Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.3.2

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)

⏱ ~10 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Τρεις φίλοι παίζουν ποδόσφαιρο, ο καθένας κάθε 3, 4, 6 μέρες. Πότε ξανά οι 3 μαζί; Αυτό λύνει το ΕΚΠ — βρες τον μικρότερο αριθμό που είναι πολλαπλάσιο όλων.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ορισμός

**Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ή περισσότερων αριθμών = ο **μικρότερος** μη μηδενικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο όλων.

Συμβολισμός: ΕΚΠ(α, β) ή ΕΚΠ(α, β, γ).

💡 Θυμάμαι:Πάντα το ΕΚΠ ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ από τους αρχικούς αριθμούς.

Πώς το βρίσκω (απλή μέθοδος)

1. Γράφω τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού.

2. Βρίσκω τα κοινά.

3. Παίρνω το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ κοινό .

📝 Παράδειγμα
;
  1. Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, **12**, 15, 18, 21, 24, …
  2. Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, **12**, 16, 20, 24, …
  3. Κοινά : 12, 24, … Μικρότερο: 12
=

Ειδική περίπτωση

Όταν δύο αριθμοί δεν έχουν κοινούς διαιρέτες πέρα από το 1 (πρώτοι μεταξύ τους), τότε:

Π.χ. (αφού 3 και 5 δεν έχουν κοινό διαιρέτη).

Παράδειγμα με 3 αριθμούς

Για 3+ αριθμούς, ίδια λογική: βρες κοινά πολλαπλάσια όλων.

📝 Παράδειγμα
;
  1. Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, **12**, 15, 18, 21, 24, …
  2. Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, **12**, 16, 20, 24, …
  3. Πολλαπλάσια του 6: 0, 6, **12**, 18, 24, …
  4. Πρώτο κοινό όλων : 12
=

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Το ΕΚΠ δύο αριθμών διαιρείται και από τους δύο.
Σωστό / Λάθος · 2
Το ΕΚΠ δύο αριθμών είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο από τον μεγαλύτερο.
Σωστό / Λάθος · 3
Πολλαπλής επιλογής · 4
;
Πολλαπλής επιλογής · 5
;
Πολλαπλής επιλογής · 6
;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Δύο λεωφορεία ξεκινούν μαζί. Το ένα κάνει κύκλο σε 20 λεπτά, το άλλο σε 30. Μετά από πόσα λεπτά θα ξανασυναντηθούν;
  1. Θα συναντηθούν όταν περάσει χρόνος = κοινό πολλαπλάσιο των 20 και 30.
  2. Πρώτη συνάντηση
  3. Πολλαπλάσια του 20: 20, 40, **60**, 80, …
  4. Πολλαπλάσια του 30: 30, **60**, 90, …
  5. λεπτά
✓ Απάντηση: Μετά από 60 λεπτά (1 ώρα).
Άσκηση 2
;
  1. Πολλαπλάσια του 12: 12, 24, 36, 48, **60**, 72, …
  2. Πολλαπλάσια του 15: 15, 30, 45, **60**, 75, …
  3. Πολλαπλάσια του 20: 20, 40, **60**, 80, …
  4. Πρώτο κοινό σε όλα: 60
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Στο καρουζέλ η εσωτερική σειρά κάνει έναν πλήρη κύκλο σε 48", η εξωτερική σε 72". Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα βρεθούν ξανά ταυτόχρονα στην αρχική τους θέση;
  1. Χρειαζόμαστε ΕΚΠ(48, 72).
  2. Πολλαπλάσια του 48: 48, 96, **144**, 192, …
  3. Πολλαπλάσια του 72: 72, **144**, 216, …
  4. δευτερόλεπτα λεπτά 24"
✓ Απάντηση: 144 δευτερόλεπτα

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Δύο λαμπάκια αναβοσβήνουν: το πρώτο κάθε 15", το δεύτερο κάθε 17". Σε πόσα δευτερόλεπτα θα αναβοσβήσουν ταυτόχρονα για πρώτη φορά (μετά την έναρξη);
Πολλαπλής επιλογής · 9
;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Το ΕΚΠ(α, β) είναι ποτέ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ από το γινόμενο α·β;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11
Γιατί το ΕΚΠ είναι θεμελιώδες για την πρόσθεση κλασμάτων (όπως + );
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.3.2

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Ορισμός
  • **Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ή περισσότερων αριθμών = ο **μικρότερος** μη μηδενικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο όλων.
  • Συμβολισμός: ΕΚΠ(α, β) ή ΕΚΠ(α, β, γ).
Πώς το βρίσκω (απλή μέθοδος)
  • 1. Γράφω τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού.
  • 2. Βρίσκω τα κοινά.
  • 3. Παίρνω το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ κοινό .
Ειδική περίπτωση
  • Όταν δύο αριθμοί δεν έχουν κοινούς διαιρέτες πέρα από το 1 (πρώτοι μεταξύ τους), τότε:
  • Π.χ. (αφού 3 και 5 δεν έχουν κοινό διαιρέτη).
Παράδειγμα με 3 αριθμούς
  • Για 3+ αριθμούς, ίδια λογική: βρες κοινά πολλαπλάσια όλων.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Το ΕΚΠ δύο αριθμών διαιρείται και από τους δύο.Σ ◻  Λ ◻
2.
Το ΕΚΠ δύο αριθμών είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο από τον μεγαλύτερο.Σ ◻  Λ ◻
3.
Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
;
Α) 48Β) 14Γ) 24Δ) 12
2.
;
Α) 35Β) 12Γ) 70Δ) 1
3.
;
Α) 40Β) 20Γ) 14Δ) 60
4.
;
Α) 108Β) 36Γ) 21Δ) 72
5.
Δύο λαμπάκια αναβοσβήνουν: το πρώτο κάθε 15", το δεύτερο κάθε 17". Σε πόσα δευτερόλεπτα θα αναβοσβήσουν ταυτόχρονα για πρώτη φορά (μετά την έναρξη);
Α) 255Β) 32Γ) 510Δ) 32 ώρες
6.
;
Α) 100Β) 50Γ) 10Δ) 20
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Δύο λεωφορεία ξεκινούν μαζί. Το ένα κάνει κύκλο σε 20 λεπτά, το άλλο σε 30. Μετά από πόσα λεπτά θα ξανασυναντηθούν;
8.
;
9.
Στο καρουζέλ η εσωτερική σειρά κάνει έναν πλήρη κύκλο σε 48", η εξωτερική σε 72". Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα βρεθούν ξανά ταυτόχρονα στην αρχική τους θέση;
Λύσεις · Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Σωστό3. Σωστό
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) Πολλαπλάσια του 6: 6, 12, 18, **24**, 30, … Πολλαπλάσια του 8: 8, 16, **24**, 32, … Κοινό μικρότερο: 24.
  2. Α) Οι 5 και 7 είναι πρώτοι μεταξύ τους (δεν έχουν κοινό διαιρέτη πέρα από το 1). Άρα γινόμενο .
  3. Β) Πολλαπλάσια του 4: 4, 8, 12, 16, **20**, 24, … Πολλαπλάσια του 10: 10, **20**, 30, … Κοινό μικρότερο: 20. (Όχι 40 — αυτό είναι το ΕΠΟΜΕΝΟ κοινό.)
  4. Β) Πολλαπλάσια του 9: 9, 18, 27, **36**, 45, … Πολλαπλάσια του 12: 12, 24, **36**, 48, … .
  5. Α) 15 και 17 είναι πρώτοι μεταξύ τους (το 17 είναι πρώτος αριθμός). Άρα δευτερόλεπτα.
  6. Γ) Το 10 ήδη διαιρείται από 2 και 5. Άρα .
Β. Ανάπτυξη
  1. Θα συναντηθούν όταν περάσει χρόνος = κοινό πολλαπλάσιο των 20 και 30. → Πρώτη συνάντηση → Πολλαπλάσια του 20: 20, 40, **60**, 80, … → Πολλαπλάσια του 30: 30, **60**, 90, … → λεπτά ⟹ Μετά από 60 λεπτά (1 ώρα).
  2. Πολλαπλάσια του 12: 12, 24, 36, 48, **60**, 72, … → Πολλαπλάσια του 15: 15, 30, 45, **60**, 75, … → Πολλαπλάσια του 20: 20, 40, **60**, 80, … → Πρώτο κοινό σε όλα: 60 ⟹
  3. Χρειαζόμαστε ΕΚΠ(48, 72). → Πολλαπλάσια του 48: 48, 96, **144**, 192, … → Πολλαπλάσια του 72: 72, **144**, 216, … → δευτερόλεπτα λεπτά 24" ⟹ 144 δευτερόλεπτα
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός