Για κάθε ρητό $\alpha \ne 0$ ορίζουμε: ${\alpha }^0=1$.

Παράδειγμα: $5^0=1,(-7{)}^0=1,(\frac{2}{3}{)}^0=1,77^0=1$.

ΠΡΟΣΟΧΗ: $0^0$ είναι ΑΟΡΙΣΤΟ — δεν ορίζεται.

Για κάθε ρητό $\alpha \ne 0$ και ακέραιο ν: ${\alpha }^{-\nu }=\frac{1}{{\alpha }^{\nu }}$.

Δηλαδή: ο αρνητικός εκθέτης «αναποδογυρίζει» τη βάση.

Παραδείγματα:

2⁻$³=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

5⁻$²=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$

(−2)⁻$³={\frac{1}{-2}}^3=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$

Πολύ χρήσιμη ιδιότητα: αρνητικός εκθέτης σε κλάσμα = αντίστροφος με θετικό εκθέτη.

$(\frac{2}{3})$⁻$⁴=(\frac{3}{2}{)}^4=\frac{81}{16}$

Γιατί; $(\frac{2}{3})$⁻$⁴={\frac{1}{\frac{2}{3}}}^4=\frac{1}{\frac{2^4}{3^4}}=\frac{3^4}{2^4}=(\frac{3}{2}{)}^4$.

Οι 5 ιδιότητες του §1.1 (γινόμενο/πηλίκο ίδιας βάσης, δύναμη σε δύναμη, γινόμενο/πηλίκο ίδιου εκθέτη) ισχύουν για ΟΠΟΙΟΥΣΔΗΠΟΤΕ ακέραιους εκθέτες — θετικούς, αρνητικούς ή μηδέν.

${\alpha }^{\mu }$ · ${\alpha }^{\nu }$ = ${\alpha }^{\mu +\nu }$ (π.χ. $6^4\cdot 6$⁻$⁷=6$⁻³)

${\alpha }^{\mu }$ : ${\alpha }^{\nu }$ = ${\alpha }^{\mu -\nu }$ (π.χ. ${\alpha }^5$ : ${\alpha }^{-2}={\alpha }^7$)

$({\alpha }^{\mu }{)}^{\nu }$ = ${\alpha }^{\mu \cdot \nu }$ (π.χ. ($8^2$)⁻$⁵=8$⁻¹⁰)

${\alpha }^{\nu }$ · ${\beta }^{\nu }$ = $(\alpha \beta {)}^{\nu }$ (π.χ. (−4)⁻$⁶\cdot 0,5$⁻$⁶=(-2)$⁻⁶)

${\alpha }^{\nu }$ / ${\beta }^{\nu }$ = $(\frac{\alpha }{\beta }{)}^{\nu }$ (π.χ. 2,5⁻⁴ : 0,5⁻$⁴=5$⁻⁴)

Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι 1.

Σχέση με δυνάμεις: ${\alpha }^{\nu }$ και ${\alpha }^{-\nu }$ είναι αντίστροφοι (για $\alpha \ne 0$).

Απόδειξη: ${\alpha }^{\nu }\cdot {\alpha }^{-\nu }={\alpha }^{(}\nu +(-\nu ))={\alpha }^0=1$.

Παράδειγμα: $5^3$ και 5⁻³ είναι αντίστροφοι ($5^3\cdot 5$⁻$³=5^0=1$).