Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.5

Τετράγωνοι Αριθμοί & Τετραγωνικές Ρίζες

⏱ ~13 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Ξέρεις την πλευρά → βρίσκεις το εμβαδόν (ύψωση στο τετράγωνο). Ξέρεις το εμβαδόν → βρίσκεις την πλευρά (τετραγωνική ρίζα). Δύο πράξεις αντίστροφες, σαν πρόσθεση/αφαίρεση.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Τέλεια τετράγωνα

Τέλειο τετράγωνο (ή τετράγωνος αριθμός): ένας θετικός ακέραιος που είναι το τετράγωνο φυσικού.

Παραδείγματα: $1 = 1^{2}, 4 = 2^{2}, 9 = 3^{2}, 16 = 4^{2}, 25 = 5^{2}, 36 = 6^{2}, 49 = 7^{2}, 64 = 8^{2}, 81 = 9^{2}, 100 = 1 0^{2}$ ...

ΟΧΙ τέλεια τετράγωνα: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11... (κανένας φυσικό $ς^{2}$ δεν τα δίνει).

💡 Θυμάμαι:Όμορφη παρατήρηση των Πυθαγορείων: 1+3+5+7+...

+ (2 ν - 1) = ν^{2}

. Δηλ. το άθροισμα των πρώτων ν περιττών αριθμών

= ν^{2}

Ορισμός τετραγωνικής ρίζας

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο ΘΕΤΙΚΟΣ αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει α. Συμβολίζεται $α$ .

Δηλ. αν $α = x$ , τότε $x^{2} = α$ (και $x$ ≥ 0).

Ορίζουμε επίσης: $0 = 0$ .

Παραδείγματα: $25 = 5$ (γιατί $5^{2} = 25$ , και 5 > 0). $144 = 12$ . $81 = 9$ .

💡 Θυμάμαι:Το σύμβολο √ λέγεται "ριζικό". Ο αριθμός μέσα στο ριζικό λέγεται "υπόρριζος".

ΠΡΟΣΟΧΗ: η ρίζα είναι πάντα θετική!

Η εξίσωση $x^{2} = 25$ έχει ΔΥΟ λύσεις: $x = 5$ και $x = - 5$ (γιατί $5^{2} = 25$ και (−5)² = 25).

Αλλά η τετραγωνική ρίζα $25$ έχει ΜΙΑ μοναδική τιμή: +5.

Δηλαδή $25 = + 5 (\overset{ο}{ˊ} χι \pm 5)$ .

📝 Παράδειγμα

Λύσε

x^{2} = 36

$x^{2} = 36$ , άρα $x = + 6$ ή $x = - 6$ .
Δύο λύσεις!

x = + 6

x = - 6

Ιδιότητες: (√α)² και √(α²)

Για $α \geq 0$ :

$(α)^{2} = α$ (ύψωση στο τετράγωνο "ακυρώνει" τη ρίζα)

$α^{2} = α$ (η ρίζα του τετραγώνου "ακυρώνει" την ύψωση)

ΠΡΟΣΟΧΗ για αρνητικό α:

$\sqrt ((- 5)^{2}) = 25 = + 5$ (η ρίζα είναι ΠΑΝΤΑ ≥ 0)

$Όχι - 5$ !

📝 Παράδειγμα

Υπολόγισε χωρίς αριθμομηχανή:

144

81

0, 16

\frac{25}{4}

$144$ : ψάχνουμε $x > 0$ με $x^{2} = 144$ . Από δοκιμές: $1 2^{2} = 144$ . Άρα $144 = 12$ .
$81 = 9 (9^{2} = 81)$ .
$0, 16 = 0, 4$ (γιατί 0, $4^{2}$ = 0,16).
$\frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ (γιατί ( $\frac{5}{2}$ )² = $\frac{25}{4}$ ).

= 12, 9, 0,4,

\frac{5}{2}

Ρίζες μεγάλων τέλειων τετραγώνων

Τέχνασμα: αν $6 0^{2} = 3600$ , τότε $3600 = 60$ . (Μπορούμε να σπάμε σε γνωστά τετράγωνα: $3600 = 36 \cdot 100 = 6^{2} \cdot 1 0^{2} = 6 0^{2}$ .)

Παρόμοια: $0, 0049 = 0, 07$ , γιατί $0, 0 7^{2} = 0, 0049$ .

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Ο αριθμός 60 είναι τέλειο τετράγωνο.

Σωστό / Λάθος · 2

Ισχύει

64 = \pm 8

Σωστό / Λάθος · 3

Ισχύει

\sqrt ((- 4)^{2}) = - 4

Πολλαπλής επιλογής · 4

Ποιος είναι ο

169

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν 256

m^{2}

. Πόσο;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Πόσο κάνει

16 + 9

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Ποιοι είναι τέλεια τετράγωνα: 36, 60, 81, 121, 164, 300;

$36 = 6^{2}$ ✓
60: $7^{2} = 49, 8^{2} = 64$ → δεν είναι.
$81 = 9^{2}$ ✓
$121 = 1 1^{2}$ ✓
164: $1 2^{2} = 144, 1 3^{2} = 169$ → δεν είναι.
300: $1 7^{2} = 289, 1 8^{2} = 324$ → δεν είναι.

✓ Απάντηση: Τέλεια: 36, 81, 121. Όχι: 60, 164, 300.

Άσκηση 2

Πλευρές τετραγώνων με εμβαδά: 121

m^{2}

, 64 c

m^{2}

, 400 d

m^{2}

, 2,89 k

m^{2}

$121 = 11 m (1 1^{2} = 121)$
$64 = 8 cm (8^{2} = 64)$
$400 = 20 d m (2 0^{2} = 400)$
$2, 89 = 1, 7 km (1, 7^{2} = 2, 89)$

✓ Απάντηση: 11

m

, 8 cm, 20 dm, 1,7 km

Άσκηση 3

Αγρόκτημα 1600

m^{2}

(τετράγωνο). Πόσο συρματόπλεγμα για περίφραξη;

Πλευρά: $1600 = 40 m$ .
Περίμετρος $= 4 \cdot$ πλευρά $= 4 \cdot 40 = 160 m$ .

✓ Απάντηση: 160

m

συρματόπλεγμα

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Πόσο κάνει

900

;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Πόσο κάνει

2, 56

;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Πόσο κάνει

3 \cdot 12

;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Πόσο κάνει

3^{2} + 4^{2}

;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Πυραμίδα του Χέοπα: τετράγωνη βάση εμβαδού 52900

m^{2}

. Πλευρά βάσης;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί ορίζουμε τη ρίζα μόνο για θετικούς (ή 0) — ΟΧΙ για αρνητικούς, στους ακέραιους/ρητούς;

Τετράγωνοι Αριθμοί & Τετραγωνικές Ρίζες

Θεωρία

Τέλεια τετράγωνα

Ορισμός τετραγωνικής ρίζας

ΠΡΟΣΟΧΗ: η ρίζα είναι πάντα θετική!

Ιδιότητες: (√α)² και √(α²)

Ρίζες μεγάλων τέλειων τετραγώνων

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Τετράγωνοι Αριθμοί & Τετραγωνικές Ρίζες

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Τέλεια τετράγωνα

Ορισμός τετραγωνικής ρίζας

ΠΡΟΣΟΧΗ: η ρίζα είναι πάντα θετική!

Ιδιότητες: (√α)² και √(α²)

Ρίζες μεγάλων τέλειων τετραγώνων

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης