \approx 4, 12$ .
$\frac{1 + 5}{2} \approx \frac{1 + 2 , 236}{2} \approx 1, 62$
2,5̄ $= 2, 555$ ...
$\frac{21}{5} = 4, 2$
Διάταξη: $- 4 < - 3, 38 < - 2, 45 < 1, 62 < 2, 56 < 4, 12 < 4, 2$

✓ Απάντηση:

- 16 < - 3, 38 < - 6 < \frac{1 + 5}{2} < 2, 5

< 17 < \frac{21}{5}

Άσκηση 2

Υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες 2 cm και 7 cm. Βρες ρητή προσέγγιση στο δέκατο.

Πυθαγόρειο: $α^{2} = 2^{2} + 7^{2} = 4 + 49 = 53$ .
$α = 53$ .
Δοκιμές: $7^{2} = 49, 7, 3^{2} = 53, 29, 7, 2^{2} = 51, 84$ .
|51,84−53| $= 1, 16$ και |53,29−53| $= 0, 29$ . Πιο κοντά στο 7,3.

✓ Απάντηση:

α \approx 7, 3 cm

Άσκηση 3

Αγρότισσα αγόρασε γη 6422€ προς 247€

/ m^{2}

(τετράγωνο). Πλευρά;

Εμβαδόν $= \frac{6422}{247} = 26 m^{2}$ .
Πλευρά $= 26 m$ (άρρητος).
Προσέγγιση: $5^{2} = 25, 5, 1^{2} = 26, 01$ . Άρα $26 \approx 5, 1 m$ .

✓ Απάντηση: Ακριβής πλευρά:

26

m

. Προσέγγιση:

\approx 5, 1 m

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Μεταξύ ποιων ακεραίων βρίσκεται η

69

;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Ποια ανισότητα είναι σωστή;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ποιος ΔΕΝ είναι άρρητος;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Η εξίσωση

x^{2} = \frac{81}{16}

έχει λύσεις:

Πολλαπλής επιλογής · 11

Πόσο κάνει (

13

)⁰;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί χρειαζόμαστε τους πραγματικούς (R) και όχι μόνο τους ρητούς (Q);

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Ρητοί ∪ Άρρητοι)

Θεωρία

Η ιεραρχία συνόλων αριθμών

Ορισμός: R = πραγματικοί

Η ευθεία των πραγματικών

Γεωμετρική κατασκευή του √2

Δυνάμεις πραγματικών

Η εξίσωση x² = α

Χρυσή τομή φ

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Πραγματικοί Αριθμοί (R = Ρητοί ∪ Άρρητοι)

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Η ιεραρχία συνόλων αριθμών

Ορισμός: R = πραγματικοί

Η ευθεία των πραγματικών

Γεωμετρική κατασκευή του √2

Δυνάμεις πραγματικών

Η εξίσωση x² = α

Χρυσή τομή φ

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης