Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.3.4

Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί

⏱ ~12 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε φυσικός μεγαλύτερος του 1 χωρίζεται σε δύο κατηγορίες: πρώτοι (μόνο 2 διαιρέτες) και σύνθετοι (πολλοί). Από τους πρώτους χτίζονται όλοι οι άλλοι — όπως τα τούβλα κτίζουν ένα σπίτι.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ορισμοί

• **Πρώτος**: αριθμός με ΜΟΝΟ δύο διαιρέτες — τον εαυτό του και το 1.

Π.χ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

• **Σύνθετος**: αριθμός με τουλάχιστον έναν διαιρέτη πέρα από το 1 και τον εαυτό του.

Π.χ. $4 (= 2 \cdot 2), 6 (= 2 \cdot 3), 8, 9, 10, 12$ , …

💡 Θυμάμαι:Ο

* * 1 * * ΔΕΝ

είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος. Ειδική περίπτωση: εξαιρείται από τον ορισμό.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Πώς βρίσκω όλους τους πρώτους έως κάποιον αριθμό; Με το **κόσκινο του Ερατοσθένη** (~250 π.Χ.):

1. Γράφω τους αριθμούς 2 έως Ν.

2. Κυκλώνω το 2 (πρώτος) και διαγράφω ΟΛΑ τα πολλαπλάσιά του (4, 6, 8, …).

3. Πάω στον επόμενο μη διαγραμμένο, το κυκλώνω και διαγράφω τα πολλαπλάσιά του.

4. Συνεχίζω. Όσοι έμειναν κυκλωμένοι = πρώτοι.

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Κάθε σύνθετος γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων (Θεμελιώδες θεώρημα Αριθμητικής).

Πώς γίνεται: διαιρώ διαδοχικά με τους μικρότερους πρώτους (2, 3, 5, 7, …) μέχρι να φτάσω στο 1.

📝 Παράδειγμα

Ανάλυσε σε πρώτους: 60

60 ÷ $2 = 30$
30 ÷ $2 = 15$
15 ÷ $3 = 5$
5 ÷ $5 = 1$
Άρα $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

ΕΚΠ/ΜΚΔ από την ανάλυση

Αν ξέρεις τις αναλύσεις δύο αριθμών:

• $* * MKΔ * *$ : πάρε τους κοινούς πρώτους παράγοντες με $τον * *$ μικρότερο** εκθέτη.

• $* * EKΠ * *$ : πάρε ΟΛΟΥΣ τους πρώτους που εμφανίζονται, καθένα με $τον * *$ μεγαλύτερο** εκθέτη.

📝 Παράδειγμα

ΕΚΠ και ΜΚΔ του 12 και 18 από ανάλυση.

$12 = 2^{2} \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^{2}$
ΜΚΔ: κοινοί $= 2$ και 3. Μικρότεροι εκθέτες: 2¹ · 3¹ $= 6$
ΕΚΠ: όλοι. Μεγαλύτεροι εκθέτες: $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$

ΜΚΔ = 6, ΕΚΠ = 36

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1

Ο αριθμός 1 είναι πρώτος.

Σωστό / Λάθος · 2

Ο μόνος άρτιος πρώτος είναι το 2.

Σωστό / Λάθος · 3

Το άθροισμα δύο πρώτων μπορεί να είναι πρώτος.

Πολλαπλής επιλογής · 4

Ποιος ΔΕΝ είναι πρώτος;

Πολλαπλής επιλογής · 5

Η ανάλυση του 36 σε πρώτους είναι:

Πολλαπλής επιλογής · 6

Ποιοι αριθμοί διαιρούν τον 360 αν αναλύσουμε

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1

Ανάλυσε το 84 σε πρώτους παράγοντες.

84 ÷ $2 = 42$
42 ÷ $2 = 21$
21 ÷ $3 = 7$
7 ÷ $7 = 1$
$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

✓ Απάντηση:

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Άσκηση 2

Βρες ΕΚΠ και ΜΚΔ των 54 και 84 με ανάλυση.

$54 = 2 \cdot 3^{3}$
$84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$
ΜΚΔ: κοινοί 2 (min εκθέτης 1) και 3 (min εκθέτης 1) → $2 \cdot 3 = 6$
ΕΚΠ: όλοι. 2 (max εκθέτης 2), 3 (max εκθέτης 3), 7 (max εκθέτης 1) → $2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$

✓ Απάντηση:

ΜΚΔ = 6, ΕΚΠ = 756

Άσκηση 3

Είναι το 91 πρώτος;

Δοκίμασε μικρούς πρώτους: 2 (όχι, μονός $), 3 (\overset{ο}{ˊ} χι, 9 + 1 = 10), 5 (\overset{ο}{ˊ} χι, δεν$ τελειώνει σε $\frac{0}{5}$ ).
7: 91 ÷ $7 = 13$ (ακριβώς!)
Άρα $91 = 7 \cdot 13$ → σύνθετος.

✓ Απάντηση:

Όχι (91 = 7 \cdot 13)

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7

Είναι οι 18 και 35 πρώτοι μεταξύ τους;

Πολλαπλής επιλογής · 8

Δύο αριθμοί έχουν

ΜΚΔ = 13

και

ΕΚΠ = 78

. Ποιοι είναι;

Πολλαπλής επιλογής · 9

Ανάλυσε το 275.

Πολλαπλής επιλογής · 10

Σύνολο πρώτων μικρότερων του 20;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11

Γιατί ο 1 ΔΕΝ συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους;

Θεωρία με μια ματιά

Ορισμοί

• **Πρώτος**: αριθμός με ΜΟΝΟ δύο διαιρέτες — τον εαυτό του και το 1.
Π.χ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
• **Σύνθετος**: αριθμός με τουλάχιστον έναν διαιρέτη πέρα από το 1 και τον εαυτό του.
Π.χ. $4 (= 2 \cdot 2), 6 (= 2 \cdot 3), 8, 9, 10, 12$ , …

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Πώς βρίσκω όλους τους πρώτους έως κάποιον αριθμό; Με το **κόσκινο του Ερατοσθένη** (~250 π.Χ.):
1. Γράφω τους αριθμούς 2 έως Ν.
2. Κυκλώνω το 2 (πρώτος) και διαγράφω ΟΛΑ τα πολλαπλάσιά του (4, 6, 8, …).
3. Πάω στον επόμενο μη διαγραμμένο, το κυκλώνω και διαγράφω τα πολλαπλάσιά του.
4. Συνεχίζω. Όσοι έμειναν κυκλωμένοι = πρώτοι.

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Κάθε σύνθετος γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων (Θεμελιώδες θεώρημα Αριθμητικής).
Πώς γίνεται: διαιρώ διαδοχικά με τους μικρότερους πρώτους (2, 3, 5, 7, …) μέχρι να φτάσω στο 1.

ΕΚΠ/ΜΚΔ από την ανάλυση

Αν ξέρεις τις αναλύσεις δύο αριθμών:
• $* * MKΔ * *$ : πάρε τους κοινούς πρώτους παράγοντες με $τον * *$ μικρότερο** εκθέτη.
• $* * EKΠ * *$ : πάρε ΟΛΟΥΣ τους πρώτους που εμφανίζονται, καθένα με $τον * *$ μεγαλύτερο** εκθέτη.

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή

Ποιος ΔΕΝ είναι πρώτος;

Α) 11Β) 13Γ) 15Δ) 17

Η ανάλυση του 36 σε πρώτους είναι:

Α) 2 · 18Β) 4 · 9Γ)

2^{2}

3^{2}

Δ) 6 · 6

Ποιοι αριθμοί διαιρούν τον 360 αν αναλύσουμε

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

;

Α) Μόνο οι 2, 3, 5Β) 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30Γ) Όλοι οι 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, …Δ) Μόνο πρώτοι

Είναι οι 18 και 35 πρώτοι μεταξύ τους;

Α) ΝαιΒ) ΌχιΓ) Είναι και οι δύο πρώτοιΔ) Δεν μπορεί να βρεθεί

Δύο αριθμοί έχουν

ΜΚΔ = 13

και

ΕΚΠ = 78

. Ποιοι είναι;

Α) 13 και 78Β) 13 και 26Γ) 26 και 39Δ) 6 και 13

Ανάλυσε το 275.

Α)

5^{2}

· 11Β) 5 · 55Γ) 11 · 25Δ) 3 · 5 · 18

Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά

Ανάλυσε το 84 σε πρώτους παράγοντες.

Βρες ΕΚΠ και ΜΚΔ των 54 και 84 με ανάλυση.

Είναι το 91 πρώτος;

📖Θεωρία

Ορισμοί

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΕΚΠ/ΜΚΔ από την ανάλυση

🎯Γρήγορες ερωτήσεις

💡Λυμένες ασκήσεις

✏️Δοκίμασέ το μόνος/η σου

🧠Ερώτηση κατανόησης

Θεωρία με μια ματιά

ΑΣωστό ή Λάθος

ΒΑσκήσεις

Θεωρία

Γρήγορες ερωτήσεις

Λυμένες ασκήσεις

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Ερώτηση κατανόησης