Β΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.1

Ιδιότητες Δυνάμεων Ρητών με Εκθέτη Θετικό Ακέραιο

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Πέντε χρυσοί κανόνες που μετατρέπουν πολύπλοκες παραστάσεις δυνάμεων σε μία απλή. Αν τους μάθεις, δεν θα ξανακάνεις τίποτε «με το χέρι».

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Δύναμη ρητού — επανάληψη ορισμού

Για α ρητό αριθμό και ν φυσικό $> 1$ : $α^{ν} = α \cdot α \cdot α \cdot$ … · α (ν παράγοντες).

Για $ν = 1$ : $α^{1} = α$ .

Παράδειγμα: $(\frac{2}{7})^{3} = (\frac{2}{7}) \cdot (\frac{2}{7}) \cdot (\frac{2}{7}) = \frac{8}{343}$ .

Επίσης: $(- 0, 5)^{3} = (- 0, 5) \cdot (- 0, 5) \cdot (- 0, 5) = - 0, 125$ .

💡 Θυμάμαι:

α^{2} =

«α στο τετράγωνο» (εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α).

α^{3} =

«α στον κύβο» (όγκος κύβου ακμής α).

Ιδιότητα 1 — Γινόμενο ίδιας βάσης

$α^{μ} \cdot α^{ν} = α^{μ + ν}$

Διατηρούμε τη βάση, ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ τους εκθέτες.

Παράδειγμα: $3^{4}$ · $3^{2}$ = 3·3·3·3 · 3·3 = $3^{6}$ (6 παράγοντες του 3).

Ιδιότητα 2 — Πηλίκο ίδιας βάσης

$α^{μ}$ : $α^{ν} = α^{μ - ν}$ (όταν μ > ν, α ≠ 0)

Διατηρούμε τη βάση, ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ τους εκθέτες.

Παράδειγμα: $2^{8}$ : $2^{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{5}$ (μένουν 5 παράγοντες).

Ιδιότητα 3 — Δύναμη σε δύναμη

$(α^{μ})^{ν} = α^{μ \cdot ν}$

Διατηρούμε τη βάση, ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ τους εκθέτες.

Παράδειγμα: $(5^{3})^{2} = 5^{3} \cdot 5^{3} = 5^{6} (= 5^{3 \cdot 2})$ .

💡 Θυμάμαι:ΠΡΟΣΟΧΗ:

(5^{3})^{2} \neq = 5^{3 + 2}

. Στη δύναμη δύναμης πολλαπλασιάζουμε, ΔΕΝ προσθέτουμε.

Ιδιότητα 4 — Γινόμενο ίδιου εκθέτη

$α^{ν} \cdot β^{ν} = (α \cdot β)^{ν}$

Διατηρούμε τον εκθέτη, ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ τις βάσεις.

Παράδειγμα: $2^{3} \cdot 5^{3} = (2 \cdot 5)^{3} = 1 0^{3} = 1000$ .

Πολύ χρήσιμο για να φτιάχνεις στρογγυλούς αριθμούς!

Ιδιότητα 5 — Πηλίκο ίδιου εκθέτη

$α^\frac{ν}{β}^ν = (\frac{α}{β})^ν (β \ne 0)$

Διατηρούμε τον εκθέτη, ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ τις βάσεις.

Παράδειγμα: $\frac{4 ^{2}}{3 ^{2}} = (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}$ .

📝 Παράδειγμα

Γράψε ως ΜΙΑ δύναμη:

3^{4}

4^{2}

· 625.

$625 = 5^{4}$ , και $4^{2} = (2^{2})^{2} = 2^{4}$ .
Παράσταση: $3^{4}$ · $2^{4}$ · $5^{4}$
Ιδιότητα 4 (ίδιος εκθέτης): $(3 \cdot 2 \cdot 5)^{4} = 3 0^{4}$ .

= 3

0^{4}

Πρόσημα δυνάμεων με αρνητική βάση

Θετική βάση → η δύναμη είναι ΠΑΝΤΑ θετική.

Αρνητική βάση με ΑΡΤΙΟ εκθέτη → ΘΕΤΙΚΗ δύναμη. Π.χ. $(- 3)^{6} = + 729$ .

Αρνητική βάση με ΠΕΡΙΤΤΟ εκθέτη → ΑΡΝΗΤΙΚΗ δύναμη. Π.χ. $(- 2)^{7} = - 128$ .

💡 Θυμάμαι:ΠΡΟΣΟΧΗ στη διάκριση:

(- 3)^{6} = + 729

(η βάση είναι −3). Αλλά

- 3^{6} = - 729

(πρώτα

3^{6} = 729

, μετά μπαίνει το «−»).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Ισχύει

2^{4} \cdot 2^{3} = 2

¹².

Σωστό / Λάθος · 2

Ισχύει

(5^{3})^{2} = 5^{6}

Σωστό / Λάθος · 3

Ισχύει

(- 4)^{2} = - 16

Πολλαπλής επιλογής · 4

Πόσο κάνει

2^{3}

5^{3}

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο κάνει

7^{6}

7^{4}

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Ποιος από τους παρακάτω είναι θετικός;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Γράψε ως μία δύναμη: α) (−2)³ · (−2)⁴ β) 2,

5^{3}

· 3,

2^{3}

γ) (−27)³ : (−3)³

α) Ίδια βάση −2: $(- 2)^{3 + 4} = (- 2)^{7}$
β) Ίδιος εκθέτης 3: $(2, 5 \cdot 3, 2)^{3} = 8^{3}$
γ) Ίδιος εκθέτης 3: (−27)³ : $(- 3)^{3} = (\frac{- 27}{- 3})^{3} = 9^{3}$ .

✓ Απάντηση: α) (−2)⁷, β)

8^{3}

, γ)

9^{3}

Άσκηση 2

Διάταξε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο:

A = - 3^{2}, B = (- 3)^{2}, Γ = 2^{3}, Δ = (- 2)^{3}, E = - 2^{3}

Υπολογίζω καθένα:
$A = - 3^{2} = - (3^{2}) = - 9$
$B = (- 3)^{2} = + 9$
$Γ = 2^{3} = 8$
$Δ = (- 2)^{3} = - 8$
$E = - 2^{3} = - (2^{3}) = - 8$
Σύγκριση: $- 9 < - 8 = - 8 < 8 < 9$

✓ Απάντηση:

A < Δ = E < Γ < B

Άσκηση 3

1 GB = 2^{30} b y t es

. Υπολογιστής 64 GB. Πόσα bytes;

$64 = 2^{6}$ (γιατί $2^{6}$ =64).
Σύνολο $b y t es =$ (αριθμός GB) × $(\frac{b y t es}{GB}) = 2^{6} \cdot 2^{30}$
Ιδιότητα 1: $2^{6 + 30} = 2^{36}$

✓ Απάντηση:

2^{36}

bytes

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Πόσο κάνει

2^{3}

2^{4}

;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Γράψε ως δύναμη: (

z^{3}

)⁵.

Πολλαπλής επιλογής · 9

Πόσο κάνει

4^{3}

6^{3}

;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Πόσο κάνει (−5)⁷ · (

\frac{1}{5}

)⁷;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Σεισμός 8 Ρίχτερ

= 1 0^{7}

φορές ισχυρότερος από σεισμό 1. Σεισμός

3 = 1 0^{2}

φορές ισχυρότερος από σεισμό 1. Πόσες φορές ισχυρότερος είναι ο 8 από τον 3;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί

5^{3} \cdot 4^{3} = 2 0^{3}

ΑΛΛΑ

5^{3} + 4^{3} \neq = 9^{3}

;

Ιδιότητες Δυνάμεων Ρητών με Εκθέτη Θετικό Ακέραιο

Θεωρία

Δύναμη ρητού — επανάληψη ορισμού

Ιδιότητα 1 — Γινόμενο ίδιας βάσης

Ιδιότητα 2 — Πηλίκο ίδιας βάσης

Ιδιότητα 3 — Δύναμη σε δύναμη

Ιδιότητα 4 — Γινόμενο ίδιου εκθέτη

Ιδιότητα 5 — Πηλίκο ίδιου εκθέτη

Πρόσημα δυνάμεων με αρνητική βάση

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Ιδιότητες Δυνάμεων Ρητών με Εκθέτη Θετικό Ακέραιο

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Δύναμη ρητού — επανάληψη ορισμού

Ιδιότητα 1 — Γινόμενο ίδιας βάσης

Ιδιότητα 2 — Πηλίκο ίδιας βάσης

Ιδιότητα 3 — Δύναμη σε δύναμη

Ιδιότητα 4 — Γινόμενο ίδιου εκθέτη

Ιδιότητα 5 — Πηλίκο ίδιου εκθέτη

Πρόσημα δυνάμεων με αρνητική βάση

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης