Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.5

Προβλήματα με Ακέραιους

⏱ ~14 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Όλα όσα έμαθες στο Κεφ. 2 σε ένα κεφάλαιο: σειρά πράξεων, διπλή σημασία των «+» και «−», και πραγματικά προβλήματα από θερμόμετρα, υποβρύχια και τράπεζες.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Προτεραιότητα πράξεων (ίδια με φυσικούς)

Εκτελούμε με σειρά:

1. Πράξεις σε ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ (από μέσα προς έξω).

2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ.

3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ & ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ (αριστερά → δεξιά).

4. ΠΡΟΣΘΕΣΕΙΣ & ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ (αριστερά → δεξιά).

📝 Παράδειγμα
Υπολόγισε: (−3)² + (−2) · [(+3) · (−2)² + (−10)]
  1. Πιο εσωτερική παρένθεση:
  2. Μέσα στην αγκύλη:
  5. Άθροισμα:
= +5

Διπλή σημασία του «+»

Το σύμβολο «+» μπορεί να σημαίνει:

α) Πράξη της πρόσθεσης (π.χ. 3 + 5).

β) Πρόσημο θετικού αριθμού (π.χ. +7).

Στην πράξη +3 + (+5), το πρώτο «+» είναι πρόσημο, το δεύτερο πράξη.

Τριπλή σημασία του «−»

Το «−» έχει 3 πιθανές σημασίες:

α) Πράξη της αφαίρεσης (π.χ. 7 − 3).

β) Πρόσημο αρνητικού (π.χ. −5).

γ) Σύμβολο αντίθετου (π.χ. ο αντίθετος του α).

Το καλό: ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ από τη σημασία, οι κανόνες υπολογισμού είναι οι ίδιοι!

💡 Θυμάμαι:Στην παράσταση −4 − (3 − 7): το 1ο «−» είναι πρόσημο, το 2ο πράξη αφαίρεσης, το 3ο πάλι πράξη.

Παραλειπόμενα σύμβολα

Συμβατικά, για συντομία:

• +3 − 5 αντί για (+3) + (−5)

• (−4)(+3) αντί για (−4)·(+3) (μεταξύ παρενθέσεων εννοείται ·)

• 2α αντί για (μεταξύ αριθμού-μεταβλητής εννοείται ·)

💡 Θυμάμαι:ΠΟΤΕ δεν παραλείπεται «·» μεταξύ δύο αριθμών! Το «23» είναι ο αριθμός 23, ενώ «2·3» .

Στρατηγική για προβλήματα

1. Διάλεξε σημείο αναφοράς . Π.χ. επιφάνεια θάλασσας, σήμερα, αρχικό υπόλοιπο.

2. Χαρακτήρισε κάθε μεταβολή: «προς τα πάνω/κέρδος» → θετικό, «προς τα κάτω/ζημιά» → αρνητικό.

3. Γράψε αριθμητική παράσταση και υπολόγισε με προτεραιότητα.

📝 Παράδειγμα
Υποβρύχιο . Διαδοχικά: κατάδυση 5, κατάδυση 7, άνοδος 9, άνοδος 5, κατάδυση 7, άνοδος 9. Τελική θέση;
  1. Σημείο αναφοράς: επιφάνεια . Άρα ξεκινά .
  2. Κατάδυση = αρνητικό, Άνοδος = θετικό.
  3. Παράσταση: −72 − 5 − 7 + 9 + 5 − 7 + 9
  4. Ομαδοποιώ:
= Στα − (δηλ. κάτω από την επιφάνεια)

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Σε παράσταση χωρίς παρενθέσεις και δυνάμεις, πρώτα εκτελούμε πολλαπλασιασμούς/διαιρέσεις.
Σωστό / Λάθος · 2
Στους ακέραιους, η πρόσθεση πάντα αυξάνει την τιμή.
Σωστό / Λάθος · 3
Στους ακέραιους, η αφαίρεση πάντα μειώνει την τιμή.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Πόσο κάνει −5 + 4·3 − 2;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Θερμοκρασία −7°, πέφτει 4 βαθμούς ακόμα. Νέα θερμοκρασία;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Στην έρημο Σαχάρα +58°, στην Ανταρκτική −90°. Διαφορά;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Υπολόγισε: 3 − 2(4 − 3) + 3(−1 + 2). Γράψε αναλυτικά με όλα τα σύμβολα.
  1. Αναλυτικά: 3 − 2·(4 − 3) + 3·(−1 + 2)
  2. Παρενθέσεις:
  3. 3 − 2·1 + 3·1
  4. σιασμοί:
✓ Απάντηση: +4
Άσκηση 2
Η Ζωή έχασε 3 κιλά, μετά πήρε 2, πήρε 1, και έχασε 4. Συνολική μεταβολή βάρους;
  1. Έχασε → αρνητικό. Πήρε → θετικό.
  2. Παράσταση: (−3) + (+2) + (+1) + (−4)
  3. Θετικοί: . Αρνητικοί: .
  4. Άθροισμα:
✓ Απάντηση: Έχασε 4 κιλά συνολικά (−4 κιλά).
Άσκηση 3
Dow Jones μια εβδομάδα: . Συνολική μεταβολή;
  1. Άθροιση: (−504) + (+142) + (−449) + (+410) + (+369)
  2. Θετικοί:
  3. Αρνητικοί:
  4. Συνολικά:
✓ Απάντηση: −32 μονάδες (μικρή πτώση εβδομάδας)

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Πόσο κάνει + 2·(−5);
Πολλαπλής επιλογής · 8
Στοκχόλμη: μέγιστη −8, ελάχιστη −14. Ημερήσιο Θερμομετρικό Εύρος (Η.Θ.Ε.);
Πολλαπλής επιλογής · 9
Αεροπλάνο στα . Διαδοχικά: +250, −700, +400, +500, −700, +800. Τελικό ύψος;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Όλυμπος , βαθύτερο σημείο Αιγαίου . Υψομετρική απόσταση;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Ισοζύγιο 4ετίας: +1620, −16045, −12974, −4727. Συνολικό;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί στους ακέραιους «πρόσθεση δεν σημαίνει πάντα αύξηση» ενώ στους φυσικούς σημαίνει;

0/12 ερωτήσεις απαντημένες — συνέχισε για να δεις το σκορ σου

▶ Επόμενη: §3.1 Ρητοί Αριθμοί & Αναπαραστάσε…← Πίσω στην τάξη

Γιατί το χρειάζεσαι; Είναι το πιο «πρακτικό» κομμάτι του κεφαλαίου — όπου τα μαθηματικά συναντούν την καθημερινότητα: ισοζύγια εσόδων-εξόδων, μέγιστη/ελάχιστη θερμοκρασία, μεταβολές δεικτών χρηματιστηρίου.

MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.5

Προβλήματα με Ακέραιους

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Προτεραιότητα πράξεων (ίδια με φυσικούς)
  • Εκτελούμε με σειρά:
  • 1. Πράξεις σε ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ (από μέσα προς έξω).
  • 2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ.
  • 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ & ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ (αριστερά → δεξιά).
  • 4. ΠΡΟΣΘΕΣΕΙΣ & ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ (αριστερά → δεξιά).
Διπλή σημασία του «+»
  • Το σύμβολο «+» μπορεί να σημαίνει:
  • α) Πράξη της πρόσθεσης (π.χ. 3 + 5).
  • β) Πρόσημο θετικού αριθμού (π.χ. +7).
  • Στην πράξη +3 + (+5), το πρώτο «+» είναι πρόσημο, το δεύτερο πράξη.
Τριπλή σημασία του «−»
  • Το «−» έχει 3 πιθανές σημασίες:
  • α) Πράξη της αφαίρεσης (π.χ. 7 − 3).
  • β) Πρόσημο αρνητικού (π.χ. −5).
  • γ) Σύμβολο αντίθετου (π.χ. ο αντίθετος του α).
  • Το καλό: ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ από τη σημασία, οι κανόνες υπολογισμού είναι οι ίδιοι!
Παραλειπόμενα σύμβολα
  • Συμβατικά, για συντομία:
  • • +3 − 5 αντί για (+3) + (−5)
  • • (−4)(+3) αντί για (−4)·(+3) (μεταξύ παρενθέσεων εννοείται ·)
  • • 2α αντί για (μεταξύ αριθμού-μεταβλητής εννοείται ·)
Στρατηγική για προβλήματα
  • 1. Διάλεξε σημείο αναφοράς . Π.χ. επιφάνεια θάλασσας, σήμερα, αρχικό υπόλοιπο.
  • 2. Χαρακτήρισε κάθε μεταβολή: «προς τα πάνω/κέρδος» → θετικό, «προς τα κάτω/ζημιά» → αρνητικό.
  • 3. Γράψε αριθμητική παράσταση και υπολόγισε με προτεραιότητα.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Σε παράσταση χωρίς παρενθέσεις και δυνάμεις, πρώτα εκτελούμε πολλαπλασιασμούς/διαιρέσεις.Σ ◻  Λ ◻
2.
Στους ακέραιους, η πρόσθεση πάντα αυξάνει την τιμή.Σ ◻  Λ ◻
3.
Στους ακέραιους, η αφαίρεση πάντα μειώνει την τιμή.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Πόσο κάνει −5 + 4·3 − 2;
Α) +5Β) +11Γ) −3Δ) −7
2.
Θερμοκρασία −7°, πέφτει 4 βαθμούς ακόμα. Νέα θερμοκρασία;
Α) −3°Β) +3°Γ) −11°Δ) +11°
3.
Στην έρημο Σαχάρα +58°, στην Ανταρκτική −90°. Διαφορά;
Α) +32°Β) −32°Γ) +148°Δ) −148°
4.
Πόσο κάνει + 2·(−5);
Α) +19Β) −1Γ) −19Δ) +1
5.
Στοκχόλμη: μέγιστη −8, ελάχιστη −14. Ημερήσιο Θερμομετρικό Εύρος (Η.Θ.Ε.);
Α) +22Β) +6Γ) +8Δ) +14
6.
Αεροπλάνο στα . Διαδοχικά: +250, −700, +400, +500, −700, +800. Τελικό ύψος;
Α) Β) Γ) Δ)
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Υπολόγισε: 3 − 2(4 − 3) + 3(−1 + 2). Γράψε αναλυτικά με όλα τα σύμβολα.
8.
Η Ζωή έχασε 3 κιλά, μετά πήρε 2, πήρε 1, και έχασε 4. Συνολική μεταβολή βάρους;
9.
Dow Jones μια εβδομάδα: . Συνολική μεταβολή;
Λύσεις · Προβλήματα με Ακέραιους
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Α) Πρώτα σιασμός: . Μετά: .
  2. Γ) . Άρα −11° (παγωμένα!). Πέφτει = προσθέτω αρνητικό.
  3. Γ) . Άρα 148° διαφορά. (Δραματική διαφορά κλιματικών συνθηκών!)
  4. Β) Δύναμη: . σιασμός: . Πρόσθεση: .
  5. Β) Η.Θ.Ε. = |μεγ. − ελάχ.| = |(−8) − (−14)| = |(−8)+(+14)| = |+6| .
  6. Α) Άθροιση μεταβολών: (άνοδοιπτώσεις). Συνολική μεταβολή: . Τελικό ύψος: .
Β. Ανάπτυξη
  1. Αναλυτικά: 3 − 2·(4 − 3) + 3·(−1 + 2) → Παρενθέσεις: → 3 − 2·1 + 3·1 → σιασμοί: ⟹ +4
  2. Έχασε → αρνητικό. Πήρε → θετικό. → Παράσταση: (−3) + (+2) + (+1) + (−4) → Θετικοί: . Αρνητικοί: . → Άθροισμα: ⟹ Έχασε 4 κιλά συνολικά (−4 κιλά).
  3. Άθροιση: (−504) + (+142) + (−449) + (+410) + (+369) → Θετικοί: → Αρνητικοί: → Συνολικά: ⟹ −32 μονάδες (μικρή πτώση εβδομάδας)
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός