Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.3.1

Κριτήρια Διαιρετότητας

⏱ ~10 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Πώς ξέρεις αν το 7980 διαιρείται με 9, ΧΩΡΙΣ να κάνεις τη διαίρεση; Με τα κριτήρια — γρήγορα κόλπα που λύνουν τη μισή διαίρεση στο μυαλό σου.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Ο πίνακας των κριτηρίων

Ένας φυσικός διαιρείται με τον:

**2**: αν είναι ζυγός (τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8)

**3**: αν το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των ψηφίων του διαιρείται με 3

**4**: αν τα 2 τελευταία ψηφία (διψήφιος) διαιρούνται με 4

**5**: αν τελειώνει σε 0 ή 5

**6**: αν διαιρείται και με 2 ΚΑΙ με 3

**8**: αν τα 3 τελευταία ψηφία (τριψήφιος) διαιρούνται με 8

**9**: αν το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των ψηφίων του διαιρείται με 9

**10**: αν τελειώνει σε 0

**25**: αν τα 2 τελευταία ψηφία διαιρούνται με 25 (δηλ. 00, 25, 50, 75)

💡 Θυμάμαι:Πρόσεξε τη διαφορά : το 12 διαιρείται με , αλλά ΟΧΙ με 9. Το αντίστροφο όμως ισχύει: αν διαιρείται με 9, διαιρείται και με 3.

Παράδειγμα: ο αριθμός 7980

Για το 7980: τελευταίο ψηφίο 0 → διαιρείται με 2, 5, 10.

Άθροισμα ψηφίων: διαιρείται με 3 → άρα και ο 7980 διαιρείται με 3 (και με 6, αφού διαιρείται και με 2). Το 24 ΔΕΝ διαιρείται με 9, οπότε ούτε ο 7980.

Τελευταία 2 ψηφία: 80, που διαιρείται με 4 → άρα και ο 7980.

📝 Παράδειγμα
Διαιρείται ο 5720 με 4;
  1. Πάρε τα 2 τελευταία ψηφία: 20
  2. Διαιρείται το 20 με το 4;
  3. Άρα ναι, ο 5720 διαιρείται με 4.
= Ναι

Σχέσεις που πρέπει να θυμάσαι

• Αν διαιρείται με 10 → διαιρείται και με 2 και με 5.

• Αν διαιρείται με 9 → διαιρείται και με 3.

• Αν διαιρείται και με 2 και με 3 → διαιρείται και με 6.

• Με 100 διαιρούνται μόνο όσοι τελειώνουν σε 00.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε μηδέν διαιρούνται με το 100.
Σωστό / Λάθος · 2
Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 3, διαιρούνται και με το 9.
Σωστό / Λάθος · 3
Αν διαιρείται και με 2 και με 3, τότε διαιρείται και με 6.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Ο αριθμός 2928 διαιρείται με:
Πολλαπλής επιλογής · 5
Ποιο από τα παρακάτω συμπληρώνει το κενό ώστε ο 52___ να ΜΗ διαιρείται με 3;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ο 9405 διαιρείται με ποιο από τα παρακάτω;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται με 3 αλλά ΟΧΙ με 9;
  1. Ξεκίνα από τον 99 και κατέβαινε.
  2. 99: άθροισμα → /9 ✓ (δεν θέλουμε αυτό)
  3. 96: άθροισμα → /3 ✓, /9 ✗ (15 δεν διαιρείται με 9)
  4. Άρα ο 96 είναι ο μεγαλύτερος.
✓ Απάντηση: 96
Άσκηση 2
Ο 8___7___ έχει το ψηφίο εκατοντάδων διπλάσιο από αυτό των μονάδων και διαιρείται με 9. Ένα παράδειγμα;
  1. Έστω ψηφίο μονάδων , άρα ψηφίο εκατοντάδων .
  2. Άθροισμα:
  3. Πρέπει να διαιρείται με 9. Δοκιμές: → 15 ✗, → 18 ✓!
  4. Άρα , ψηφίο εκατοντάδων . Αριθμός: 8271
  5. Επαλήθευση: ✓
✓ Απάντηση: 8271 (ένα από πολλά)
Άσκηση 3
Στο σχολείο της Δάφνης είναι 133 παιδιά. Πόσα τουλάχιστον επιπλέον χρειάζονται για να παρελάσουν είτε σε τετράδες ΕΙΤΕ σε πεντάδες χωρίς να μένει κανείς απ' έξω;
  1. Χρειαζόμαστε αριθμό που να διαιρείται με 4 ΚΑΙ με 5, άρα με 20.
  2. Πάνω από 133: . ΟΚ.
  3. Άρα παιδιά λείπουν.
✓ Απάντηση: 7 παιδιά (συνολικά 140)

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Ποιος από αυτούς διαιρείται με 4;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Ποιο ψηφίο πρέπει να μπει στο κενό ώστε ο 7_6 να διαιρείται με 6;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ένας τριψήφιος αριθμός έχει 3 ίδια ψηφία (πχ 555, 777). Διαιρείται πάντα με:
Πολλαπλής επιλογής · 10
Ο 43__7__ έχει 5 ψηφία και διαιρείται και με 9 και με 25. Ποιος είναι ο αριθμός;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11
Γιατί το κριτήριο του 3 χρησιμοποιεί το άθροισμα των ψηφίων;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.3.1

Κριτήρια Διαιρετότητας

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Ο πίνακας των κριτηρίων
  • Ένας φυσικός διαιρείται με τον:
  • **2**: αν είναι ζυγός (τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8)
  • **3**: αν το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των ψηφίων του διαιρείται με 3
  • **4**: αν τα 2 τελευταία ψηφία (διψήφιος) διαιρούνται με 4
  • **5**: αν τελειώνει σε 0 ή 5
  • **6**: αν διαιρείται και με 2 ΚΑΙ με 3
  • **8**: αν τα 3 τελευταία ψηφία (τριψήφιος) διαιρούνται με 8
  • **9**: αν το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των ψηφίων του διαιρείται με 9
  • **10**: αν τελειώνει σε 0
  • **25**: αν τα 2 τελευταία ψηφία διαιρούνται με 25 (δηλ. 00, 25, 50, 75)
Παράδειγμα: ο αριθμός 7980
  • Για το 7980: τελευταίο ψηφίο 0 → διαιρείται με 2, 5, 10.
  • Άθροισμα ψηφίων: διαιρείται με 3 → άρα και ο 7980 διαιρείται με 3 (και με 6, αφού διαιρείται και με 2). Το 24 ΔΕΝ διαιρείται με 9, οπότε ούτε ο 7980.
  • Τελευταία 2 ψηφία: 80, που διαιρείται με 4 → άρα και ο 7980.
Σχέσεις που πρέπει να θυμάσαι
  • • Αν διαιρείται με 10 → διαιρείται και με 2 και με 5.
  • • Αν διαιρείται με 9 → διαιρείται και με 3.
  • • Αν διαιρείται και με 2 και με 3 → διαιρείται και με 6.
  • • Με 100 διαιρούνται μόνο όσοι τελειώνουν σε 00.

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε μηδέν διαιρούνται με το 100.Σ ◻  Λ ◻
2.
Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 3, διαιρούνται και με το 9.Σ ◻  Λ ◻
3.
Αν διαιρείται και με 2 και με 3, τότε διαιρείται και με 6.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Ο αριθμός 2928 διαιρείται με:
Α) μόνο 2 και 4Β) 2, 3, 4Γ) 2, 3, 4, 6Δ) 2, 4, 9
2.
Ποιο από τα παρακάτω συμπληρώνει το κενό ώστε ο 52___ να ΜΗ διαιρείται με 3;
Α) 2Β) 5Γ) 8Δ) 0
3.
Ο 9405 διαιρείται με ποιο από τα παρακάτω;
Α) 2 και 5Β) 3 και 5Γ) 3 και 9Δ) και τα 3 και 9 και 5
4.
Ποιος από αυτούς διαιρείται με 4;
Α) 1430Β) 6188Γ) 9405Δ) 5723
5.
Ποιο ψηφίο πρέπει να μπει στο κενό ώστε ο 7_6 να διαιρείται με 6;
Α) 1Β) 2Γ) 4Δ) 7
6.
Ένας τριψήφιος αριθμός έχει 3 ίδια ψηφία (πχ 555, 777). Διαιρείται πάντα με:
Α) 2Β) 3Γ) 5Δ) 9
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται με 3 αλλά ΟΧΙ με 9;
8.
Ο 8___7___ έχει το ψηφίο εκατοντάδων διπλάσιο από αυτό των μονάδων και διαιρείται με 9. Ένα παράδειγμα;
9.
Στο σχολείο της Δάφνης είναι 133 παιδιά. Πόσα τουλάχιστον επιπλέον χρειάζονται για να παρελάσουν είτε σε τετράδες ΕΙΤΕ σε πεντάδες χωρίς να μένει κανείς απ' έξω;
Λύσεις · Κριτήρια Διαιρετότητας
Α. Σωστό / Λάθος
1. Λάθος2. Λάθος3. Σωστό
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) Τελευταίο ψηφίο 8 → /2 ✓. Άθροισμα → /3 ✓ (αλλά αφού 21 δεν είναι πολλαπλάσιο του 9). Τελευταία 2: 28 → /4 ✓. Άρα /2 και /3 → /6 ✓. .
  2. Δ) Το άθροισμα των ψηφίων είναι 5+2+ψηφίο ψηφίο. Με 2, 5, 8 προκύπτει 9, 12, 15 — όλα πολλαπλάσια του 3, άρα οι 522, 525, 528 διαιρούνται με 3. Με 0 το άθροισμα είναι 7, που δεν διαιρείται με 3 — άρα ο 520 ΔΕΝ διαιρείται με 3.
  3. Δ) Τελειώνει σε 5 → /5 ✓. Άθροισμα , διαιρείται και με 3 και με 9. Άρα /3 ✓ και /9 ✓. Δεν διαιρείται με 2 (μονός).
  4. Β) Πάρε τα 2 τελευταία ψηφία: . Σωστή: 6188.
  5. Β) Για να διαιρείται με 6 πρέπει να διαιρείται με 2 ΚΑΙ με 3. Το τελευταίο ψηφίο είναι 6, άρα η διαίρεση με το 2 ισχύει σε κάθε περίπτωση. Άθροισμα ψηφίων: 7+ψηφίοψηφίο. Μόνο με το 2 προκύπτει 15, πολλαπλάσιο του 3 — άρα ο 726 διαιρείται με . Με 1, 4, 7 προκύπτει 14, 17, 20, που δεν διαιρούνται με 3.
  6. Β) Αν α είναι το ψηφίο, ο αριθμός είναι ααα. Άθροισμα ψηφίων πάντα διαιρείται με 3. Άρα /3 πάντα. Παράδειγμα: 555: άθροισμα 15 ✓3. 777: άθροισμα 21 ✓3.
Β. Ανάπτυξη
  1. Ξεκίνα από τον 99 και κατέβαινε. → 99: άθροισμα → /9 ✓ (δεν θέλουμε αυτό) → 96: άθροισμα → /3 ✓, /9 ✗ (15 δεν διαιρείται με 9) → Άρα ο 96 είναι ο μεγαλύτερος. ⟹ 96
  2. Έστω ψηφίο μονάδων , άρα ψηφίο εκατοντάδων . → Άθροισμα: → Πρέπει να διαιρείται με 9. Δοκιμές: → 15 ✗, → 18 ✓! → Άρα , ψηφίο εκατοντάδων . Αριθμός: 8271 → Επαλήθευση: ✓ ⟹ 8271 (ένα από πολλά)
  3. Χρειαζόμαστε αριθμό που να διαιρείται με 4 ΚΑΙ με 5, άρα με 20. → Πάνω από 133: . ΟΚ. → Άρα παιδιά λείπουν. ⟹ 7 παιδιά (συνολικά 140)
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός