Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.3.3

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) — Αλγόριθμος Ευκλείδη

⏱ ~14 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Έχεις 270 τετράδια, 180 μολύβια, 135 σβηστήρες. Φτιάχνεις «ίδια» δέματα. Πόσα δέματα στη μεγαλύτερη δυνατή ομάδα; Αυτό λύνει ο ΜΚΔ.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ορισμός

**Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ή περισσότερων αριθμών = ο **μεγαλύτερος** κοινός τους διαιρέτης.

Συμβολισμός: ΜΚΔ(α, β).

💡 Θυμάμαι:Αφού ο ΜΚΔ διαιρεί τα α και β, οι α και β είναι **πολλαπλάσια** του ΜΚΔ.

Απλή μέθοδος (μικροί αριθμοί)

Γράφεις όλους τους διαιρέτες κάθε αριθμού, βρίσκεις τους κοινούς, παίρνεις τον μεγαλύτερο.

📝 Παράδειγμα
;
  1. Διαιρέτες του 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  2. Διαιρέτες του 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. Κοινοί: 1, 2, 3, 6 → μεγαλύτερος: 6
=

Αλγόριθμος του Ευκλείδη (μέθοδος υπολοίπων)

Όταν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, η απαρίθμηση διαιρετών είναι αργή. Ο **Ευκλείδης** βρήκε γρήγορο τρόπο:

1. Κάνε την Ευκλείδεια διαίρεση του μεγαλύτερου με τον μικρότερο.

2. Αν υπόλοιπο → μικρότερος.

3. Αν υπόλοιπο → αντικατέστησε: μεγαλύτερος ← μικρότερος, μικρότερος ← υπόλοιπο.

4. Επανάλαβε.

📝 Παράδειγμα
ΜΚΔ(100, 460) με αλγόριθμο Ευκλείδη
  1. (υπόλοιπο 60)
  2. (υπόλοιπο 40)
  3. (υπόλοιπο 20)
  4. (υπόλοιπο 0 → σταμάτησε)
  5. ο τελευταίος μη μηδενικός διαιρέτης
=

Πρώτοι μεταξύ τους

Δύο αριθμοί λέγονται **πρώτοι μεταξύ τους** όταν .

Παραδείγματα: 3 και 5, 8 και 15, 7 και 9.

Σημαντικό: τότε (γινόμενο).

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Οι α και β είναι πολλαπλάσια του ΜΚΔ(α, β).
Σωστό / Λάθος · 2
Στον αλγόριθμο του Ευκλείδη ο μεγαλύτερος αντικαθίσταται από το ΥΠΟΛΟΙΠΟ της διαίρεσης.
Σωστό / Λάθος · 3
Όταν , τότε .
Πολλαπλής επιλογής · 4
;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, ;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ποιο ζευγάρι ΔΕΝ είναι πρώτοι μεταξύ τους;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Έχεις 270 τετράδια, 180 μολύβια, 135 σβηστήρες. Φτιάχνεις ίδια δέματα — τι μέγιστος αριθμός δεμάτων;
  1. Χρειαζόμαστε ΜΚΔ(270, 180, 135).
  2. Αλγόριθμος για 270 και 180: →
  3. Τώρα ΜΚΔ(90, 135): →
  4. Άρα 45 δέματα. Κάθε δέμα: τετράδια, μολύβια, σβηστήρες.
✓ Απάντηση: 45 δέματα (6 τετράδια + 4 μολύβια + 3 σβηστήρες έκαστο)
Άσκηση 2
ΜΚΔ(28, 14) με αλγόριθμο Ευκλείδη.
  2. Υπόλοιπο μηδέν αμέσως →
✓ Απάντηση: 14 (αφού 14 διαιρεί ακριβώς το 28)
Άσκηση 3
Είναι οι 5 και 7 πρώτοι μεταξύ τους;
  1. Αλγόριθμος:
  4. → ΝΑΙ, πρώτοι μεταξύ τους.
✓ Απάντηση:

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
;
Πολλαπλής επιλογής · 8
;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Δύο διψήφιοι έχουν και . Ποιοι είναι;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Ένα ανθοπωλείο έχει 126 τουλίπες, 168 γαρίφαλα, 210 τριαντάφυλλα. Μέγιστος αριθμός ίδιων μπουκέτων;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11
Γιατί ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πάντα δουλεύει και τελειώνει;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.3.3

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) — Αλγόριθμος Ευκλείδη

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Ορισμός
  • **Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ή περισσότερων αριθμών = ο **μεγαλύτερος** κοινός τους διαιρέτης.
  • Συμβολισμός: ΜΚΔ(α, β).
Απλή μέθοδος (μικροί αριθμοί)
  • Γράφεις όλους τους διαιρέτες κάθε αριθμού, βρίσκεις τους κοινούς, παίρνεις τον μεγαλύτερο.
Αλγόριθμος του Ευκλείδη (μέθοδος υπολοίπων)
  • Όταν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, η απαρίθμηση διαιρετών είναι αργή. Ο **Ευκλείδης** βρήκε γρήγορο τρόπο:
  • 1. Κάνε την Ευκλείδεια διαίρεση του μεγαλύτερου με τον μικρότερο.
  • 2. Αν υπόλοιπο → μικρότερος.
  • 3. Αν υπόλοιπο → αντικατέστησε: μεγαλύτερος ← μικρότερος, μικρότερος ← υπόλοιπο.
  • 4. Επανάλαβε.
Πρώτοι μεταξύ τους
  • Δύο αριθμοί λέγονται **πρώτοι μεταξύ τους** όταν .
  • Παραδείγματα: 3 και 5, 8 και 15, 7 και 9.
  • Σημαντικό: τότε (γινόμενο).

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Οι α και β είναι πολλαπλάσια του ΜΚΔ(α, β).Σ ◻  Λ ◻
2.
Στον αλγόριθμο του Ευκλείδη ο μεγαλύτερος αντικαθίσταται από το ΥΠΟΛΟΙΠΟ της διαίρεσης.Σ ◻  Λ ◻
3.
Όταν , τότε .Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
;
Α) 12Β) 6Γ) 4Δ) 72
2.
Με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, ;
Α) 30Β) 90Γ) 60Δ) 180
3.
Ποιο ζευγάρι ΔΕΝ είναι πρώτοι μεταξύ τους;
Α) 7 και 9Β) 5 και 7Γ) 12 και 8Δ) 15 και 28
4.
;
Α) 20Β) 40Γ) 10Δ) 60
5.
;
Α) 1Β) 4Γ) 7Δ) 29
6.
Δύο διψήφιοι έχουν και . Ποιοι είναι;
Α) 15 και 20Β) 10 και 60Γ) 12 και 25Δ) 5 και 60
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Έχεις 270 τετράδια, 180 μολύβια, 135 σβηστήρες. Φτιάχνεις ίδια δέματα — τι μέγιστος αριθμός δεμάτων;
8.
ΜΚΔ(28, 14) με αλγόριθμο Ευκλείδη.
9.
Είναι οι 5 και 7 πρώτοι μεταξύ τους;
Λύσεις · Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) — Αλγόριθμος Ευκλείδη
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Λάθος
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Α) Διαιρέτες του 24: 1,2,3,4,6,8,12,24. Διαιρέτες του 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Κοινοί: 1,2,3,4,6,12. Μέγιστος: 12.
  2. Β) . . .
  3. Γ) . Δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Τα άλλα: .
  4. Α) . . Άρα .
  5. Α) . . . . (πρώτοι μεταξύ τους).
  6. Α) Επαλήθευση: ΜΚΔ(15,20). Διαιρέτες 15: 1,3,5,15. Διαιρέτες 20: 1,2,4,5,10,20. Κοινός μέγιστος: 5 ✓. ΕΚΠ(15,20): ✓.
Β. Ανάπτυξη
  1. Χρειαζόμαστε ΜΚΔ(270, 180, 135). → Αλγόριθμος για 270 και 180: → → Τώρα ΜΚΔ(90, 135): → → Άρα 45 δέματα. Κάθε δέμα: τετράδια, μολύβια, σβηστήρες. ⟹ 45 δέματα (6 τετράδια + 4 μολύβια + 3 σβηστήρες έκαστο)
  2. → Υπόλοιπο μηδέν αμέσως → ⟹ 14 (αφού 14 διαιρεί ακριβώς το 28)
  3. Αλγόριθμος: → → → → ΝΑΙ, πρώτοι μεταξύ τους. ⟹
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός