Γ
Τυπολόγιο Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου · Διαδραστικό
Κεφάλαια 3 · 4 · 5

Όλη η Γεωμετρία
της Α΄ Λυκείου

Διαδραστικό τυπολόγιο με ορισμούς, θεωρήματα, ιδιότητες, κριτήρια και διαγράμματα. Πάτησε σε κάθε κάρτα ή χρησιμοποίησε την αναζήτηση για να βρεις ό,τι χρειάζεσαι.

📐 28 θεωρήματα 📏 Πάνω από 50 ιδιότητες 🔺 Διαδραστικά διαγράμματα 🔍 Άμεση αναζήτηση
3
Κεφάλαιο

Τρίγωνα & Κύκλος

Ισότητα τριγώνων, ιδιότητες ισοσκελούς και ισοπλεύρου, μεσοκάθετος, διχοτόμος, χορδές–τόξα–αποστήματα, ανισοτικές σχέσεις και σχετικές θέσεις ευθείας–κύκλου.

Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων

Θεωρήματα

Τα τρία κριτήρια ισότητας

Πέρασε με το ποντίκι πάνω από κάθε κριτήριο για να φωτιστεί το αντίστοιχο σχήμα.

  1. (ΠΓΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.
  2. (ΓΠΓ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
  3. (ΠΠΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
ΠΓΠ A B Γ = A′ B′ Γ′ ΓΠΓ A B Γ = A′ B′ Γ′ ΠΠΠ A B Γ = A′ B′ Γ′
Ειδικά κριτήρια

Ισότητα Ορθογωνίων Τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

  • (ΠΠ) Δύο ομόλογες πλευρές ίσες (κάθετη–κάθετη ή υποτείνουσα–υποτείνουσα).
  • (ΠΓ) Μία πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσες.
A B Γ = A′ B′ Γ′

Ισοσκελές & Ισόπλευρο Τρίγωνο

Ιδιότητες

Ισοσκελές Τρίγωνο

Πέρασε με το ποντίκι πάνω από κάθε ιδιότητα →

  • Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
  • Η διχοτόμος της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.
  • Η διάμεσος της κορυφής είναι διχοτόμος και ύψος.
  • Το ύψος της κορυφής είναι διάμεσος και διχοτόμος.
Σύρε το Β οριζόντια
✓ΑΒ = ΑΓ = 152
Α Β Γ Μ
Ιδιότητα

Ισόπλευρο Τρίγωνο

Όλες οι πλευρές ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.

Οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες. Άρα κάθε γωνία είναι:

$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{\Gamma} = 60^{\circ}$
60° 60° 60° Α Β Γ

Μεσοκάθετος & Διχοτόμος γωνίας

Θεώρημα

Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του και αντίστροφα.

M ∈ μεσοκάθετος του ΑΒ ⇔ MA = MB

Μοναδικότητα καθέτου: Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία.

Σύρε το Μ στη μεσοκάθετο
✓MA = MB = 95
MA MB Α Β Μ Κ
Θεώρημα (Ευθύ & Αντίστροφο)

Διχοτόμος γωνίας

Ευθύ: Κάθε σημείο Μ της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.

M ∈ διχοτόμος ⇒ MA = MB

Αντίστροφο: Αν Μ εσωτερικό σημείο της γωνίας ΒΟΑ με MB = MA, τότε το Μ ανήκει στη διχοτόμο.

Σημείωση: «Απόσταση σημείου από ευθεία» = το κάθετο τμήμα από το σημείο στην ευθεία. Γι' αυτό τα ΜΑ, ΜΒ σχεδιάζονται κάθετα στις πλευρές της γωνίας.

Σύρε το Μ στη διχοτόμο
✓MA = MB = 38
d d Ο Μ Α Β

Χορδές · Τόξα · Αποστήματα

Ορισμοί

Βασικοί ορισμοί

(hover σε κάθε ορισμό → φωτίζεται στο σχήμα)

  • Χορδή: ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από δύο σημεία ενός τόξου.
  • Διάμετρος: η χορδή που διέρχεται από το κέντρο.
  • Τόξο: καθένα από τα μέρη στα οποία ένας κύκλος χωρίζεται από δύο σημεία του.
  • Απόστημα: το μοναδικό κάθετο τμήμα από το κέντρο προς μια χορδή.
  • Κάθε χορδή είναι ≤ της διαμέτρου.
  • Δύο κύκλοι είναι ίσοι ⇔ έχουν ίσες ακτίνες.
R = 85
O Α Β Γ Δ Κ R απόστ.
Θεωρήματα

Σχέσεις χορδών – τόξων – αποστημάτων

(hover →)

  • Δύο τόξα ίσα ⇔ οι επίκεντρες γωνίες τους ίσες.
  • Ίσα τόξα ⇒ ίσες χορδές.
  • Ίσες χορδές τόξων (και τα δύο μικρότερα ή και τα δύο μεγαλύτερα του ημικυκλίου) ⇒ ίσα τόξα.
  • Η κάθετος από το κέντρο σε χορδή διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.
  • Δύο χορδές ίσες ⇔ τα αποστήματά τους ίσα.
Α Β Γ Δ Ο

Γεωμετρικοί Τόποι

Ορισμός

Τι είναι γ.τ.

Γεωμετρικός τόπος (γ.τ.) λέγεται το σύνολο των σημείων που έχουν μία κοινή ιδιότητα.

Τρεις βασικοί τόποι

Οι κλασικοί γ.τ.

Σύρε το σημείο Μ σε κάθε σχήμα και επιβεβαίωσε ότι παραμένει σε ισαπέχουσα θέση.

Κύκλος

Σημεία που ισαπέχουν από σταθερό σημείο (κέντρο O). Σύρε το Μ και μένει πάντα πάνω στον κύκλο.

|OM| = 50 O Μ
Μεσοκάθετος

Σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα Α, Β ενός τμήματος. Σύρε το Μ πάνω-κάτω — η ισότητα |ΜΑ|=|ΜΒ| διατηρείται.

|MA| = |MB| = 86 A B K Μ
Διχοτόμος γωνίας

Σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας. Σύρε το Μ — οι κάθετες αποστάσεις στις πλευρές μένουν ίσες.

d₁ = d₂ = 27 O Μ

Ανισοτικές Σχέσεις & Τριγωνική Ανισότητα

Εξωτερική γωνία

Σχέση εξωτερικής με απέναντι εσωτερικές

  • Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική.
  • Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή αμβλεία γωνία.
  • Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι < 180°.
$\widehat{A}_{\varepsilon\xi} > \widehat{B},\quad \widehat{A}_{\varepsilon\xi} > \widehat{\Gamma}$
A B Γ εξ β γ
Πλευρές ↔ Γωνίες

Ανισοτικές πλευρών & γωνιών

Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα.

Μεγάλη πλευρά β → μεγάλη γωνία Β απέναντί της.

Μικρή πλευρά γ → μικρή γωνία Γ απέναντί της.

$\beta > \gamma \iff \widehat{B} > \widehat{\Gamma}$
γ β A B Γ
Τριγωνική Ανισότητα

Κάθε πλευρά < άθροισμα & > διαφορά

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους:

$|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$
$|\beta - \alpha| < \gamma < \alpha + \beta$
$|\alpha - \gamma| < \beta < \alpha + \gamma$
A B Γ α β γ

Σχετικές θέσεις Ευθείας & Κύκλων

Ευθεία & Κύκλος (Ο,R)

Τρεις περιπτώσεις

Έστω δ η απόσταση του κέντρου Ο από την ευθεία xx΄:

  • $\delta > R$ ⇒ εξωτερική του κύκλου
  • $\delta = R$ ⇒ εφαπτομένη
  • $\delta < R$ ⇒ τέμνουσα

Θεώρημα: Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

δ > R · εξωτερική δ = R · εφαπτομένη δ < R · τέμνουσα
Θεώρημα & Πορίσματα

Εφαπτόμενα τμήματα

Τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ που άγονται από σημείο Ρ εκτός κύκλου είναι ίσα: PA = PB.

Πορίσματα: (hover →)

  • Το ΡΟ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ.
  • Το ΡΟ είναι διχοτόμος των γωνιών Ρ και Ο.
Ο Ρ Α Β
Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ)

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Έστω δ = ΚΛ η διάκεντρος (R ≥ ρ):

  • $\delta = R + \rho$ → εφάπτονται εξωτερικά
  • $\delta = R - \rho$ → εφάπτονται εσωτερικά
  • $R - \rho < \delta < R + \rho$ → τέμνονται
  • $\delta > R + \rho$ → ο ένας εξωτερικός του άλλου
  • $\delta < R - \rho$ → ο (Λ,ρ) εσωτερικός του (Κ,R)
εξωτ. εφαπτ. εσωτ. εφαπτ. τέμνονται εξωτερικοί εσωτερικός
Θεώρημα

Διάκεντρος τεμνόμενων κύκλων

Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους.

Παρατήρηση: αν οι κύκλοι είναι ίσοι, η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου.

K Λ Α Β
4
Κεφάλαιο

Παράλληλες Ευθείες

Κριτήρια παραλληλίας, αίτημα του Ευκλείδη, αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου (περιγεγραμμένος, εγγεγραμμένος) και άθροισμα γωνιών σε τρίγωνα και κυρτά πολύγωνα.

Κριτήρια Παραλληλίας

Θεώρημα & Πρόταση Ι

Εντός εναλλάξ γωνίες

Ευθύ: Αν δύο ευθείες, τεμνόμενες από τρίτη, σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.

Αντίστροφο (Πρόταση Ι): Αν δύο παράλληλες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.

εντός εναλλάξ ίσες ⇔ ε₁ ∥ ε₂
ε₁ ε₂ α α
Πόρισμα Ι

Άλλα κριτήρια παραλληλίας

Δύο ευθείες ε₁, ε₂ τεμνόμενες από τρίτη είναι παράλληλες αν:

  • Σχηματίζουν δύο εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ή
  • Σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές.

Και τα αντίστροφα ισχύουν αν ε₁ ∥ ε₂.

ε₁ ε₂
Πόρισμα ΙΙ

Δύο κάθετες στην ίδια ευθεία

Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία (σε διαφορετικά σημεία) είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Πόρισμα: Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες, είναι κάθετη και στην άλλη.

ε₁ ε₂ ε ∥
Πρόταση ΙΙ

Μεταβατικότητα παραλληλίας

Αν ε₁ ∥ ε και ε₂ ∥ ε, τότε ε₁ ∥ ε₂.

Δύο γωνίες με παράλληλες πλευρές μία προς μία είναι:

  • Ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες.
  • Παραπληρωματικές αν η μία οξεία και η άλλη αμβλεία.
Α · ίδιος τύπος γωνίας → ΙΣΕΣ α α α = α Β · διαφορετικός τύπος → ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ α β α + β = 180°

Αίτημα Παραλληλίας

Αίτημα του Ευκλείδη

Μοναδική παράλληλη

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη σε αυτή.

Κατασκευή τριγώνου: με δοσμένη πλευρά και δύο προσκείμενες γωνίες έχει λύση αν και μόνο αν το άθροισμα των γωνιών είναι < 180°.

P ε′ ε ∥

Αξιοσημείωτοι Κύκλοι του Τριγώνου

Θεώρημα

Περιγεγραμμένος κύκλος · Περίκεντρο

Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, που είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (διέρχεται από τις κορυφές).

Το σημείο ονομάζεται Περίκεντρο.

O A B Γ
Θεώρημα

Εγγεγραμμένος κύκλος · Έγκεντρο

Οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, που είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου (εφάπτεται στις πλευρές).

Το σημείο ονομάζεται Έγκεντρο.

I A B Γ

Άθροισμα Γωνιών

Κορυφαίο

Άθροισμα γωνιών τριγώνου

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{\Gamma} = 180^{\circ}$
$\dfrac{\widehat{A}}{2} + \dfrac{\widehat{B}}{2} + \dfrac{\widehat{\Gamma}}{2} = 90^{\circ}$

Εξωτερική = άθροισμα δύο απέναντι εσωτερικών:

$\widehat{A}_{\varepsilon\xi} = \widehat{B} + \widehat{\Gamma}$
  • Κάθε γωνία ισοπλεύρου = 60°.
  • Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
  • Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, έχουν και τις τρίτες ίσες.
α β γ A B Γ α+β+γ=180°
Κυρτό ν-γωνο

Άθροισμα γωνιών πολυγώνου

Εσωτερικές γωνίες: (χωρίζοντας σε ν−2 τρίγωνα από μία κορυφή)

$S_{\text{εσ}} = (\nu - 2) \cdot 180^{\circ} = (2\nu - 4) \cdot 90^{\circ}$

Εξωτερικές γωνίες (ένα ζευγάρι ανά κορυφή · προέκταση πλευράς):

$S_{\text{εξ}} = 360^{\circ}$

Κεντρική γωνία (μόνο σε κανονικό ν-γωνο · ακτίνες από το κέντρο):

$\omega_{\kappa} = \dfrac{360^{\circ}}{\nu}$
τρίγωνο: 180° τετράπλευρο: 360° πεντάγωνο: 540° εξάγωνο: 720°
ν =
S_εσ = 540° · ω_κ = 72°
O A
5
Κεφάλαιο

Παραλληλόγραμμα & Τραπέζια

Παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, βαρύκεντρο, ορθόκεντρο, μέση παράλληλος τριγώνου, ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου και τραπέζιο (απλό & ισοσκελές).

Παραλληλόγραμμο

Ορισμός · Ιδιότητες

Παραλληλόγραμμο

Ορισμός: τετράπλευρο με τις απέναντι πλευρές παράλληλες.

Ιδιότητες: (hover πάνω σε κάθε ιδιότητα)

  1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
  2. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
  3. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Πόρισμα: Το σημείο τομής των διαγωνίων είναι κέντρο συμμετρίας.

A B Γ Δ K
Κριτήρια

Πότε τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο

(hover σε κάθε κριτήριο)

  • Οι απέναντι πλευρές είναι ανά δύο ίσες.
  • Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.
  • Οι απέναντι γωνίες είναι ανά δύο ίσες.
  • Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.
A B Γ Δ

Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο

Ορισμός · Ιδιότητα

Ορθογώνιο

Ορισμός: παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή.

Ιδιότητα: Οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Κριτήρια: (hover →)

  • Παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.
  • Παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες.
  • Τετράπλευρο με τρεις ορθές γωνίες.
  • Τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ίσες.
A B Γ Δ

Ρόμβος

Ορισμός · Ιδιότητες

Ρόμβος

Ορισμός: παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Ιδιότητες: (hover →)

  1. Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα.
  2. Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του.

Κριτήρια:

  • Έχει όλες τις πλευρές ίσες.
  • Παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους.
  • Παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
  • Παραλληλόγραμμο όπου μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία.
A B Γ Δ

Τετράγωνο

Ορισμός · Ιδιότητες

Τετράγωνο

Ορισμός: παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος.

Ιδιότητες: (hover →)

  1. Όλες οι πλευρές ίσες.
  2. Όλες οι γωνίες ορθές.
  3. Οι διαγώνιοι: ίσες, διχοτομούνται, τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες.
  4. Οι απέναντι πλευρές παράλληλες.
A B Γ Δ
Κριτήρια

Πότε παραλληλόγραμμο = τετράγωνο

Είναι παραλληλόγραμμο και:

  • μία ορθή γωνία + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
  • μία ορθή γωνία + μία διαγώνιος διχοτομεί γωνία
  • μία ορθή γωνία + κάθετες διαγώνιοι
  • ίσες διαγώνιοι + δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
  • ίσες διαγώνιοι + μία διχοτομεί γωνία
  • ίσες και κάθετες διαγώνιοι
A B Γ Δ

Συγκριτικός Πίνακας

Ιδιότητα Παραλλ/μο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο
Απέναντι πλευρές ίσες & παράλληλες✓✓✓✓
Όλες οι πλευρές ίσες——✓✓
Όλες οι γωνίες ορθές—✓—✓
Διαγώνιοι διχοτομούνται✓✓✓✓
Διαγώνιοι ίσες—✓—✓
Διαγώνιοι κάθετες——✓✓
Διαγώνιοι διχοτομούν γωνίες——✓✓

Εφαρμογές Παραλληλογράμμων στα Τρίγωνα

Θεώρημα Ι & ΙΙ

Μέση παράλληλος τριγώνου

Θεώρημα Ι: Αν Δ, Ε μέσα των ΑΒ, ΑΓ τότε:

$\Delta\mathrm{E} \parallel \mathrm{B}\Gamma \quad \text{και} \quad \Delta\mathrm{E} = \dfrac{\mathrm{B}\Gamma}{2}$

Θεώρημα ΙΙ (αντίστροφο): Αν Δ μέσο της ΑΒ και ΔΕ ∥ ΒΓ, τότε Ε είναι μέσο της ΑΓ.

Σύρε την κορυφή Α
✓ΔΕ = 90 = ΒΓ/2
B Γ A Δ E
Θεώρημα ΙΙΙ

Ίσα τμήματα σε παράλληλες

Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

ε₁ ε₂ ε₃

Βαρύκεντρο & Ορθόκεντρο

Βαρύκεντρο

Σημείο τομής διαμέσων

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο (βαρύκεντρο), του οποίου η απόσταση από την κορυφή είναι:

$d = \dfrac{2}{3} \cdot \mu \quad (\mu = \text{μήκος διαμέσου})$
Σύρε την κορυφή Α
✓AG / AM' = 0.67 (= 2/3)
G B Γ A
Ορθόκεντρο

Σημείο τομής υψών

Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται ορθόκεντρο.

Οξυγώνιο → εντός τριγώνου Ορθογώνιο → στην κορυφή της ορθής Αμβλυγώνιο → εκτός τριγώνου
H A B Γ

Ιδιότητες Ορθογωνίου Τριγώνου

Θεώρημα Ι

Διάμεσος προς την υποτείνουσα

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της:

$\mathrm{AM} = \dfrac{\mathrm{B}\Gamma}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2\mathrm{AM} = \mathrm{B}\Gamma$

Θεώρημα ΙΙ (αντίστροφο): Αν σε τρίγωνο η διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς προς την οποία καταλήγει, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (με την πλευρά αυτή υποτείνουσα).

Σύρε την κορυφή Γ
✓AM = 114 = ΒΓ / 2
AM ΒΓ M A B Γ
Πόρισμα (30°)

Η κάθετη απέναντι από 30°

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30°, η απέναντι κάθετη είναι το μισό της υποτείνουσας:

$\widehat{B} = 30^{\circ} \Rightarrow 2\mathrm{A}\Gamma = \mathrm{B}\Gamma$

Και αντίστροφα: Αν $2\mathrm{A}\Gamma = \mathrm{B}\Gamma$, τότε $\widehat{B} = 30^{\circ}$.

30° 60° Μ α α α A B Γ

Τραπέζιο & Ισοσκελές Τραπέζιο

Ορισμός · Θεώρημα Ι

Τραπέζιο

Ορισμός: κυρτό τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες.

Διάμεσος: ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών. Είναι παράλληλη προς τις βάσεις και ίση με το ημιάθροισμα τους:

$\mu = \dfrac{B + b}{2}$

Πόρισμα: Η διάμεσος διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων, και το τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων είναι παράλληλο στις βάσεις και ίσο με την ημιδιαφορά:

$\dfrac{B - b}{2}$
b B μ
Ορισμός · Ιδιότητες

Ισοσκελές Τραπέζιο

Ορισμός: τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές ίσες.

Ιδιότητες: (hover →)

  1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες.
  2. Οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Κριτήρια:

  • Τραπέζιο με ίσες γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση.
  • Τραπέζιο με ίσες διαγώνιες.
A B Γ Δ
Σ/Λ
Επανάληψη · Αυτοαξιολόγηση

Σωστό – Λάθος

20 διαδραστικές ερωτήσεις που καλύπτουν και τα τρία κεφάλαια. Πάτησε Σωστό ή Λάθος και δες αμέσως την επεξήγηση. Το σκορ ενημερώνεται αυτόματα.

Καλή τύχη! Οι ερωτήσεις αναμιγνύουν ορισμούς, ιδιότητες και κριτήρια. Αν δεν θυμάσαι κάτι, χρησιμοποίησε την αναζήτηση παραπάνω.

Σκορ0 / 20
Ερώτηση 1
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
Σωστό. Είναι το κριτήριο ΠΠΠ (πλευρά–πλευρά–πλευρά).
Ερώτηση 2
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
Λάθος. Με ίσες γωνίες τα τρίγωνα είναι μόνο όμοια (ΓΓΓ), όχι απαραίτητα ίσα.
Ερώτηση 3
Σε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος της κορυφής είναι και διάμεσος και ύψος.
Σωστό. Στο ισοσκελές, διχοτόμος–διάμεσος–ύψος της κορυφής συμπίπτουν.
Ερώτηση 4
Κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι 90°.
Λάθος. Κάθε γωνία ισοπλεύρου είναι 60° (180°/3).
Ερώτηση 5
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.
Σωστό. Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα Α, Β.
Ερώτηση 6
Η διχοτόμος γωνίας είναι ο γ.τ. των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της.
Σωστό. Ευθύ και αντίστροφο θεώρημα ισχύουν.
Ερώτηση 7
Σε κάθε κύκλο υπάρχει χορδή μεγαλύτερη από τη διάμετρο.
Λάθος. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή. Κάθε χορδή ≤ διάμετρος.
Ερώτηση 8
Η κάθετος από το κέντρο σε μια χορδή τη διχοτομεί.
Σωστό. Διχοτομεί και τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.
Ερώτηση 9
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων.
Σωστό. Τριγωνική ανισότητα: $|\beta-\gamma| < \alpha < \beta+\gamma$.
Ερώτηση 10
Υπάρχει τρίγωνο με δύο ορθές γωνίες.
Λάθος. Το άθροισμα γωνιών = 180°, άρα το πολύ μία ορθή ή αμβλεία.
Ερώτηση 11
Η εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών.
Σωστό. $\widehat{A}_{εξ} = \widehat{B}+\widehat{\Gamma}$.
Ερώτηση 12
Τα δύο εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα.
Σωστό. ΡΑ = ΡΒ, και το ΡΟ είναι μεσοκάθετος της ΑΒ.
Ερώτηση 13
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς αυτήν.
Σωστό. Είναι το αίτημα του Ευκλείδη.
Ερώτηση 14
Το άθροισμα γωνιών κυρτού πενταγώνου είναι 360°.
Λάθος. (ν−2)·180° = 3·180° = 540°.
Ερώτηση 15
Το περίκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών.
Σωστό. Είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Ερώτηση 16
Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι είναι ίσες.
Λάθος. Ίσες διαγώνιοι έχει το ορθογώνιο (και τετράγωνο), όχι κάθε παραλληλόγραμμο.
Ερώτηση 17
Σε ρόμβο οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες.
Σωστό. Είναι οι δύο χαρακτηριστικές ιδιότητες του ρόμβου.
Ερώτηση 18
Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη και ίσο με το μισό της.
Σωστό. ΔΕ ∥ ΒΓ και ΔΕ = ΒΓ/2 (μέση παράλληλος).
Ερώτηση 19
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος προς την υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Σωστό. ΑΜ = ΒΓ/2 (και ισχύει και το αντίστροφο).
Ερώτηση 20
Το βαρύκεντρο τριγώνου απέχει από κάθε κορυφή τα 2/3 της αντίστοιχης διαμέσου.
Σωστό. d = (2/3)·μ από την κορυφή — δηλαδή χωρίζει τη διάμεσο σε λόγο 2:1.
— Κανένα αποτέλεσμα. Δοκίμασε άλλη λέξη-κλειδί —