Α. Τι ονομάζεται εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο τον αριθμό x;

Β. Να διατυπώσεις το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Γ. Χαρακτήρισε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ:

1. Μία εξίσωση πρώτου βαθμού έχει σίγουρα μία λύση.
2. Ισχύει ότι $\sqrt{0{,}81}=0{,}09$.
3. Αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, τότε σε αυτό ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
4. Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς $α$ ισούται με $α^2$.
5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή τη γωνία $Α$ ισχύει $\eta\mu Β=\sigma\upsilonν Γ$ και $\eta\mu Γ=\sigma\upsilonν Β$.

Α. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $α$;

Β. Διατύπωσε τον κανόνα υπολογισμού του εμβαδού τραπεζίου, με τον τύπο και σχήμα.

Γ. Χαρακτήρισε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ:

1. Η εξίσωση $x+3x=4x$ είναι αδύνατη.
2. Ισχύει ότι $\sqrt{α+β}=\sqrt{α}+\sqrt{β}$ για $α,β\ge0$.
3. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει $β^2+γ^2=α^2$, τότε είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία $Β$.
4. Το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το μισό του γινομένου μιας κάθετης πλευράς επί την υποτείνουσα.
5. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας δεν έχουν μονάδα μέτρησης.

Α. (α) Να υπολογιστούν οι αριθμοί $α=\sqrt{10+\sqrt{30+\sqrt{28+\sqrt{64}}}}$ και $β=\sqrt{\sqrt{4+\sqrt{25}}+\sqrt{13+\sqrt{9}}+2}$.  (β) Αν οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ισούνται με το τετραπλάσιο των $α$ και $β$, να υπολογιστεί η υποτείνουσα.

Β. Ένας πατέρας έχει σήμερα τριπλάσια ηλικία από τον γιο του. Μετά από 12 χρόνια θα έχει διπλάσια. Πόσων ετών είναι σήμερα ο καθένας;

Α. Να λυθεί η εξίσωση: $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x+1}{6}=x+1$.

Β. Ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 20 cm, ΑΔ = 12 cm και τετράγωνο ΒΘΗΕ εμβαδού 169 cm². Με ΑΖ = 15 cm, να βρεθούν: (α) ΔΖ = x,  (β) ΕΓ = y,  (γ) το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ορθή στο Α) και τρίγωνο ΒΓΔ, με ΑΒ = 3, ΑΓ = 4, ΓΔ = 12, ΒΔ = 13. (α) Βρες τη ΒΓ = γ. (β) Εξέτασε αν το ΒΓΔ είναι ορθογώνιο. (γ) Με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών $ω$ και $φ$, λύσε την εξίσωση: $\varepsilon\varphi φ\cdot x+\left(\dfrac{x}{15}-3\right)=\dfrac{1}{\sigma\upsilonν ω}\cdot x-\left(\dfrac{x}{3}-\eta\mu ω\right)$.

Α. Δώσε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού $α$.

Β. Να διατυπώσεις το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Γ. Χαρακτήρισε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ:

1. Η γραφική παράσταση της υπερβολής $y=\dfrac{α}{x}$ με $α>0$ βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
2. Η εξίσωση $0x=0$ δεν έχει λύσεις.
3. Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού είναι πάντα θετικός αριθμός.
4. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει $α^2=β^2+γ^2$ και $β=γ$, τότε είναι ορθογώνιο κι ισοσκελές.
5. Το μέτρο ενός τόξου είναι διπλάσιο του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει σε αυτό.

Α. Τι παριστάνει στο επίπεδο η συνάρτηση $y=αx$ και πώς λέγεται ο αριθμός $α$;

Β. Πώς ορίζεται η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας $ω$ ορθογωνίου τριγώνου;

Γ. Χαρακτήρισε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ:

1. Οι ευθείες $y=2x$ και $y=2x+1$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
2. Η εξίσωση $3x=3$ είναι ταυτότητα.
3. Ισχύει ότι $\sqrt{2+\sqrt9}=\sqrt{3+\sqrt4}$.
4. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
5. Υπάρχει οξεία γωνία $ω$ για την οποία ισχύει $\eta\mu ω=\dfrac{\sqrt5}{2}$.

Α. Να λυθεί η εξίσωση: $\dfrac{8-x}{6}+\dfrac{2(x-1)}{3}=\dfrac{x+6}{2}-\dfrac{x}{3}$.

Β. Τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς $α$ και Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΔ. Να αποδείξεις ότι: $ΕΖ^2+ΕΓ^2+ΖΓ^2=3α^2$.

Α. Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ορθή στο Γ) με $ΑΓ=\sqrt{\sqrt{4+\sqrt{23+\sqrt4}}}$ και $ΒΓ=\sqrt{\sqrt{256}-\sqrt{225}}$. Να βρεθούν: (α) τα μήκη ΑΓ, ΒΓ· (β) η ΑΒ και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $ω$ (στο Β)· (γ) το εμβαδόν του τριγώνου και το ύψος ΓΔ.

Β. Ευθεία διέρχεται από την αρχή O και το σημείο Α(−2, −8). (i) Βρες την κλίση. (ii) Γράψε την εξίσωση και συμπλήρωσε τον πίνακα τιμών. (iii) Βρες την παράλληλη που τέμνει τον $y'y$ στο (0, 1).

Πίνακας τιμών:   x: 1, __, −3, __  ·  y: __, 8, __, −16

Κύκλος (O, ρ) με διάμετρο ΒΕ και χορδές ΑΒ = 6 cm, ΑΕ = 8 cm. Δίνονται η γωνία $\widehat{ΓΒΕ}=60°$ και το τόξο $\widehat{ΓΔ}=50°$. (α) Εξήγησε γιατί το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ορθογώνιο. (β) Βρες τη γωνία $\widehat{ΓΕΔ}$ και το τόξο ΔΕ. (γ) Βρες την ακτίνα ρ και το μήκος του κύκλου. (δ) Βρες το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.