Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.4

Συστήματα Αρίθμησης — Δεκαδικό & Δυαδικό

⏱ ~13 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Το «213» σημαίνει 2 εκατοντάδες + 1 δεκάδα + 3 μονάδες. Αλλά οι υπολογιστές μετράνε με 0 και 1 μόνο! Πώς γίνεται; Καιρός να καταλάβεις πώς δουλεύουν τα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Θεσιακό σύστημα: η αξία εξαρτάται από τη θέση

Στο δεκαδικό σύστημα, το ίδιο ψηφίο «2» σημαίνει διαφορετικά πράγματα ανάλογα με τη θέση:

• Στο 24: είναι 2 δεκάδες $= 20$

• Στο 200: είναι 2 εκατοντάδες $= 200$

Η αξία = ψηφίο · $1 0^{θ \overset{ε}{ˊ} ση}$ .

💡 Θυμάμαι:Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι ΔΕΝ είχαν θεσιακό σύστημα — γι' αυτό έγραφαν π.χ. 5 διαφορετικά σύμβολα για τις 5 μονάδες, 5 ξεχωριστά για τις 5 δεκάδες κλπ. Πολύ πιο δύσκολο!

Δεκαδικό (βάση 10)

Χρησιμοποιεί 10 ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Οι θέσεις αντιπροσωπεύουν δυνάμεις του 10: μονάδες ( $1 0^{0}$ ), δεκάδες ( $1 0^{1}$ ), εκατοντάδες ( $1 0^{2}$ ), …

📝 Παράδειγμα

Ανάλυσε το 213122 ως άθροισμα δυνάμεων του 10.

$213122 = 2 \cdot 1 0^{5} + 1 \cdot 1 0^{4} + 3 \cdot 1 0^{3} + 1 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 1 0^{1} + 2 \cdot 1 0^{0}$
$= 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 20 + 2$

2 \cdot 100000 + 1 \cdot 10000 + 3 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 2

Δυαδικό (βάση 2) — η γλώσσα των υπολογιστών

Χρησιμοποιεί ΜΟΝΟ 2 ψηφία: 0 και 1.

Οι θέσεις αντιπροσωπεύουν δυνάμεις του 2: $2^{0} = 1, 2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32$ , …

Παράδειγμα: το δυαδικό $1101 = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = * * 13 * *$ στο δεκαδικό.

💡 Θυμάμαι:Όταν θέλουμε να ξεκαθαρίσουμε σε ποια βάση είναι ένας αριθμός, γράφουμε τη βάση σαν δείκτη:

110 1_{2} = 1 3_{10}

Μετατροπή δυαδικού → δεκαδικού

Διαβάζεις από δεξιά προς τα αριστερά: κάθε «1» αντιστοιχεί στη δύναμη του 2 για εκείνη τη θέση.

Άθροισμα όλων = δεκαδικός αριθμός.

📝 Παράδειγμα

Μετατροπή του

1011 0_{2}

σε δεκαδικό.

Θέσεις από δεξιά: 0, 1, 2, 3, 4
Ψηφία: 0, 1, 1, 0, 1
Άθροισμα: $1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$
$= 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22$

1011 0_{2} = 2 2_{10}

Μετατροπή δεκαδικού → δυαδικού

Διαιρείς διαδοχικά με 2 και κρατάς τα υπόλοιπα. Διαβάζεις τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω.

📝 Παράδειγμα

Μετατροπή του 13 σε δυαδικό.

$13 \div 2 = 6$ , υπόλοιπο **1**
$6 \div 2 = 3$ , υπόλοιπο **0**
$3 \div 2 = 1$ , υπόλοιπο **1**
$1 \div 2 = 0$ , υπόλοιπο **1**
Διάβασε υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω: 1101

1 3_{10} = 110 1_{2}

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιούμε μόνο τα ψηφία 0 και 1.

Σωστό / Λάθος · 2

Το δεκαδικό σύστημα είναι θεσιακό.

Σωστό / Λάθος · 3

Στους υπολογιστές χρησιμοποιείται το δεκαδικό σύστημα.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Πόσο είναι το

10 1_{2}

στο δεκαδικό;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Πόσο είναι το 8 στο δυαδικό;

Πολλαπλής επιλογής · 6

Στο 5708, ποια είναι η αξία του ψηφίου 7;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Μετατροπή του

1100 1_{2}

σε δεκαδικό.

Θέσεις από δεξιά: 4, 3, 2, 1, 0
Ψηφία (αριστερά → δεξιά): 1, 1, 0, 0, 1
$= 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$
$= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25$

✓ Απάντηση:

1100 1_{2} = 2 5_{10}

Άσκηση 2

Μετατροπή του 20 σε δυαδικό.

$20 \div 2 = 10$ , υπόλοιπο **0**
$10 \div 2 = 5$ , υπόλοιπο **0**
$5 \div 2 = 2$ , υπόλοιπο **1**
$2 \div 2 = 1$ , υπόλοιπο **0**
$1 \div 2 = 0$ , υπόλοιπο **1**
Διάβασε από κάτω: 10100

✓ Απάντηση:

2 0_{10} = 1010 0_{2}

Άσκηση 3

Ποιος δεκαδικός αριθμός γράφεται

11 1_{2}

;

$11 1_{2} = 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$
$= 4 + 2 + 1 = 7$

✓ Απάντηση: 7

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Πόσο είναι το 16 στο δυαδικό;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Πόσο είναι το

111 1_{2}

στο δεκαδικό;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Πόσα διαφορετικά τριψήφια δυαδικά νούμερα υπάρχουν (από

10 0_{2}

έως

11 1_{2}

);

Πολλαπλής επιλογής · 10

Στο 84927, ποια είναι η αξία του ψηφίου 4;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11

Γιατί οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό αντί για το δεκαδικό;

Συστήματα Αρίθμησης — Δεκαδικό & Δυαδικό

Θεωρία

Θεσιακό σύστημα: η αξία εξαρτάται από τη θέση

Δεκαδικό (βάση 10)

Δυαδικό (βάση 2) — η γλώσσα των υπολογιστών

Μετατροπή δυαδικού → δεκαδικού

Μετατροπή δεκαδικού → δυαδικού

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης

Συστήματα Αρίθμησης — Δεκαδικό & Δυαδικό

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

📖Θεωρία

Θεσιακό σύστημα: η αξία εξαρτάται από τη θέση

Δεκαδικό (βάση 10)

Δυαδικό (βάση 2) — η γλώσσα των υπολογιστών

Μετατροπή δυαδικού → δεκαδικού

Μετατροπή δεκαδικού → δυαδικού

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης