Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.2

Ευκλείδεια Διαίρεση

⏱ ~12 λεπτά11 γρήγορες ερωτήσεις

Δεν διαιρούνται όλοι οι αριθμοί ακριβώς. Η Ευκλείδεια Διαίρεση είναι ο τρόπος να γράψεις ΚΑΘΕ διαίρεση χωρίς υπολειπόμενα κομμάτια — και αυτό αλλάζει πολλά.

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Η ταυτότητα

Όταν διαιρείς δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης, με δ ≠ 0), πάντα μπορείς να γράψεις:

, με

Το π λέγεται **πηλίκο** και το υ λέγεται **υπόλοιπο**.

💡 Θυμάμαι:Το υπόλοιπο ΠΑΝΤΑ μικρότερο από τον διαιρέτη. Αν δεν είναι, η διαίρεση δεν έχει τελειώσει.

Τέλεια vs Ατελής διαίρεση

• **Τέλεια**: το υπόλοιπο είναι 0. Δηλαδή ο διαιρέτης διαιρεί τον διαιρετέο ακριβώς.

• **Ατελής**: το υπόλοιπο είναι .

📝 Παράδειγμα
Διαίρεση 24 με 6 και με 9.
  1. 24 ÷ 6: → υπόλοιπο 0 → ΤΕΛΕΙΑ
  2. 24 ÷ 9: → υπόλοιπο 6 → ΑΤΕΛΗΣ
= Πηλίκο 4 (τέλεια) — πηλίκο 2, υπόλοιπο 6 (ατελής)

Ποια υπόλοιπα μπορούν να εμφανιστούν

Όταν διαιρείς με τον β, τα δυνατά υπόλοιπα είναι: 0, 1, 2, …, .

Π.χ. διαίρεση με 9 → υπόλοιπα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (όχι 9 ή πάνω).

Πώς ελέγχω αν είναι Ευκλείδεια

Δίνεται μια ισότητα . Είναι Ευκλείδεια αν και μόνο αν .

📝 Παράδειγμα
Είναι το Ευκλείδεια διαίρεση του 29 με τον 6;
  1. Έλεγχος υπολοίπου:
  2. Ισχύει ✓
  3. Άρα ΝΑΙ — πηλίκο 4, υπόλοιπο 5
= Ναι, είναι Ευκλείδεια.

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Το υπόλοιπο σε μια Ευκλείδεια διαίρεση είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.
Σωστό / Λάθος · 2
Το πηλίκο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.
Σωστό / Λάθος · 3
Όταν διαιρείς με το 5, τα δυνατά υπόλοιπα είναι: 0, 1, 2, 3, 4.
Πολλαπλής επιλογής · 4
Η ισότητα είναι ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Στη διαίρεση 67 ÷ 15, ποιο είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ποια από τις παρακάτω ΔΕΝ είναι Ευκλείδεια διαίρεση;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 128 ÷ 8.
  1. Βρες πόσες φορές χωράει το 8 στο 128:
  2. Άρα
✓ Απάντηση: (τέλεια διαίρεση)
Άσκηση 2
Να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 198 ÷ 15.
  1. Δοκίμασε: (κοντά, λιγότεροπερισσότερο)
  2. Άρα . Υπόλοιπο:
  3. Επαλήθευση: , και ✓
✓ Απάντηση:
Άσκηση 3
Σήμερα είναι Τρίτη. Τι μέρα θα είναι σε 100 μέρες;
  1. Οι μέρες επαναλαμβάνονται ανά 7 (Δευτέρα-Κυριακή).
  2. Διαίρεσε: 100 ÷ 7 → (γιατί και 100−98=2)
  3. Άρα μετά από 100 μέρες πλήρεις εβδομάδες + 2 μέρες
  4. Από Τρίτη + 2 μέρες = Πέμπτη
✓ Απάντηση: Πέμπτη

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Στη διαίρεση 237 ÷ 17, ποιο είναι το υπόλοιπο;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Σε 1000 μέρες από σήμερα (Τετάρτη), τι μέρα θα είναι;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Ποιο από τα υπόλοιπα ΔΕΝ είναι δυνατό όταν διαιρείς με το 6;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Έχεις 290 σελίδες. Διάβασες 3 μέρες από 19 και μετά 9 μέρες από 24. Πόσες σελίδες διάβασες την τελευταία μέρα για να τελειώσεις;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 11
Γιατί απαιτούμε στην ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.2

Ευκλείδεια Διαίρεση

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Η ταυτότητα
  • Όταν διαιρείς δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης, με δ ≠ 0), πάντα μπορείς να γράψεις:
  • , με
  • Το π λέγεται **πηλίκο** και το υ λέγεται **υπόλοιπο**.
Τέλεια vs Ατελής διαίρεση
  • • **Τέλεια**: το υπόλοιπο είναι 0. Δηλαδή ο διαιρέτης διαιρεί τον διαιρετέο ακριβώς.
  • • **Ατελής**: το υπόλοιπο είναι .
Ποια υπόλοιπα μπορούν να εμφανιστούν
  • Όταν διαιρείς με τον β, τα δυνατά υπόλοιπα είναι: 0, 1, 2, …, .
  • Π.χ. διαίρεση με 9 → υπόλοιπα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (όχι 9 ή πάνω).
Πώς ελέγχω αν είναι Ευκλείδεια
  • Δίνεται μια ισότητα . Είναι Ευκλείδεια αν και μόνο αν .

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Το υπόλοιπο σε μια Ευκλείδεια διαίρεση είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.Σ ◻  Λ ◻
2.
Το πηλίκο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη.Σ ◻  Λ ◻
3.
Όταν διαιρείς με το 5, τα δυνατά υπόλοιπα είναι: 0, 1, 2, 3, 4.Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Η ισότητα είναι ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης;
Α) Ναι, του 22 με τον 4Β) Ναι, του 22 με τον 5Γ) Και τα δύο σωστάΔ) Όχι
2.
Στη διαίρεση 67 ÷ 15, ποιο είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο;
Α) Β) Γ) Δ)
3.
Ποια από τις παρακάτω ΔΕΝ είναι Ευκλείδεια διαίρεση;
Α) Β) Γ) Δ)
4.
Στη διαίρεση 237 ÷ 17, ποιο είναι το υπόλοιπο;
Α) 13Β) 16Γ) 17Δ) 1
5.
Σε 1000 μέρες από σήμερα (Τετάρτη), τι μέρα θα είναι;
Α) ΤετάρτηΒ) ΠαρασκευήΓ) ΤρίτηΔ) Δευτέρα
6.
Ποιο από τα υπόλοιπα ΔΕΝ είναι δυνατό όταν διαιρείς με το 6;
Α) 0Β) 3Γ) 5Δ) 6
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 128 ÷ 8.
8.
Να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 198 ÷ 15.
9.
Σήμερα είναι Τρίτη. Τι μέρα θα είναι σε 100 μέρες;
Λύσεις · Ευκλείδεια Διαίρεση
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Σωστό
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Γ) Και τα δύο: αν τότε ✓. Αν τότε ✓. Δηλαδή η ίδια ισότητα περιγράφει και τις δύο διαιρέσεις.
  2. Α) (επειδή και 67−60=7). Άρα (και ✓).
  3. Β) Στο : ΑΛΛΑ . Δεν ισχύει . Άρα δεν είναι Ευκλείδεια. Στα άλλα: ✓, ✓, ✓.
  4. Β) και . Άρα , με ✓. Το υπόλοιπο είναι 16 (το 13 είναι το πηλίκο).
  5. Γ) (γιατί και 1000−994=6). Άρα προχωράμε 6 μέρες μετά τις 142 πλήρεις εβδομάδες. Τετάρτη + 6 μέρες = Τρίτη.
  6. Δ) Υπόλοιπο 6 δεν γίνεται όταν διαιρείς με 6, γιατί τότε χωράει ένα ακόμη 6 μέσα. Δυνατά υπόλοιπα: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Β. Ανάπτυξη
  1. Βρες πόσες φορές χωράει το 8 στο 128: → Άρα ⟹ (τέλεια διαίρεση)
  2. Δοκίμασε: (κοντά, λιγότεροπερισσότερο) → Άρα . Υπόλοιπο: → Επαλήθευση: , και ✓ ⟹
  3. Οι μέρες επαναλαμβάνονται ανά 7 (Δευτέρα-Κυριακή). → Διαίρεσε: 100 ÷ 7 → (γιατί και 100−98=2) → Άρα μετά από 100 μέρες πλήρεις εβδομάδες + 2 μέρες → Από Τρίτη + 2 μέρες = Πέμπτη ⟹ Πέμπτη
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός