Α΄ Γυμνασίου·Κεφ. 1 · §1.1

Προσδιορισμός Φυσικών Αριθμών · Πολλαπλασιασμός · Δυνάμεις

⏱ ~12 λεπτά12 γρήγορες ερωτήσεις

Όλοι οι αριθμοί που χρησιμοποιείς για να μετρήσεις (0, 1, 2, 3, …) είναι φυσικοί. Σήμερα μαθαίνεις τις βασικές τους πράξεις και τι σημαίνει «δύναμη».

Θεωρία

Διάβασε ήρεμα — είναι ~5 λεπτά.

Φυσικοί αριθμοί — N

Φυσικοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, … Το σύνολό τους συμβολίζεται με .

Κάθε φυσικός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο (το 1).

Δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός — πάντα μπορούμε να βρούμε μεγαλύτερο προσθέτοντας 1.

💡 Θυμάμαι:Άρτιοι (ζυγοί): 0, 2, 4, 6… (μορφής 2κ). Περιττοί (μονοί): 1, 3, 5, 7… (μορφής 2κ+1).

Πρόσθεση & αφαίρεση

Πρόσθεση: (το γ είναι το άθροισμα).

Αφαίρεση: . Πάντα ισχύει (στους φυσικούς).

Πολλαπλασιασμός

… + β (α φορές).

Το αποτέλεσμα είναι το γινόμενο. Το α και το β είναι παράγοντες.

Αν τότε το γ είναι πολλαπλάσιο του α και του β.

📝 Παράδειγμα
Τα πολλαπλάσια του 7;
  6. … και ούτω καθεξής
= 0, 7, 14, 21, 28, 35, …
💡 Θυμάμαι:Για ×10, ×100, ×1000: απλά πρόσθεσε μηδενικά στο τέλος (π.χ. 34 × 100 = 3400).

Δυνάμεις

σημαίνει «α πολλαπλασιασμένο ν φορές με τον εαυτό του». Π.χ. .

Το α λέγεται βάση, το ν λέγεται εκθέτης.

«α στο τετράγωνο» (εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α).

«α στον κύβο» (όγκος κύβου ακμής α).

Ειδικές περιπτώσεις: , και για κάθε .

📝 Παράδειγμα
Πόσο κάνει ;
= 32

Προτεραιότητα πράξεων

1ο: Πράξεις μέσα σε παρενθέσεις.

2ο: Δυνάμεις.

3ο: Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις (αριστερά → δεξιά).

4ο: Προσθέσεις & αφαιρέσεις (αριστερά → δεξιά).

📝 Παράδειγμα
4 · − 5 · (3 · − 5 · )
  1. Παρένθεση πρώτα:
  2. Δυνάμεις: 4 · 9 − 5 · 4
  3. Πολλαπλασιασμοί: 36 − 20
  4. Αφαίρεση: 16
= 16

Γρήγορες ερωτήσεις

Κάθε σωστή απάντηση = ένα ✓ στο τέλος.

Σωστό / Λάθος · 1
Κάθε άρτιος αριθμός βρίσκεται ανάμεσα σε δύο περιττούς.
Σωστό / Λάθος · 2
Η έκφραση «5 στο τετράγωνο» μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για εμβαδόν.
Σωστό / Λάθος · 3
Ισχύει πάντα .
Πολλαπλής επιλογής · 4
Πόσο κάνει · ;
Πολλαπλής επιλογής · 5
Στην παράσταση 3 + 2 · 5, ποιο είναι το σωστό αποτέλεσμα;
Πολλαπλής επιλογής · 6
Ποιος από τους παρακάτω είναι περιττός;

Λυμένες ασκήσεις

Δες πώς εφαρμόζεται βήμα-βήμα.

Άσκηση 1
Να γράψεις σαν δύναμη: 3 · 3 · 3 · 3
  1. Μετράμε πόσες φορές πολλαπλασιάζεται το 3: 4 φορές.
  2. Άρα είναι 3 στην 4η.
✓ Απάντηση:
Άσκηση 2
Να κάνεις τις πράξεις: · 3 − 2 · + 5
  1. Δυνάμεις πρώτα:
  2. Πολλαπλασιασμοί:
  3. Πρόσθεση και αφαίρεση από αριστερά:
✓ Απάντηση: 11
Άσκηση 3
Να γράψεις το 64 σαν δύναμη με δύο διαφορετικούς τρόπους.
  1. Σκέψου: 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (6 φορές το 2) →
  2. Επίσης: 64 = 4 · 4 · 4 (3 φορές το 4) →
  3. Επίσης: →
✓ Απάντηση:

Δοκίμασέ το μόνος/η σου

Λύσε χωρίς να δεις τη βοήθεια. Η λύση εμφανίζεται μετά την απάντηση.

Πολλαπλής επιλογής · 7
Πόσο κάνει ;
Πολλαπλής επιλογής · 8
Στην παράσταση · 4 ποιο είναι το αποτέλεσμα;
Πολλαπλής επιλογής · 9
Πόσο κάνει 10^3 + 10^2;
Πολλαπλής επιλογής · 10
Ποιο από τα παρακάτω είναι ίσο με 81;
Πολλαπλής επιλογής · 11
Στην παράσταση 5 · − 4 · 3 ποιο είναι το αποτέλεσμα;

Ερώτηση κατανόησης

Το τελευταίο check πριν το «Τέλος».

Πολλαπλής επιλογής · 12
Γιατί το το (που θα δούμε αργότερα) είναι 1;
MathHub.grΦύλλο εργασίας
Α΄ Γυμνασίου · Κεφάλαιο 1 · §1.1

Προσδιορισμός Φυσικών Αριθμών · Πολλαπλασιασμός · Δυνάμεις

Όνομα: ____________________________
Ημ/νία: ____________
Βαθμός: _____ / 20

Θεωρία με μια ματιά

Φυσικοί αριθμοί — N
  • Φυσικοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, … Το σύνολό τους συμβολίζεται με .
  • Κάθε φυσικός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο (το 1).
  • Δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός — πάντα μπορούμε να βρούμε μεγαλύτερο προσθέτοντας 1.
Πρόσθεση & αφαίρεση
  • Πρόσθεση: (το γ είναι το άθροισμα).
  • Αφαίρεση: . Πάντα ισχύει (στους φυσικούς).
Πολλαπλασιασμός
  • … + β (α φορές).
  • Το αποτέλεσμα είναι το γινόμενο. Το α και το β είναι παράγοντες.
  • Αν τότε το γ είναι πολλαπλάσιο του α και του β.
Δυνάμεις
  • σημαίνει «α πολλαπλασιασμένο ν φορές με τον εαυτό του». Π.χ. .
  • Το α λέγεται βάση, το ν λέγεται εκθέτης.
  • «α στο τετράγωνο» (εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α).
  • «α στον κύβο» (όγκος κύβου ακμής α).
  • Ειδικές περιπτώσεις: , και για κάθε .
Προτεραιότητα πράξεων
  • 1ο: Πράξεις μέσα σε παρενθέσεις.
  • 2ο: Δυνάμεις.
  • 3ο: Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις (αριστερά → δεξιά).
  • 4ο: Προσθέσεις & αφαιρέσεις (αριστερά → δεξιά).

ΑΣωστό ή Λάθος

1.
Κάθε άρτιος αριθμός βρίσκεται ανάμεσα σε δύο περιττούς.Σ ◻  Λ ◻
2.
Η έκφραση «5 στο τετράγωνο» μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για εμβαδόν.Σ ◻  Λ ◻
3.
Ισχύει πάντα .Σ ◻  Λ ◻

ΒΑσκήσεις

Πολλαπλής επιλογής — κύκλωσε τη σωστή
1.
Πόσο κάνει · ;
Α) 16Β) 32Γ) 64Δ) 8
2.
Στην παράσταση 3 + 2 · 5, ποιο είναι το σωστό αποτέλεσμα;
Α) 25Β) 13Γ) 10Δ) 17
3.
Ποιος από τους παρακάτω είναι περιττός;
Α) 14Β) 0Γ) 23Δ) 100
4.
Πόσο κάνει ;
Α) 12Β) 64Γ) 81Δ) 27
5.
Στην παράσταση · 4 ποιο είναι το αποτέλεσμα;
Α) 100Β) 52Γ) 40Δ) 49
6.
Πόσο κάνει 10^3 + 10^2;
Α) 1.000Β) 1.100Γ) 100.000Δ) 10.100
Ανάπτυξη — λύσε αναλυτικά
7.
Να γράψεις σαν δύναμη: 3 · 3 · 3 · 3
8.
Να κάνεις τις πράξεις: · 3 − 2 · + 5
9.
Να γράψεις το 64 σαν δύναμη με δύο διαφορετικούς τρόπους.
Λύσεις · Προσδιορισμός Φυσικών Αριθμών · Πολλαπλασιασμός · Δυνάμεις
Α. Σωστό / Λάθος
1. Σωστό2. Λάθος3. Σωστό
Β. Πολλαπλής επιλογής
  1. Β) . (Ή απλά — αυτό θα το δούμε αργότερα.)
  2. Β) Πρώτα ο πολλαπλασιασμός: . Μετά πρόσθεση: . Όχι 25 — αυτό θα ίσχυε μόνο με παρένθεση: (3+2)·5.
  3. Γ) Το 23 είναι περιττός (δεν διαιρείται με το 2). Όλα τα άλλα είναι άρτιοι.
  4. Γ) . Προσοχή: το ΔΕΝ είναι !
  5. Α) Πρώτα η παρένθεση: . Μετά η δύναμη: . Τέλος ο πολλαπλασιασμός: .
  6. Β) . Άθροισμα: .
Β. Ανάπτυξη
  1. Μετράμε πόσες φορές πολλαπλασιάζεται το 3: 4 φορές. → Άρα είναι 3 στην 4η. ⟹
  2. Δυνάμεις πρώτα: → Πολλαπλασιασμοί: → Πρόσθεση και αφαίρεση από αριστερά: ⟹ 11
  3. Σκέψου: 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (6 φορές το 2) → → Επίσης: 64 = 4 · 4 · 4 (3 φορές το 4) → → Επίσης: → ⟹
MathHub.gr — Ψηφιακή πλατφόρμα μαθηματικώνΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός