Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 2 · §2.1

Θετικοί και Αρνητικοί Ακέραιοι

⏱ ~10 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Πώς δηλώνεις θερμοκρασία κάτω από το 0; Ή βάθος κάτω από τη θάλασσα; Οι φυσικοί δεν αρκούν — χρειαζόμαστε νέους αριθμούς.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Γιατί χρειαζόμαστε αρνητικούς

Όταν λέμε "ο κολυμβητής είναι σε 3 μέτρα βάθος", δεν αρκεί το 3 — πρέπει να ξεχωρίσουμε το «πάνω» από το «κάτω» από την επιφάνεια.

Συμβολίζουμε: γλάρος μέτρα (πάνω), κολυμβητής μέτρα (κάτω). Η θάλασσα είναι το 0 — το σημείο αναφοράς.

Πρόσημα

Τα σύμβολα «+» και «−» μπροστά από αριθμό λέγονται πρόσημα.

Το «+» σημαίνει θετικός αριθμός, το «−» σημαίνει αρνητικός.

Αν ένας αριθμός γράφεται χωρίς πρόσημο, εννοείται θετικός: το 5 είναι το +5.

💡 Θυμάμαι:Το 0 ΔΕΝ έχει πρόσημο — δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

Ομόσημοι & Ετερόσημοι

Δύο αριθμοί με το ίδιο πρόσημο λέγονται ομόσημοι. Π.χ. +2 και +19, ή −5 και −17.

Δύο αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο λέγονται ετερόσημοι. Π.χ. +2 και −3.

Το σύνολο Z των ακέραιων

Ακέραιοι αριθμοί = οι φυσικοί (0, 1, 2, …) μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς (−1, −2, −3, …).

Συμβολίζονται με : …, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, …

Οι φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ακέραιους : κάθε φυσικός είναι και ακέραιος, αλλά όχι το αντίστροφο.

📝 Παράδειγμα
Από τους αριθμούς −7, 45, −45, 10, −100, 0, +15, ποιοι είναι φυσικοί;
  1. Φυσικοί = θετικοί ακέραιοι + το 0.
  2. Άρα: 45, 10, 0, +15 (το +15 είναι το 15).
  3. Οι είναι φυσικοί (είναι αρνητικοί).
= 45, 10, 0, +15

Εφαρμογή: Πύργος του Άιφελ

Επίπεδα: 1ο στα , 2ο στα , 3ο στα πάνω από έδαφος.

Αν θεωρήσουμε ως 0 το έδαφος → 1ο επίπεδο: +57.

Αν θεωρήσουμε ως 0 το 1ο επίπεδο → 2ο επίπεδο: .

Αν θεωρήσουμε ως 0 το 3ο επίπεδο → 1ο επίπεδο: .

💡 Θυμάμαι:Σημαντικό: το πρόσημο εξαρτάται από το ποιο σημείο διαλέγουμε ως 0. Δεν είναι ιδιότητα του αντικειμένου — είναι σχέση.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Το 0 είναι θετικός αριθμός.
Σωστό / Λάθος · 2
Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος.
Σωστό / Λάθος · 3
Οι αριθμοί −2, −7, −13, −34 είναι ομόσημοι.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Ποιο ζευγάρι είναι ετερόσημοι;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Πώς εκφράζεις συμβολικά «ζημιά 150€»;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Στις Σέρρες έχει 2° και αναμένεται πτώση 5°. Πόσο θα είναι;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Εκφράστε συμβολικά: α) Αύξηση 10€, β) Έκπτωση 20€, γ) Κατάδυση στα , δ) Αδυνάτισμα 3 κιλά.
  1. Αύξηση → προς τα πάνω → θετικό: +10€
  2. Έκπτωση → προς τα κάτω → αρνητικό: −20€
  3. Κατάδυση → προς τα κάτω → αρνητικό:
  4. Αδυνάτισμα → μείωση βάρους → αρνητικό: −3 κιλά
✓ Απάντηση: +10€, −20€, κιλά
Άσκηση 2
Από τους ακέραιους −7, 45, −45, 10, −100, −1020, +340, 0, ποιοι είναι φυσικοί και ποιοι ΟΧΙ;
  1. Φυσικοί , … (μη αρνητικοί ακέραιοι).
  2. Άρα φυσικοί: 45, 10, +340, 0.
  3. Όχι φυσικοί (αρνητικοί): −7, −45, −100, −1020.
✓ Απάντηση: Φυσικοί: 45, 10, +340, 0. Όχι φυσικοί: −7, −45, −100, −1020.

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Ένα υποβρύχιο βρίσκεται . Πώς εκφράζεις τη θέση του σε σχέση με την επιφάνεια;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Ποιο ζεύγος είναι ομόσημοι;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ο αριθμός 8 χωρίς πρόσημο θεωρείται:
Πολλαπλής επιλογής · 10
Σε ένα κτίριο το ισόγειο είναι ο όροφος 0. Αν είσαι στο βρίσκεσαι;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Ποια από τις παρακάτω καταστάσεις εκφράζεται με αρνητικό;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί το 0 δεν είναι ούτε θετικό ούτε αρνητικό;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 2 · §2.1

Θετικοί και Αρνητικοί Ακέραιοι

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Γιατί χρειαζόμαστε αρνητικούς
  • Όταν λέμε "ο κολυμβητής είναι σε 3 μέτρα βάθος", δεν αρκεί το 3 — πρέπει να ξεχωρίσουμε το «πάνω» από το «κάτω» από την επιφάνεια.
  • Συμβολίζουμε: γλάρος μέτρα (πάνω), κολυμβητής μέτρα (κάτω). Η θάλασσα είναι το 0 — το σημείο αναφοράς.
Πρόσημα
  • Τα σύμβολα «+» και «−» μπροστά από αριθμό λέγονται πρόσημα.
  • Το «+» σημαίνει θετικός αριθμός, το «−» σημαίνει αρνητικός.
  • Αν ένας αριθμός γράφεται χωρίς πρόσημο, εννοείται θετικός: το 5 είναι το +5.
Ομόσημοι & Ετερόσημοι
  • Δύο αριθμοί με το ίδιο πρόσημο λέγονται ομόσημοι. Π.χ. +2 και +19, ή −5 και −17.
  • Δύο αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο λέγονται ετερόσημοι. Π.χ. +2 και −3.
Το σύνολο Z των ακέραιων
  • Ακέραιοι αριθμοί = οι φυσικοί (0, 1, 2, …) μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς (−1, −2, −3, …).
  • Συμβολίζονται με : …, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, …
  • Οι φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ακέραιους : κάθε φυσικός είναι και ακέραιος, αλλά όχι το αντίστροφο.
Εφαρμογή: Πύργος του Άιφελ
  • Επίπεδα: 1ο στα , 2ο στα , 3ο στα πάνω από έδαφος.
  • Αν θεωρήσουμε ως 0 το έδαφος → 1ο επίπεδο: +57.
  • Αν θεωρήσουμε ως 0 το 1ο επίπεδο → 2ο επίπεδο: .
  • Αν θεωρήσουμε ως 0 το 3ο επίπεδο → 1ο επίπεδο: .

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Το 0 είναι θετικός αριθμός.Σ ◻  Λ ◻
2.
Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος.Σ ◻  Λ ◻
3.
Οι αριθμοί −2, −7, −13, −34 είναι ομόσημοι.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Ποιο ζευγάρι είναι ετερόσημοι;
Α) +5 και +12Β) −3 και −9Γ) −7 και +2Δ) 0 και +4
2.
Πώς εκφράζεις συμβολικά «ζημιά 150€»;
Α) +150Β) −150Γ) 0Δ) 150
3.
Στις Σέρρες έχει 2° και αναμένεται πτώση 5°. Πόσο θα είναι;
Α) +7°Β) −3°Γ) +3°Δ) −7°
4.
Ένα υποβρύχιο βρίσκεται . Πώς εκφράζεις τη θέση του σε σχέση με την επιφάνεια;
Α) 80 μέτρα πάνω από τη θάλασσαΒ) 80 μέτρα κάτω από τη θάλασσαΓ) 0 μέτραΔ) Δεν μπορεί να ειπωθεί
5.
Ποιο ζεύγος είναι ομόσημοι;
Α) +8 και −8Β) 0 και +5Γ) −12 και −90Δ) +3 και −3
6.
Ο αριθμός 8 χωρίς πρόσημο θεωρείται:
Α) ΑρνητικόςΒ) ΘετικόςΓ) Ούτε θετικός ούτε αρνητικόςΔ) Άγνωστος
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Εκφράστε συμβολικά: α) Αύξηση 10€, β) Έκπτωση 20€, γ) Κατάδυση στα , δ) Αδυνάτισμα 3 κιλά.
8.
Από τους ακέραιους −7, 45, −45, 10, −100, −1020, +340, 0, ποιοι είναι φυσικοί και ποιοι ΟΧΙ;
Λύσεις · Θετικοί και Αρνητικοί Ακέραιοι
Α. Σωστό / Λάθος
1. Λάθος2. Σωστό3. Σωστό
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) Ετερόσημοι = διαφορετικό πρόσημο. Ο −7 (αρνητικός) με (θετικός). Το 0 δεν έχει πρόσημο.
  2. Β) Ζημιά = αρνητικό. Άρα −150 €. (Κέρδος θα ήταν +150.)
  3. Β) . Άρα η θερμοκρασία θα είναι −3° (3 βαθμούς κάτω από το 0).
  4. Β) Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει «κάτω από» το σημείο αναφοράς (επιφάνεια θάλασσας = 0).
  5. Γ) Οι −12 και −90 είναι και οι δύο αρνητικοί → ομόσημοι. Τα +8 και −8 είναι αντίθετοι (ετερόσημοι).
  6. Β) Όταν ένας αριθμός γράφεται χωρίς πρόσημο, εννοείται θετικός: το 8 είναι το +8.
Β. Ανάπτυξη
  1. Αύξηση → προς τα πάνω → θετικό: +10€ → Έκπτωση → προς τα κάτω → αρνητικό: −20€ → Κατάδυση → προς τα κάτω → αρνητικό: → Αδυνάτισμα → μείωση βάρους → αρνητικό: −3 κιλά ⟹ +10€, −20€, κιλά
  2. Φυσικοί , … (μη αρνητικοί ακέραιοι). → Άρα φυσικοί: 45, 10, +340, 0. → Όχι φυσικοί (αρνητικοί): −7, −45, −100, −1020. ⟹ Φυσικοί: 45, 10, +340, 0. Όχι φυσικοί: −7, −45, −100, −1020.
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός