Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.3

Πράξεις με Ρητούς (+ − × ÷ & Δυνάμεις)

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Όλες οι πράξεις των ακέραιων επεκτείνονται στους ρητούς — με μία υπερδύναμη παραπάνω: η διαίρεση γίνεται πάντα! Το μυστικό; «Αναποδογυρίζω και πολλαπλασιάζω».

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Πρόσθεση & Αφαίρεση

Κλάσματα: αν ομώνυμα → πρόσθεσε αριθμητές, κράτα παρονομαστή. Αν ετερώνυμα → κάν'τα ομώνυμα (ΕΚΠ) πρώτα.

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .

Πρόσημα (ίδιος κανόνας με ακέραιους): ομόσημοι → πρόσθεση απόλυτων + κοινό πρόσημο. Ετερόσημοι → αφαίρεση + πρόσημο του μεγαλύτερου.

Αφαίρεση = πρόσθεση αντίθετου: $α - β = α + (- β)$ .

Αλγεβρικό άθροισμα

Πολλές +/− μαζί: 1) μετάτρεψε όλες σε προσθέσεις, 2) διάγραψε αντίθετους, 3) άθροισε θετικούς & αρνητικούς χωριστά.

📝 Παράδειγμα

Υπολόγισε:

(+ 7, 5) - (- 3, 4) + (- 7, 5) - (+ 8, 5) - (+ 7, 9)

Σε προσθέσεις: $+ 7, 5 + 3, 4 - 7, 5 - 8, 5 - 7, 9$ .
Διαγραφή αντίθετων ( $+ 7, 5$ και −7,5): 3,4 − 8,5 − 7,9.
Αρνητικοί: −16,4. Σύνολο: $3, 4 - 16, 4 = - 13$ .

= −13

Πολλαπλασιασμός

Κλάσματα: αριθμητής·αριθμητής / παρονομαστής·παρονομαστής. $(\frac{α}{β}) \cdot (\frac{γ}{δ}) = \frac{α γ}{β δ}$ .

Πρόσημα: ίδιος κανόνας — (+)(+)=+, (−)(−)=+, ετερόσημοι → −.

Πολλοί παράγοντες: μέτρα τους (−). Άρτιο πλήθος → +, περιττό → −.

$(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{5}{8}) = \frac{5}{16}$ . $(- 1, 2) \cdot (1, 3) = - 1, 56$ .

💡 Θυμάμαι:Προσοχή: ×κλάσμα μεγαλύτερο του 1 → μεγαλώνει· ×θετικό κλάσμα μικρότερο του 1 → ΜΙΚΡΑΙΝΕΙ. Π.χ.

8 \cdot (\frac{1}{2}) = 4 < 8

Αντίστροφοι

Δύο ρητοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους $= 1$ .

Αντίστροφος κλάσματος = «αναποδογυρισμένο»: ο αντίστροφος του $\frac{α}{β}$ είναι $\frac{β}{α}$ .

$\frac{2}{3}$ και $\frac{3}{2}$ (γιατί $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ ). Ο αντίστροφος του 7 είναι $\frac{1}{7}$ .

Το 0 ΔΕΝ έχει αντίστροφο. Οι αντίστροφοι είναι ομόσημοι.

Δύναμη ρητού

$α^{ν} = α \cdot α \cdot$ …·α (ν φορές). Πρόσημο:

Θετική βάση → πάντα θετικό.

Αρνητική βάση + άρτιος εκθέτης → θετικό. + περιττός εκθέτης → αρνητικό.

Κλάσμα: υψώνεις ΚΑΙ τους δύο όρους: $(\frac{α}{β})^{ν} = \frac{α ^{ν}}{β ^{ν}}$ .

$(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$ . $(- \frac{2}{3})^{3} = - \frac{8}{27}$ .

💡 Θυμάμαι:ΠΡΟΣΟΧΗ:

(- 1, 3)^{2} = + 1, 69

(η βάση −1,3 στο τετράγωνο). Αλλά

- (1, 3)^{2} = - 1, 69

(αντίθετος του 1,69).

★ Διαίρεση — πάντα δυνατή!

Διαίρεση = πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο: α : $(\frac{γ}{δ}) = α \cdot (\frac{δ}{γ})$ .

«Αναποδογυρίζω το 2ο και πολλαπλασιάζω.»

(−3) : $(\frac{3}{4}) = (- 3) \cdot (\frac{4}{3}) = - 4$ .

Σύνθετο κλάσμα: $\frac{\frac{α}{β}}{\frac{γ}{δ}} = \frac{α \cdot δ}{β \cdot γ}$ («άκρα/μέσα»).

📝 Παράδειγμα

Ο Ευριπίδης έχει 8½ ποτήρια χυμό, σε μερίδες ¾. Πόσες μερίδες;

8½ : ¾ $= \frac{17}{2}$ : $\frac{3}{4} = \frac{17}{2} \cdot \frac{4}{3}$ .
$= \frac{17 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{68}{6} = \frac{34}{3} = 11$ ⅓.

= 11 μερίδες (και περισσεύει ⅓ ποτηριού)

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Πόσο κάνει

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}

; Το αποτέλεσμα είναι

\frac{3}{2}

Σωστό / Λάθος · 2

Ισχύει

(- 1, 3)^{2} = - 1, 69

Σωστό / Λάθος · 3

Ο αντίστροφος του

\frac{2}{3}

είναι το

\frac{3}{2}

Πολλαπλής επιλογής · 4

Πόσο κάνει

(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{5}{8})

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο κάνει (−3) :

(\frac{3}{4})

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Πόσο κάνει

(- \frac{2}{3})^{3}

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Υπολόγισε:

- \frac{5}{8} + \frac{3}{12}

$ΕΚΠ (8, 12) = 24$ .
$- \frac{5}{8} = - \frac{15}{24}, \frac{3}{12} = \frac{6}{24}$ .
$- \frac{15}{24} + \frac{6}{24} = - \frac{9}{24} = - \frac{3}{8}$ .

✓ Απάντηση:

- \frac{3}{8}

Άσκηση 2

Ο Ιάσονας έφαγε

\frac{3}{8}

πίτσας, μετά τα

\frac{2}{5}

από ό,τι έμεινε. Τι μέρος έφαγε το βράδυ;

Έμεινε: $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ .
Βράδυ: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ .

✓ Απάντηση:

\frac{1}{4}

της πίτσας

Άσκηση 3

Υπολόγισε: (+2) : (−3⅖).

Μεικτός → κλάσμα: −3⅖ $= - \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = - \frac{17}{5}$ .
(+2) : $(- \frac{17}{5}) = 2 \cdot (- \frac{5}{17}) = - \frac{10}{17}$ .

✓ Απάντηση:

- \frac{10}{17}

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Πόσο κάνει

1, 82 + 19, 18

;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Πόσο κάνει

(- 1, 2) \cdot (1, 3)

;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ο αντίστροφος του

- \frac{5}{8}

;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Πόσο κάνει

(\frac{3}{2})^{3}

;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Ποια είναι η σωστή διάταξη των

(+ 0, 2), (+ 0, 2)^{2}, (+ 0, 2)^{3}

από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί η διαίρεση είναι ΠΑΝΤΑ δυνατή στους ρητούς (εκτός ÷0), ενώ στους ακέραιους όχι;

Πράξεις με Ρητούς (+ − × ÷ & Δυνάμεις)

Θεωρία

Πρόσθεση & Αφαίρεση

Αλγεβρικό άθροισμα

Πολλαπλασιασμός

Αντίστροφοι

Δύναμη ρητού

★ Διαίρεση — πάντα δυνατή!

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Πράξεις με Ρητούς (+ − × ÷ & Δυνάμεις)

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Πρόσθεση & Αφαίρεση

Αλγεβρικό άθροισμα

Πολλαπλασιασμός

Αντίστροφοι

Δύναμη ρητού

★ Διαίρεση — πάντα δυνατή!

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης