Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.2

Απόλυτη Τιμή · Αντίθετοι · Διάταξη

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Η «απόλυτη τιμή» είναι απλά η απόσταση ενός αριθμού από το 0. Άρα είναι πάντα θετική (ή 0). Σήμερα μαθαίνεις και πώς συγκρίνουμε ακέραιους — όπου το −5 είναι ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ από το −8.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Απόλυτη τιμή — |α|

Απόλυτη τιμή ενός αριθμού η απόσταση του α από το 0 στον άξονα. Συμβολίζεται |α|.

Παραδείγματα: |−3| , |0| , |+5| .

Η απόλυτη τιμή ΔΕΝ είναι ποτέ αρνητική: |α| για κάθε ακέραιο α.

💡 Θυμάμαι:Πρακτικά: «βγάζεις» το πρόσημο. |−7| , |+7| . Και τα δύο απέχουν 7 μονάδες από το 0.

Αντίθετοι αριθμοί

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.

Π.χ. +5 και −5 είναι αντίθετοι (απέχουν και οι δύο 5 μονάδες από το 0, αλλά από αντίθετες πλευρές).

Ο αντίθετος του 0 είναι το ίδιο το 0.

Συμβολισμός: ο αντίθετος του α γράφεται −α. Άρα και .

📝 Παράδειγμα
Αν || , ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ;
  1. Ψάχνουμε αριθμούς με απόσταση 17 από το 0.
  2. Δύο αριθμοί απέχουν 17 από το 0: ο +17 και ο −17.
= ή

Διάταξη ακέραιων στον άξονα

Σε άξονα ακέραιων: όσο πιο δεξιά, τόσο μεγαλύτερος.

Άρα: κάθε θετικός κάθε αρνητικός.

Παράδειγμα: .

Σύγκριση θετικών

Μεταξύ δύο θετικών, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Π.χ. γιατί |+7| |+5|.

Σύγκριση αρνητικών (ΠΡΟΣΟΧΗ!)

Μεταξύ δύο αρνητικών, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ απόλυτη τιμή.

Π.χ. γιατί |−5| |−8|.

Διαισθητικά: στο θερμόμετρο, οι −5° είναι «λιγότερο κρύο» από τους −8°.

📝 Παράδειγμα
Διάταξε σε αύξουσα σειρά: −3, +2, −1, +1, −5, +7.
  1. Πάνε αριστερά→δεξιά στον άξονα.
  2. Αρνητικοί από τον πιο «κρύο»: −5, −3, −1.
  3. Μετά το 0 (δεν υπάρχει εδώ).
  4. Θετικοί από τον μικρότερο: +1, +2, +7.
=

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Υπάρχει ακέραιος αριθμός με απόλυτη τιμή −4.
Σωστό / Λάθος · 2
Ο αντίθετος του −10 είναι το +10.
Σωστό / Λάθος · 3
Ο αντίθετος κάθε φυσικού αριθμού είναι επίσης φυσικός.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Πόσο κάνει |−12| + |+8|;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Ποιος είναι μεγαλύτερος: −7 ή −2;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ποια είναι η σωστή αύξουσα διάταξη: −3, 0, +1, −5, +2;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Να βρείτε τις απόλυτες τιμές: 15, 123, −256, +256, 80, −79, −12, 36.
  1. Πάμε καθένα: η απόλυτη τιμή είναι ο ίδιος αριθμός χωρίς πρόσημο.
  2. |15| , |123| , |−256| , |+256|
  3. |80| , |−79| , |−12| , |36|
✓ Απάντηση: 15, 123, 256, 256, 80, 79, 12, 36
Άσκηση 2
Αν οι −5 και είναι αντίθετοι, βρες το .
  1. Αντίθετος του −5 είναι ο +5.
  2. Άρα .
  3. Λύνουμε: .
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Συμπλήρωσε τον πίνακα: για τους αριθμούς 19, −125, 900, 230, −1010, βρες τους αντίθετους.
  1. Ο αντίθετος έχει αντίθετο πρόσημο και ίδια απόλυτη τιμή.
  2. 19 → −19
  3. −125 → +125
  4. 900 → −900
  5. 230 → −230
  6. −1010 → +1010
✓ Απάντηση: Αντίθετοι: −19, +125, −900, −230, +1010

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Πόσο κάνει |−25|;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Ο αντίθετος του +47 είναι:
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ποιος είναι ο μικρότερος από τους: −10, −3, +5, 0, −20;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Αν || , τότε το μπορεί να είναι:
Πολλαπλής επιλογής · 11
Ποια ανισότητα είναι σωστή;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί στους αρνητικούς ισχύει «μικρότερη απόλυτη τιμή = μεγαλύτερος αριθμός»;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.2

Απόλυτη Τιμή · Αντίθετοι · Διάταξη

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Απόλυτη τιμή — |α|
  • Απόλυτη τιμή ενός αριθμού η απόσταση του α από το 0 στον άξονα. Συμβολίζεται |α|.
  • Παραδείγματα: |−3| , |0| , |+5| .
  • Η απόλυτη τιμή ΔΕΝ είναι ποτέ αρνητική: |α| για κάθε ακέραιο α.
Αντίθετοι αριθμοί
  • Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.
  • Π.χ. +5 και −5 είναι αντίθετοι (απέχουν και οι δύο 5 μονάδες από το 0, αλλά από αντίθετες πλευρές).
  • Ο αντίθετος του 0 είναι το ίδιο το 0.
  • Συμβολισμός: ο αντίθετος του α γράφεται −α. Άρα και .
Διάταξη ακέραιων στον άξονα
  • Σε άξονα ακέραιων: όσο πιο δεξιά, τόσο μεγαλύτερος.
  • Άρα: κάθε θετικός κάθε αρνητικός.
  • Παράδειγμα: .
Σύγκριση θετικών
  • Μεταξύ δύο θετικών, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
  • Π.χ. γιατί |+7| |+5|.
Σύγκριση αρνητικών (ΠΡΟΣΟΧΗ!)
  • Μεταξύ δύο αρνητικών, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ απόλυτη τιμή.
  • Π.χ. γιατί |−5| |−8|.
  • Διαισθητικά: στο θερμόμετρο, οι −5° είναι «λιγότερο κρύο» από τους −8°.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Υπάρχει ακέραιος αριθμός με απόλυτη τιμή −4.Σ ◻  Λ ◻
2.
Ο αντίθετος του −10 είναι το +10.Σ ◻  Λ ◻
3.
Ο αντίθετος κάθε φυσικού αριθμού είναι επίσης φυσικός.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Πόσο κάνει |−12| + |+8|;
Α) −20Β) 20Γ) −4Δ) 4
2.
Ποιος είναι μεγαλύτερος: −7 ή −2;
Α) −7Β) −2Γ) Είναι ίσοιΔ) Δεν συγκρίνονται
3.
Ποια είναι η σωστή αύξουσα διάταξη: −3, 0, +1, −5, +2;
Α) 0, +1, +2, −3, −5Β) −5, −3, 0, +1, +2Γ) −3, −5, 0, +1, +2Δ) +2, +1, 0, −3, −5
4.
Πόσο κάνει |−25|;
Α) −25Β) 25Γ) 0Δ) −1
5.
Ο αντίθετος του +47 είναι:
Α) +47Β) −47Γ) 0Δ)
6.
Ποιος είναι ο μικρότερος από τους: −10, −3, +5, 0, −20;
Α) −3Β) −10Γ) 0Δ) −20
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Να βρείτε τις απόλυτες τιμές: 15, 123, −256, +256, 80, −79, −12, 36.
8.
Αν οι −5 και είναι αντίθετοι, βρες το .
9.
Συμπλήρωσε τον πίνακα: για τους αριθμούς 19, −125, 900, 230, −1010, βρες τους αντίθετους.
Λύσεις · Απόλυτη Τιμή · Αντίθετοι · Διάταξη
Α. Σωστό / Λάθος
1. Λάθος2. Σωστό3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Β) |−12| , |+8| . Άθροισμα: .
  2. Β) Στους αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με μικρότερη απόλυτη τιμή. |−2| |−7|, άρα .
  3. Β) Αύξουσα = από μικρότερο σε μεγαλύτερο. −5 (πιο αριστερά δεξιά).
  4. Β) Η απόλυτη τιμή «βγάζει» το πρόσημο. |−25| .
  5. Β) Αντίθετος = ίδια απόλυτη τιμή, αντίθετο πρόσημο. Άρα −47.
  6. Δ) Ο πιο αριστερά στον άξονα = μικρότερος. Στους αρνητικούς, αυτός με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή: |−20| — άρα −20 είναι το ελάχιστο.
Β. Ανάπτυξη
  1. Πάμε καθένα: η απόλυτη τιμή είναι ο ίδιος αριθμός χωρίς πρόσημο. → |15| , |123| , |−256| , |+256| → |80| , |−79| , |−12| , |36| ⟹ 15, 123, 256, 256, 80, 79, 12, 36
  2. Αντίθετος του −5 είναι ο +5. → Άρα . → Λύνουμε: . ⟹
  3. Ο αντίθετος έχει αντίθετο πρόσημο και ίδια απόλυτη τιμή. → 19 → −19 → −125 → +125 → 900 → −900 → 230 → −230 → −1010 → +1010 ⟹ Αντίθετοι: −19, +125, −900, −230, +1010
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός