Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.6

Ρητοί, Άρρητοι & Δεκαδικές Μορφές

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Όλοι οι αριθμοί που έχεις γνωρίσει μέχρι τώρα γράφονται ως κλάσμα. Σήμερα ανακαλύπτεις έναν εντελώς νέο τύπο: τους άρρητους — αριθμούς που ΔΕΝ γράφονται ως κλάσμα. Όπως ο π και η √2.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Δεκαδική μορφή ρητών — δύο τύποι

Κάθε ρητός $\frac{α}{β}$ γράφεται σε δεκαδική μορφή κάνοντας τη διαίρεση. Αποτέλεσμα: μία από δύο περιπτώσεις:

Α) Δεκαδικός με ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ψηφία (τερματίζεται). Π.χ. $\frac{3}{8} = 0, 375$ .

Β) ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ δεκαδικός: άπειρα ψηφία, αλλά από κάποιο σημείο και μετά επαναλαμβάνονται. Π.χ. $\frac{5}{9} = 0, 555$ ... $= 0, 5$ ̄

💡 Θυμάμαι:Συμβολισμός: βάζουμε γραμμή πάνω από την περίοδο. 0,5̄

= 0, 555

..., 0,4̄5̄

= 0, 4545

..., 0,72̄1̄3̄

= 0, 7213213

...

Κανόνας: πότε τερματίζεται;

Κανόνας: ένα κλάσμα (στην ανάγωγη μορφή του) τερματίζεται ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ ο παρονομαστής περιέχει ΜΟΝΟ 2 και 5 ως πρώτους παράγοντες.

Παραδείγματα:

$\frac{3}{80} = \frac{3}{2 ^{4} \cdot 5}$ → τερματίζεται. $(\frac{3}{80} = 0, 0375)$

$\frac{19}{250} = \frac{19}{2 \cdot 5 ^{3}}$ → τερματίζεται. $(\frac{19}{250} = 0, 076)$

$\frac{7}{12} = \frac{7}{2 ^{2} \cdot 3}$ → ΟΧΙ! Ο 3 δεν επιτρέπεται. ( $\frac{7}{12}$ = 0,583̄ περιοδικό)

Άρρητοι: ποιοι είναι;

Άρρητος αριθμός = ένας αριθμός που ΔΕΝ μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα $\frac{α}{β}$ με α, β ακέραιους και $β \neq = 0$ .

Πώς αναγνωρίζονται: η δεκαδική μορφή τους έχει ΑΠΕΙΡΑ μη περιοδικά ψηφία.

Παραδείγματα:

$2 = 1, 41421356237$ ... (άπειρα, χωρίς πρότυπο)

$3 = 1, 73205080$ ...

$π = 3, 14159265358979$ ...

$5$ , $7$ , $11$ , ... (όλες οι ρίζες μη τέλειων τετραγώνων).

💡 Θυμάμαι:Όλες οι τετραγωνικές ρίζες θετικών αριθμών ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ τέλεια τετράγωνα είναι άρρητες.

16 = 4

ρητός.

17

άρρητος.

Γιατί η √2 είναι άρρητος (εποπτικά)

Σε τετράγωνο πλευράς 1, η διαγώνιος έχει μήκος $2$ (από Πυθαγόρειο: $1^{2} + 1^{2} = x^{2}$ , άρα $x$ = $2$ ).

Προσπαθούμε να βρούμε δεκαδικό $x$ με $x^{2} = 2$ :

$1^{2} = 1, 2^{2} = 4$ → άρα $1 < 2 < 2$

$1, 4^{2} = 1, 96, 1, 5^{2} = 2, 25$ → άρα $1, 4 < 2 < 1, 5$

$1, 4 1^{2} = 1, 9881, 1, 4 2^{2} = 2, 0164$ → άρα $1, 41 < 2 < 1, 42$

...συνεχίζοντας: 1,414, 1,4142, 1,41421...

Η διαδικασία ΔΕΝ τελειώνει. Δεν υπάρχει ρητός που να ισούται ακριβώς με $2$ .

💡 Θυμάμαι:Η ασυμμετρία διαγωνίου-πλευράς ήταν σκάνδαλο για τους αρχαίους Πυθαγόρειους — ανέτρεψε την πίστη τους ότι "όλα είναι αριθμός" (= ρητός).

Ρητές προσεγγίσεις άρρητων

Αφού δεν μπορούμε να γράψουμε άρρητο ακριβώς, τον προσεγγίζουμε με ρητούς:

$2 \approx 1, 4$ (στο δέκατο, έλλειψη)

$2 \approx 1, 41$ (στο εκατοστό)

$2 \approx 1, 414$ (στο χιλιοστό)

π ≈ 3,14 (πιο γνωστό)

$π \approx \frac{22}{7} = 3, 142857$ ... (αρχαία προσέγγιση)

📝 Παράδειγμα

Με δοκιμές, βρες ρητή προσέγγιση του

3

στο δέκατο.

Ψάχνουμε $x > 0$ με $x^{2} = 3$ .
$1^{2} = 1, 2^{2} = 4$ → $1 < 3 < 2$ .
Δοκιμάζουμε: $1, 5^{2} = 2, 25, 1, 6^{2} = 2, 56, 1, 7^{2} = 2, 89, 1, 8^{2} = 3, 24$ .
$1, 7^{2} = 2, 89 < 3, 1, 8^{2} = 3, 24 > 3$ . Άρα $1, 7 < 3 < 1, 8$ .
Πλησιέστερο: |2,89−3| $= 0, 11$ και |3,24−3| $= 0, 24$ . Πιο κοντά στο 1,7.

3 \approx 1, 7

(στο δέκατο, με έλλειψη)

Σύγκριση: ρητός vs άρρητος

| | Ρητός | Άρρητος |

|-------------|-----------------|------------------|

| Γράφεται $\frac{α}{β}$ | ΝΑΙ | ΟΧΙ |

| Δεκαδικά | Πεπερασμένα ή περιοδικά | Άπειρα χωρίς περίοδο |

| Παραδείγματα | 0,5, 0,7̄, $\frac{3}{8}$ | $2$ , π, $7$ |

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Κάθε δεκαδικός αριθμός με πεπερασμένα ψηφία είναι ρητός.

Σωστό / Λάθος · 2

Ο αριθμός 0,5̄7̄

= 0, 575757

... είναι άρρητος.

Σωστό / Λάθος · 3

Ο π είναι ίσος με

\frac{22}{7}

Πολλαπλής επιλογής · 4

Ποιος είναι ρητός;

Πολλαπλής επιλογής · 5

\frac{7}{12}

γράφεται σε δεκαδική μορφή ως:

Πολλαπλής επιλογής · 6

Ποιος είναι μεγαλύτερος:

11

21

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Μετατροπή σε δεκαδική:

\frac{38}{80}

\frac{19}{250}

\frac{7}{12}

. Ποιοι τερματίζονται;

$\frac{38}{80}$ : παρονομαστής $80 = 2^{4} \cdot 5$ (μόνο 2 και 5) → τερματίζεται. $\frac{38}{80} = 0, 475$ .
$\frac{19}{250}$ : παρονομαστής $250 = 2 \cdot 5^{3}$ (μόνο 2 και 5) → τερματίζεται. $\frac{19}{250} = 0, 076$ .
$\frac{7}{12}$ : παρονομαστής $12 = 2^{2} \cdot 3$ (έχει τον 3!) → ΟΧΙ τερματισμός. $\frac{7}{12} = 0, 583$ ̄.

✓ Απάντηση: Τερματίζονται:

\frac{38}{80}

\frac{19}{250}

. Περιοδικός:

\frac{7}{12}

Άσκηση 2

Γράψε σε κλάσμα: 0,3, 0,65, −1,125.

$0, 3 = \frac{3}{10}$
$0, 65 = \frac{65}{100} = \frac{13}{20}$
$- 1, 125 = - \frac{1125}{1000} = - \frac{9}{8}$

✓ Απάντηση:

\frac{3}{10}

\frac{13}{20}

, −

\frac{9}{8}

Άσκηση 3

Βρες ρητή προσέγγιση του

3

στο εκατοστό (με αριθμομηχανή).

Στην αριθμομηχανή: $3 \approx 1, 73205080$ ...
Κόβω μετά το εκατοστό: 1,73.
Έλεγχος: $1, 7 3^{2} = 2, 9929$ και $1, 7 4^{2} = 3, 0276$ .
|2,9929−3| $= 0, 0071$ και |3,0276−3| $= 0, 0276$ . Πιο κοντά στο 1,73.

✓ Απάντηση:

3 \approx 1, 73

(στο εκατοστό)

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Ποιος ΕΙΝΑΙ άρρητος;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Το

\frac{4}{15}

σε δεκαδική:

Πολλαπλής επιλογής · 9

Στο τετράγωνο πλευράς 1, η διαγώνιος έχει μήκος:

Πολλαπλής επιλογής · 10

Καλύτερη ρητή προσέγγιση του

2

στο δέκατο:

Πολλαπλής επιλογής · 11

Ο π είναι:

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί ένας περιοδικός δεκαδικός είναι πάντα ρητός;

Ρητοί, Άρρητοι & Δεκαδικές Μορφές

Θεωρία

Δεκαδική μορφή ρητών — δύο τύποι

Κανόνας: πότε τερματίζεται;

Άρρητοι: ποιοι είναι;

Γιατί η √2 είναι άρρητος (εποπτικά)

Ρητές προσεγγίσεις άρρητων

Σύγκριση: ρητός vs άρρητος

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Ρητοί, Άρρητοι & Δεκαδικές Μορφές

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

	Ρητός	Άρρητος
Γράφεται $\frac{α}{β}$	ΝΑΙ	ΟΧΙ
Δεκαδικά	Πεπερασμένα ή περιοδικά	Άπειρα χωρίς περίοδο
Παραδείγματα	0,5, 0,7̄, $\frac{3}{8}$	$2$ , π, $7$

📖Θεωρία

Δεκαδική μορφή ρητών — δύο τύποι

Κανόνας: πότε τερματίζεται;

Άρρητοι: ποιοι είναι;

Γιατί η √2 είναι άρρητος (εποπτικά)

Ρητές προσεγγίσεις άρρητων

Σύγκριση: ρητός vs άρρητος

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης