Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.4

Πολλαπλασιασμός & Δυνάμεις Ακέραιων

⏱ ~15 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Γιατί «μείον επί μείον = συν»; Και γιατί το (−3)⁴ είναι θετικό αλλά το (−3)⁵ αρνητικό; Σήμερα: ο κανόνας των προσήμων και η μαγεία του ζυγού/μονού εκθέτη.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Κανόνας προσήμων (πολλαπλασιασμός)

Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές. Το πρόσημο του γινομένου:

(+) · (+) = + (ομόσημοι θετικοί)

(−) · (−) = + (ομόσημοι αρνητικοί)

(+) · (−) = − (ετερόσημοι)

(−) · (+) = − (ετερόσημοι)

Κανόνας: ομόσημοι → «+», ετερόσημοι → «−».

💡 Θυμάμαι:Διαισθητικά: «αναστροφή της αναστροφής επιστρέφει στο αρχικό» — γι' αυτό μείον επί μείον δίνει συν.

Παραδείγματα

$(+ 3) \cdot (+ 7) = + 21 (+) \cdot (+)$ → +

$(- 6) \cdot (- 8) = + 48 (-) \cdot (-)$ → +

$(- 2) \cdot (+ 20) = - 40 (-) \cdot (+)$ → −

$(+ 9) \cdot (- 5) = - 45 (+) \cdot (-)$ → −

Πολλοί παράγοντες: μέτρα τους αρνητικούς!

Όταν πολλαπλασιάζουμε πολλούς αριθμούς, το πρόσημο του τελικού γινομένου εξαρτάται από το ΠΛΗΘΟΣ των αρνητικών παραγόντων:

• Άρτιο πλήθος αρνητικών → γινόμενο θετικό.

• Περιττό πλήθος αρνητικών → γινόμενο αρνητικό.

• Αν έστω και ένας παράγοντας είναι 0 → γινόμενο $= 0$ .

📝 Παράδειγμα

Υπολόγισε: (−2) · (+5) · (−1) · (+3) · (−7) · (−5) · (+10).

Μετράω αρνητικούς: −2, −1, −7, −5 → 4 αρνητικοί (άρτιο). Άρα γινόμενο ΘΕΤΙΚΟ.
Πολλαπλασιάζω απόλυτες τιμές: $2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 10 = 10500$ .

= +10500

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

• Αντιμεταθετική: $α \cdot β = β \cdot α$

• Προσεταιριστική: $(α \cdot β) \cdot γ = α \cdot (β \cdot γ)$

• Επιμεριστική: $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$

• Ουδέτερο: $α \cdot 1 = α$ (το 1 αφήνει αμετάβλητους τους αριθμούς)

• Μηδέν: $α \cdot 0 = 0$ (μηδενιστής)

Δυνάμεις ακέραιων

Ορισμός: $α^{ν} = α \cdot α \cdot α \cdot$ …·α (ν φορές). Π.χ. $(- 3)^{4} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 81$ .

Πρόσημο όταν η βάση είναι αρνητική:

• Άρτιος (ζυγός) εκθέτης → δύναμη θετική.

• Περιττός (μονός) εκθέτης → δύναμη αρνητική.

Όταν η βάση είναι θετική → η δύναμη είναι πάντα θετική.

📝 Παράδειγμα

Υπολόγισε:

(- 2)^{3}

(- 2)^{4}

, −

2^{4}

$(- 2)^{3}$ : εκθέτης 3 (περιττός), βάση αρνητική → αρνητικό. $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ .
$(- 2)^{4}$ : εκθέτης 4 (άρτιος), βάση αρνητική → θετικό. $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .
− $2^{4}$ : ΠΡΟΣΟΧΗ! Το «−» είναι εξωτερικό, η βάση είναι $2 (\overset{ο}{ˊ} χι - 2)$ . Άρα $= - (2^{4}) = - 16$ .

(- 2)^{3} = - 8, (- 2)^{4} = + 16, - 2^{4} = - 16

💡 Θυμάμαι:Κρίσιμη διάκριση:

(- α)^{ν} \neq = - α^{ν}

γενικά. Π.χ.

(- 2)^{2} = + 4

, αλλά

- 2^{2} = - 4

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Το γινόμενο δύο αρνητικών είναι πάντα αρνητικός.

Σωστό / Λάθος · 2

Ισχύει

(- 8)^{2} = 64

Σωστό / Λάθος · 3

Ισχύει

- 8^{2} = 64

Πολλαπλής επιλογής · 4

Πόσο κάνει (−3)·(−1)·(+4);

Πολλαπλής επιλογής · 5

Ποιο είναι το πρόσημο του

(- 3)^{2} 5

;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Πόσο κάνει

(- 1)^{2} 024

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Υπολόγισε: (+10) · (−2) · (−3) · (+5).

2 αρνητικοί παράγοντες (άρτιο πλήθος) → θετικό αποτέλεσμα.
Απόλυτες τιμές: $10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 300$ .
Άρα: +300.

✓ Απάντηση: +300

Άσκηση 2

Υπολόγισε με την επιμεριστική: (−16)·(−4) − (−16)·(−3).

Επιμεριστική: $α \cdot β - α \cdot γ = α \cdot (β - γ)$ . Παίρνουμε $α = - 16$ :
$(- 16) \cdot [(- 4) - (- 3)] = (- 16) \cdot (- 4 + 3) = (- 16) \cdot (- 1) = + 16$ .

✓ Απάντηση: +16

Άσκηση 3

Υπολόγισε τις δυνάμεις: α)

6^{2}

β) (−6)² γ) (−6)³ δ) −

6^{3}

α) $6^{2}$ = 36
$β) (- 6)^{2} = (- 6) \cdot (- 6) = + 36 ($ άρτιος εκθέτης, αρν. βάση → +)
$γ) (- 6)^{3} = (- 6) \cdot (- 6) \cdot (- 6) = - 216 ($ περιττός εκθέτης, αρν. βάση → −)
$δ) - 6^{3} = - (6^{3}) = - 216 ($ το «−» μπαίνει στο τέλος)

✓ Απάντηση: α) 36, β) +36, γ) −216, δ) −216

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Πόσο κάνει (−7)·(−15);

Πολλαπλής επιλογής · 8

Πόσο κάνει (−12)·(+3)·(−7)·(−4)·(+6);

Πολλαπλής επιλογής · 9

Πόσο κάνει (−6)³;

Πολλαπλής επιλογής · 10

Αν

(- 2)^{ν} > 0

, τότε ο ν είναι:

Πολλαπλής επιλογής · 11

Αν

α^{1} 1 < 0

, τότε ο α είναι:

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12

Γιατί «αρνητικός εις άρτιο εκθέτη» δίνει πάντα θετικό;

Πολλαπλασιασμός & Δυνάμεις Ακέραιων

Θεωρία

Κανόνας προσήμων (πολλαπλασιασμός)

Παραδείγματα

Πολλοί παράγοντες: μέτρα τους αρνητικούς!

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Δυνάμεις ακέραιων

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Πολλαπλασιασμός & Δυνάμεις Ακέραιων

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Κανόνας προσήμων (πολλαπλασιασμός)

Παραδείγματα

Πολλοί παράγοντες: μέτρα τους αρνητικούς!

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Δυνάμεις ακέραιων

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης