Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 3 · §3.2

Διάταξη Ρητών (Ισοδύναμα, Σύγκριση, Απόλυτη Τιμή)

⏱ ~14 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Ποιο είναι μεγαλύτερο, 3/5 ή 5/8; Δεν φαίνεται αμέσως! Σήμερα μαθαίνεις να συγκρίνεις κλάσματα — και ανακαλύπτεις ότι ανάμεσα σε δύο ρητούς κρύβονται ΑΠΕΙΡΟΙ άλλοι.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ισοδύναμα κλάσματα

Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα (ίσα) όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος. Π.χ. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ .

Αν ×/÷ και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό $(\neq = 0)$ , παίρνεις ισοδύναμο: $\frac{α}{β} = \frac{α \cdot κ}{β \cdot κ}$ .

Έλεγχος «χιαστί»: $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$ ⇔ $α \cdot δ = β \cdot γ$ . Π.χ. $\frac{5}{6} = \frac{35}{42}$ γιατί $5 \cdot 42 = 6 \cdot 35 = 210$ .

Απλοποίηση & Ανάγωγα

Απλοποίηση = διαίρεση των όρων με κοινό διαιρέτη → απλούστερο ισοδύναμο.

Μέγιστη απλοποίηση με τον ΜΚΔ. Π.χ. $\frac{12}{18}$ : $ΜΚΔ (12, 18) = 6$ → $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .

Ανάγωγο $= δεν$ απλοποιείται άλλο (ΜΚΔ αριθμητή-παρονομαστή = 1). Π.χ. $\frac{5}{7}$ .

📝 Παράδειγμα

Απλοποίησε στο ανάγωγο:

\frac{12}{18}

$ΜΚΔ (12, 18) = 6$ .
$\frac{12}{18}$ = $\frac{12 : 6}{18 : 6}$ = $\frac{2}{3}$ .
$ΜΚΔ (2, 3) = 1$ → ανάγωγο.

\frac{2}{3}

Ομώνυμα & Ετερώνυμα

• Ομώνυμα: ΙΔΙΟΣ παρονομαστής (π.χ. $\frac{2}{7}$ , $\frac{5}{7}$ ).

• Ετερώνυμα: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΣ παρονομαστής.

Για να κάνεις ετερώνυμα → ομώνυμα: βρες ΕΚΠ παρονομαστών, μετάτρεψε κάθε κλάσμα.

📝 Παράδειγμα

Κάνε ομώνυμα:

\frac{2}{5}

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

$ΕΚΠ (5, 4, 6) = 60$ .
$\frac{2}{5} = \frac{24}{60} (\cdot 12), \frac{3}{4} = \frac{45}{60} (\cdot 15), \frac{5}{6} = \frac{50}{60} (\cdot 10)$ .

\frac{24}{60}

\frac{45}{60}

\frac{50}{60}

Σύγκριση κλασμάτων

ΘΕΤΙΚΑ ομώνυμα: μεγαλύτερο = αυτό με μεγαλύτερο αριθμητή.

ΘΕΤΙΚΑ ίδιου αριθμητή: μεγαλύτερο = αυτό με ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ παρονομαστή (λιγότερα-μεγαλύτερα κομμάτια).

Ετερώνυμα: κάν'τα πρώτα ομώνυμα (ή χιαστί), μετά σύγκρινε.

Γενικά: μεγαλύτερος = αυτός που είναι ΔΕΞΙΟΤΕΡΑ στον άξονα.

Απόλυτη τιμή & σύγκριση αρνητικών

Απόλυτη τιμή ρητού = η απόστασή του από το 0 (πάντα ≥ 0). |−2,4| $= 2, 4$ .

Ετερόσημοι: μεγαλύτερος ο θετικός.

Ομόσημοι θετικοί: μεγαλύτερος αυτός με ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ απόλυτη τιμή.

Ομόσημοι αρνητικοί: μεγαλύτερος αυτός με ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ απόλυτη τιμή (π.χ. −0,75 > −1,5).

★ Πυκνότητα — δεν υπάρχει επόμενος

Ανάμεσα σε δύο ΟΠΟΙΟΥΣΔΗΠΟΤΕ ρητούς υπάρχουν ΑΠΕΙΡΟΙ άλλοι ρητοί!

Π.χ. μεταξύ $\frac{3}{5}$ και $\frac{4}{5}$ : γράφω $\frac{9}{15}$ και $\frac{12}{15}$ → ανάμεσα $\frac{10}{15}$ , $\frac{11}{15}$ . Και ξανά… επ' άπειρον.

Συνέπεια: ΔΕΝ ορίζεται «προηγούμενος» ή «επόμενος» ρητού (αντίθετα με τους ακέραιους).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Τα κλάσματα

\frac{5}{6}

και

\frac{35}{42}

είναι ισοδύναμα.

Σωστό / Λάθος · 2

Το −0,75 είναι μεγαλύτερο από το −1,5.

Σωστό / Λάθος · 3

Ο επόμενος ρητός του −5,7 είναι ο −5,6.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Το ανάγωγο του

\frac{12}{18}

;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Ποιο είναι μεγαλύτερο:

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Πόσοι ρητοί υπάρχουν ανάμεσα στο

\frac{1}{3}

και

\frac{1}{2}

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Κάνε ομώνυμα και σύγκρινε:

\frac{5}{6}

και

\frac{13}{15}

$ΕΚΠ (6, 15) = 30$ .
$\frac{5}{6} = \frac{25}{30} (\cdot 5)$ . $\frac{13}{15} = \frac{26}{30} (\cdot 2)$ .
$\frac{25}{30} < \frac{26}{30}$ → $\frac{5}{6} < \frac{13}{15}$ .

✓ Απάντηση:

\frac{5}{6} < \frac{13}{15}

Άσκηση 2

Διάταξε σε αύξουσα: −2,3, −

\frac{5}{2}

, 5,34,

\frac{3}{2}

Σε δεκαδικά: $- \frac{5}{2} = - 2, 5, \frac{3}{2} = 1, 5$ .
Αρνητικοί: $- 2, 5 < - 2, 3$ . Θετικοί: $1, 5 < 5, 34$ .
Σειρά: $- 2, 5 < - 2, 3 < 1, 5 < 5, 34$ .

✓ Απάντηση:

- \frac{5}{2} < - 2, 3 < \frac{3}{2} < 5, 34

Άσκηση 3

Βρες έναν ρητό μεταξύ

\frac{3}{7}

και

\frac{4}{7}

Μετατρέπω σε ισοδύναμα με μεγαλύτερο παρονομαστή: $\frac{6}{14}$ και $\frac{8}{14}$ .
Ανάμεσά τους: $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ .

✓ Απάντηση:

\frac{1}{2} (= \frac{7}{14})

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Απλοποίησε στο ανάγωγο:

\frac{18}{24}

Πολλαπλής επιλογής · 8

Ποιο είναι μεγαλύτερο:

\frac{5}{8}

\frac{7}{8}

;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αρνητικός: −

\frac{7}{24}

, −

\frac{5}{2}

, −2,3;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Πόσο κάνει |α| αν

α = - \frac{7}{4}

;

Πολλαπλής επιλογής · 11

Απορρυπαντικό Α: 14,99€/64 μεζούρες. Β: 17,49€/80. Ποιο φθηνότερο/μεζούρα;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί οι ρητοί δεν έχουν «επόμενο» ενώ οι ακέραιοι έχουν;

Διάταξη Ρητών (Ισοδύναμα, Σύγκριση, Απόλυτη Τιμή)

Θεωρία

Ισοδύναμα κλάσματα

Απλοποίηση & Ανάγωγα

Ομώνυμα & Ετερώνυμα

Σύγκριση κλασμάτων

Απόλυτη τιμή & σύγκριση αρνητικών

★ Πυκνότητα — δεν υπάρχει επόμενος

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Διάταξη Ρητών (Ισοδύναμα, Σύγκριση, Απόλυτη Τιμή)

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Ισοδύναμα κλάσματα

Απλοποίηση & Ανάγωγα

Ομώνυμα & Ετερώνυμα

Σύγκριση κλασμάτων

Απόλυτη τιμή & σύγκριση αρνητικών

★ Πυκνότητα — δεν υπάρχει επόμενος

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης