Επανάληψη · Θεωρία

Ερωτήσεις Θεωρίας ανά Κεφάλαιο

Πατήστε σε κάθε ερώτηση για να δείτε την πλήρη απάντηση. Η ύλη ακολουθεί τη δομή του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Γυμνασίου.

Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που γράφεται ως κλάσμα $\dfrac{\alpha}{\beta}$ με $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$ και $\beta\neq 0$. Οι ρητοί έχουν δεκαδική παράσταση πεπερασμένη ή περιοδική.

Άρρητος ονομάζεται κάθε αριθμός που δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων. Η δεκαδική του παράσταση είναι μη πεπερασμένη και μη περιοδική. Παραδείγματα: $\sqrt{2},\sqrt{3},\pi$.

Πραγματικοί $\mathbb{R}$ = όλοι οι ρητοί ∪ όλοι οι άρρητοι.

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Για $\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*$ και $\mu,\nu\in\mathbb{Z}$:

$\alpha^\mu\cdot\alpha^\nu = \alpha^{\mu+\nu}$
$\dfrac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu-\nu}$
$(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu\cdot\nu}$
$(\alpha\beta)^\nu = \alpha^\nu\beta^\nu$
$\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^\nu = \dfrac{\alpha^\nu}{\beta^\nu}$
$\alpha^0 = 1\ (\alpha\neq 0)$
$\alpha^{-\nu} = \dfrac{1}{\alpha^\nu}$

Για κάθε $\alpha\geq 0$, η τετραγωνική ρίζα $\sqrt{\alpha}$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει $\alpha$. Δηλαδή $(\sqrt{\alpha})^2=\alpha$.

$\sqrt{\alpha\cdot\beta}=\sqrt\alpha\cdot\sqrt\beta\;(\alpha,\beta\geq 0)$
$\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\sqrt\alpha}{\sqrt\beta}\;(\alpha\geq 0,\beta>0)$
$\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$ για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$
$(\sqrt\alpha)^2=\alpha\;(\alpha\geq 0)$

Προσοχή: γενικά $\sqrt{\alpha+\beta}\neq\sqrt\alpha+\sqrt\beta$.

Μονώνυμο ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση που είναι γινόμενο ενός αριθμού επί ένα ή περισσότερα γράμματα (μεταβλητές) με μη αρνητικούς ακέραιους εκθέτες.

Συντελεστής: ο αριθμητικός παράγοντας. Κύριο μέρος: το γινόμενο των μεταβλητών. Βαθμός: το άθροισμα των εκθετών του κυρίου μέρους.

Στο $-5x^2y^3$: συντελεστής $-5$, κύριο μέρος $x^2y^3$, βαθμός $2+3=5$.

Ομοειδή μονώνυμα είναι αυτά με το ίδιο κύριο μέρος (π.χ. $3x^2y$ και $-7x^2y$). Στα ομοειδή κάνουμε αναγωγή προσθαφαιρώντας τους συντελεστές.

Πολυώνυμο = αλγεβρικό άθροισμα μονωνύμων (όροι). Βαθμός πολυωνύμου = ο μεγαλύτερος βαθμός των όρων του.

Πρόσθεση / Αφαίρεση: ομαδοποιούμε τα ομοειδή και προσθαφαιρούμε τους συντελεστές.

Πολλαπλασιασμός μονωνύμου επί πολυώνυμο (επιμεριστική):

$\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$

Πολυώνυμο επί πολυώνυμο: κάθε όρος του πρώτου επί κάθε όρο του δεύτερου.

$(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta$

Τετράγωνο αθροίσματος / διαφοράς:

$(\alpha\pm\beta)^2 = \alpha^2 \pm 2\alpha\beta + \beta^2$

Διαφορά τετραγώνων:

$(\alpha+\beta)(\alpha-\beta) = \alpha^2 - \beta^2$

Κύβος αθροίσματος / διαφοράς:

$(\alpha\pm\beta)^3 = \alpha^3 \pm 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 \pm \beta^3$

Άθροισμα / διαφορά κύβων:

$\alpha^3\pm\beta^3 = (\alpha\pm\beta)(\alpha^2\mp\alpha\beta+\beta^2)$

Γεωμετρική απόδειξη του $(\alpha+\beta)^2$ με εμβαδά:

Παραγοντοποίηση ονομάζεται η μετατροπή ενός πολυωνύμου σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού. Είναι η αντίστροφη διαδικασία του πολλαπλασιασμού.

Μέθοδοι:

Κοινός παράγοντας: $\alpha x+\alpha y=\alpha(x+y)$. Π.χ. $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$.
Ομαδοποίηση: $\alpha x+\alpha y+\beta x+\beta y=\alpha(x+y)+\beta(x+y)=(x+y)(\alpha+\beta)$.
Διαφορά τετραγώνων: $\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)$.
Πλήρες τετράγωνο: $\alpha^2\pm 2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha\pm\beta)^2$.
Τριώνυμο $x^2+(\mu+\nu)x+\mu\nu = (x+\mu)(x+\nu)$.
Άθροισμα/Διαφορά κύβων: $\alpha^3\pm\beta^3=(\alpha\pm\beta)(\alpha^2\mp\alpha\beta+\beta^2)$.

Ρητή αλγεβρική παράσταση είναι παράσταση της μορφής $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, όπου $P,Q$ πολυώνυμα και $Q(x)$ όχι ταυτοτικά μηδέν.

Πεδίο ορισμού: όλες οι τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ο παρονομαστής $Q(x)\neq 0$.

Απλοποίηση: (1) παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, (2) διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες, (3) θυμόμαστε το πεδίο ορισμού της αρχικής.

$\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3},\ x\neq 3$

Πολλαπλασιασμός: $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{AC}{BD}$ (αφού πρώτα παραγοντοποιήσουμε και απλοποιήσουμε).

Διαίρεση: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}=\dfrac{AD}{BC}$ (αντίστροφο του δευτέρου).

Πρόσθεση / Αφαίρεση:

Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.
Βρίσκουμε το ΕΚΠ τους.
Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.
Προσθαφαιρούμε τους αριθμητές και απλοποιούμε.

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1+x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$

Η εξίσωση $\alpha x+\beta=0$ είναι 1ου βαθμού όταν $\alpha\neq 0$.

Αν $\alpha\neq 0$: μοναδική λύση $x=-\dfrac{\beta}{\alpha}$.
Αν $\alpha=0,\ \beta\neq 0$: η εξίσωση γίνεται $0\cdot x=-\beta$, αδύνατη.
Αν $\alpha=0,\ \beta=0$: η εξίσωση γίνεται $0=0$, ταυτότητα (κάθε $x$ λύση).

Βήματα επίλυσης: απαλοιφή παρονομαστών (×ΕΚΠ) → απαλοιφή παρενθέσεων → χωρισμός αγνώστων-γνωστών → αναγωγή ομοίων όρων → διαίρεση με τον συντελεστή.

Εξίσωση 2ου βαθμού: $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ με $\alpha\neq 0$.

Μέθοδος παραγοντοποίησης: γράφουμε το πρώτο μέλος ως γινόμενο και χρησιμοποιούμε:

$A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0$ ή $B=0$

Παραδείγματα:

$x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ ή $x=5$
$x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3$ ή $x=-3$
$x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2$ ή $x=3$

Διακρίνουσα: $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$.

Τύπος ριζών (όταν $\Delta\geq 0$):

$x_{1,2} = \dfrac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

Ανάλογα με τη $\Delta$:

$\Delta > 0$: δύο πραγματικές άνισες ρίζες.
$\Delta = 0$: μία διπλή ρίζα, $x_1=x_2=-\dfrac{\beta}{2\alpha}$.
$\Delta < 0$: η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$.

Κλασματική ονομάζεται κάθε εξίσωση που έχει τον άγνωστο σε παρονομαστή.

Βήματα:

Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές.
Ορίζουμε περιορισμούς (κάθε παρονομαστής ≠ 0).
Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ των παρονομαστών — απαλείφουμε τα κλάσματα.
Λύνουμε τη νέα (πολυωνυμική) εξίσωση.
Ελέγχουμε ποιες λύσεις είναι δεκτές (δεν παραβιάζουν τους περιορισμούς).

Έστω $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$.

Αν $\alpha<\beta$ τότε $\alpha+\gamma<\beta+\gamma$ (πρόσθεση κοινού αριθμού — η ανίσωση διατηρείται).
Αν $\alpha<\beta$ και $\gamma>0$: $\alpha\gamma<\beta\gamma$ (διατηρείται).
Αν $\alpha<\beta$ και $\gamma<0$: $\alpha\gamma>\beta\gamma$ (αντιστρέφεται).
Αν $\alpha<\beta$ και $\beta<\gamma$: $\alpha<\gamma$ (μεταβατική).
Αν $\alpha<\beta$ και $\gamma<\delta$: $\alpha+\gamma<\beta+\delta$ (πρόσθεση κατά μέλη).

Επίσης ισχύει: για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$, $\alpha^2\geq 0$.

Εφαρμόζουμε τις ίδιες βασικές αρχές με τις εξισώσεις (χωρισμός αγνώστων), προσέχοντας το πρόσημο του συντελεστή όταν διαιρούμε:

Αν διαιρέσουμε με θετικό: το είδος της ανίσωσης διατηρείται.
Αν διαιρέσουμε με αρνητικό: το είδος της ανίσωσης αλλάζει ($>$ γίνεται $<$).

Π.χ. $-2x+6>0 \Rightarrow -2x>-6 \Rightarrow x<3$

Η λύση παριστάνεται και ως διάστημα: $x<3 \Leftrightarrow x\in(-\infty,3)$.

Αν $x_1,x_2$ ρίζες της $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ ($\alpha\neq 0$, $\Delta\geq 0$):

$S=x_1+x_2=-\dfrac{\beta}{\alpha}$ $P=x_1\cdot x_2=\dfrac{\gamma}{\alpha}$

Επίσης το τριώνυμο γράφεται:

$\alpha x^2+\beta x+\gamma = \alpha(x-x_1)(x-x_2)$

Δύο αριθμοί με άθροισμα $S$ και γινόμενο $P$ είναι ρίζες της: $t^2-St+P=0$.

Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και βρίσκουμε τι ζητάει.
Ονομάζουμε με $x$ έναν άγνωστο (συνήθως αυτό που ζητείται) και εκφράζουμε τα άλλα μεγέθη συναρτήσει του $x$.
Σχηματίζουμε εξίσωση από τη σχέση που δίνει το πρόβλημα.
Λύνουμε την εξίσωση.
Ελέγχουμε αν η λύση είναι αποδεκτή με βάση τη φύση του προβλήματος (π.χ. μήκος > 0, αριθμός ατόμων ακέραιος, ηλικία > 0 κ.λπ.).

Γραμμική εξίσωση με αγνώστους $x,y$ είναι κάθε εξίσωση της μορφής:

$\alpha x + \beta y = \gamma$, με $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ και $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$.

Λύση: κάθε διατεταγμένο ζεύγος $(x_0,y_0)$ που την επαληθεύει. Μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στο επίπεδο.

Η γραφική παράσταση των λύσεων στο επίπεδο $Oxy$ είναι ευθεία γραμμή.

Αν $\beta\neq 0$: λύνεται ως προς $y$: $y=-\dfrac{\alpha}{\beta}x+\dfrac{\gamma}{\beta}$ (γραμμική συνάρτηση με κλίση $-\alpha/\beta$).
Αν $\beta=0, \alpha\neq 0$: ευθεία $x=\gamma/\alpha$ (κάθετη στον $x$-άξονα).
Αν $\alpha=0, \beta\neq 0$: ευθεία $y=\gamma/\beta$ (παράλληλη στον $x$-άξονα).

Σύστημα 2×2:

$\begin{cases}\alpha_1 x + \beta_1 y = \gamma_1\\ \alpha_2 x + \beta_2 y = \gamma_2\end{cases}$

Λύση είναι κάθε ζεύγος $(x,y)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Γραφικά: σημείο τομής των δύο ευθειών.

Καθορισμένο (μία λύση): οι ευθείες τέμνονται.
Αδύνατο (καμία λύση): οι ευθείες είναι παράλληλες.
Αόριστο (άπειρες λύσεις): οι ευθείες συμπίπτουν.

Λύνουμε κάθε εξίσωση ως προς $y$ (αν είναι δυνατόν).
Βρίσκουμε δύο σημεία κάθε ευθείας (π.χ. τομές με τους άξονες).
Σχεδιάζουμε τις δύο ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων.
Διαβάζουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής.

Παράδειγμα γραφικής επίλυσης του συστήματος $\begin{cases}2x-y=1\\ x+y=5\end{cases}$:

Σημείο τομής $(2, 3)$ — και οι δύο ευθείες περνούν από εκεί.

Έλεγχος: 1η εξίσωση $2(2)-3=1$ ✓, 2η εξίσωση $2+3=5$ ✓.

Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο.
Αντικαθιστούμε αυτή την έκφραση στην άλλη εξίσωση.
Λύνουμε τη νέα εξίσωση με έναν άγνωστο.
Επιστρέφουμε την τιμή στο 1ο βήμα για να βρούμε τον άλλο άγνωστο.

$\begin{cases}y=3x-1\\ 2x+y=9\end{cases}\Rightarrow 2x+(3x-1)=9 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2,\ y=5$

Πολλαπλασιάζουμε κάθε εξίσωση με κατάλληλο αριθμό ώστε οι συντελεστές ενός αγνώστου να γίνουν αντίθετοι.
Προσθέτουμε κατά μέλη — απαλείφεται ο άγνωστος αυτός.
Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.
Αντικαθιστούμε σε μία αρχική εξίσωση για τον δεύτερο άγνωστο.

$\begin{cases}2x+3y=12\\ 4x-y=10\end{cases}$
×3 η 2η: $\begin{cases}2x+3y=12\\ 12x-3y=30\end{cases}$
Πρόσθεση: $14x=42 \Rightarrow x=3,\ y=2$

Αν προσπαθώντας να λύσουμε καταλήξουμε σε ισότητα της μορφής:

$0\cdot x = c$ με $c\neq 0$ (π.χ. $0=5$) → αδύνατο σύστημα (καμία λύση).
$0\cdot x = 0$ → αόριστο σύστημα (άπειρες λύσεις).
$\alpha x = \beta$ με $\alpha\neq 0$ → καθορισμένο (μοναδική λύση).

Με συντελεστές: στο $\begin{cases}\alpha_1 x+\beta_1 y=\gamma_1\\ \alpha_2 x+\beta_2 y=\gamma_2\end{cases}$:

$\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\neq\dfrac{\beta_1}{\beta_2}$: καθορισμένο.
$\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}=\dfrac{\beta_1}{\beta_2}\neq\dfrac{\gamma_1}{\gamma_2}$: αδύνατο.
$\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}=\dfrac{\beta_1}{\beta_2}=\dfrac{\gamma_1}{\gamma_2}$: αόριστο.

Ονομάζουμε δύο μεγέθη με $x,y$.
Σχηματίζουμε δύο γραμμικές εξισώσεις από τα δεδομένα.
Λύνουμε το σύστημα με την κατάλληλη μέθοδο.
Ελέγχουμε αν οι τιμές είναι αποδεκτές (πραγματικές για το πρόβλημα).

Παραδείγματα: ηλικίες, μήκη, νομίσματα, ταχύτητες, ποσοστά.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν, μετά από κατάλληλη μετακίνηση, ταυτίζονται. Έχουν δηλαδή ίσα και τα 6 αντίστοιχα στοιχεία (3 πλευρές + 3 γωνίες).

Για τον έλεγχο αρκεί ένα από τα τρία κριτήρια:

1ο Κριτήριο — Π·Γ·Π: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄, ∠Α = ∠Α΄ ⇒ τα τρίγωνα είναι ίσα.

2ο Κριτήριο — Γ·Π·Γ: Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

3ο Κριτήριο — Π·Π·Π: Αν δύο τρίγωνα έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

Στο ισοσκελές τρίγωνο $ABΓ$ με $ΑΒ=ΑΓ$:

Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες: $\widehat{Β}=\widehat{Γ}$.
Η διάμεσος, η διχοτόμος, το ύψος και η μεσοκάθετος από την κορυφή $Α$ ταυτίζονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα.
Το τμήμα αυτό είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

Το ύψος $ΑΜ$ είναι ταυτόχρονα διάμεσος και διχοτόμος.

Λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων $ΑΒ$ και $ΓΔ$ (με την ίδια μονάδα μέτρησης) ονομάζεται το πηλίκο των μηκών τους:

$\lambda = \dfrac{ΑΒ}{ΓΔ}$

Ο λόγος είναι καθαρός αριθμός, χωρίς μονάδες (αρκεί να μετρηθούν τα δύο τμήματα με την ίδια μονάδα).

Δύο ζεύγη τμημάτων $ΑΒ, ΓΔ$ και $ΕΖ, ΗΘ$ λέγονται ανάλογα αν $\dfrac{ΑΒ}{ΓΔ}=\dfrac{ΕΖ}{ΗΘ}$.

Θ. Θαλή: Αν τρεις (ή περισσότερες) παράλληλες ευθείες τέμνονται από δύο τέμνουσες, τα τμήματα που ορίζονται στις τέμνουσες είναι ανάλογα.

Σε τρίγωνο: Κάθε ευθεία παράλληλη προς πλευρά τριγώνου, που τέμνει τις άλλες δύο πλευρές, τις χωρίζει σε ανάλογα τμήματα.

Αν $ΔΕ\parallel ΒΓ$ στο $\triangle ΑΒΓ$, τότε:
$\dfrac{ΑΔ}{ΔΒ}=\dfrac{ΑΕ}{ΕΓ}$ και $\dfrac{ΑΔ}{ΑΒ}=\dfrac{ΑΕ}{ΑΓ}=\dfrac{ΔΕ}{ΒΓ}$

Ομοιοθεσία με κέντρο $Ο$ και λόγο $\lambda\neq 0$ είναι ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο $Α$ ένα σημείο $Α'$ ώστε:

$\overrightarrow{ΟΑ'} = \lambda\cdot\overrightarrow{ΟΑ}$

Το $Α'$ βρίσκεται στην ημιευθεία $ΟΑ$ (αν $\lambda>0$) ή στην αντίθετη (αν $\lambda<0$), με $ΟΑ'=|\lambda|\cdot ΟΑ$.

Ιδιότητες: διατηρεί τις γωνίες, μεταφέρει ευθεία σε παράλληλη ευθεία, μεγεθύνει/σμικρύνει τα μήκη κατά $|\lambda|$ και τα εμβαδά κατά $\lambda^2$.

Δύο τρίγωνα ονομάζονται όμοια όταν έχουν:

τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, και
τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

$\triangle ΑΒΓ \sim \triangle Α'Β'Γ'$: $\widehat{Α}=\widehat{Α'},\widehat{Β}=\widehat{Β'},\widehat{Γ}=\widehat{Γ'}$
$\dfrac{ΑΒ}{Α'Β'}=\dfrac{ΒΓ}{Β'Γ'}=\dfrac{ΓΑ}{Γ'Α'}=\lambda$ (λόγος ομοιότητας)

Κριτήρια:

Γ·Γ: δύο γωνίες ίσες ⇒ όμοια.
Π·Γ·Π: δύο πλευρές ανάλογες και η περιεχόμενη γωνία ίση ⇒ όμοια.
Π·Π·Π: και οι τρεις πλευρές ανάλογες ⇒ όμοια.

Δύο όμοια τρίγωνα — ίδια "σχήμα", διαφορετικά μεγέθη.

Αν δύο σχήματα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda$, τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι:

$\dfrac{E_1}{E_2} = \lambda^2$

Δηλαδή ο λόγος των εμβαδών είναι το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

Αντίστοιχα, ο λόγος των όγκων όμοιων στερεών είναι $\lambda^3$.

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

$\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$ (όπου $\gamma$ η υποτείνουσα)

Αντίστροφο: Αν σε τρίγωνο ισχύει $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$, τότε είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία απέναντι από τη μεγάλη πλευρά $\gamma$.

$α^2 + β^2 = γ^2$

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία $\omega$, ονομάζονται:

$\eta\mu\omega = \dfrac{\text{απέναντι κάθετος}}{\text{υποτείνουσα}}$
$\sigma\upsilon\nu\omega = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετος}}{\text{υποτείνουσα}}$
$\varepsilon\varphi\omega = \dfrac{\text{απέναντι}}{\text{προσκείμενη}} = \dfrac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$
$\sigma\varphi\omega = \dfrac{\text{προσκείμενη}}{\text{απέναντι}} = \dfrac{1}{\varepsilon\varphi\omega}$

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του τριγώνου — μόνο από τη γωνία.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \omega & 30° & 45° & 60° \\ \hline \eta\mu\omega & \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline \sigma\upsilon\nu\omega & \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \hline \varepsilon\varphi\omega & \tfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\ \hline \end{array}$

Επίσης: $\eta\mu 0°=0$, $\sigma\upsilon\nu 0°=1$, $\eta\mu 90°=1$, $\sigma\upsilon\nu 90°=0$, $\varepsilon\varphi 0°=0$ (η $\varepsilon\varphi 90°$ δεν ορίζεται).

Σχεδιάζουμε γωνία $\omega$ με κορυφή την αρχή των αξόνων $Ο$ και πρώτη πλευρά τον θετικό ημιάξονα $Οx$. Παίρνουμε σημείο $Α(x,y)$ στη δεύτερη πλευρά με απόσταση $r=ΟΑ>0$.

$\eta\mu\omega = \dfrac{y}{r}$ $\sigma\upsilon\nu\omega = \dfrac{x}{r}$ $\varepsilon\varphi\omega = \dfrac{y}{x}$ ($x\neq 0$)

Πρόσημα στο διάστημα $[0°,180°]$:

$\eta\mu\omega \geq 0$ πάντα (αφού $y\geq 0$ στο πάνω ημιεπίπεδο).
$\sigma\upsilon\nu\omega > 0$ για $0°<\omega<90°$, $\sigma\upsilon\nu 90°=0$, $\sigma\upsilon\nu\omega < 0$ για $90°<\omega\leq 180°$.
$\varepsilon\varphi\omega > 0$ για $0°<\omega<90°$, $\varepsilon\varphi\omega < 0$ για $90°<\omega<180°$ (δεν ορίζεται στις 90°).

Για γωνία $\omega$ και την παραπληρωματική της $180°-\omega$ ισχύουν:

$\eta\mu(180°-\omega) = \eta\mu\omega$
$\sigma\upsilon\nu(180°-\omega) = -\sigma\upsilon\nu\omega$
$\varepsilon\varphi(180°-\omega) = -\varepsilon\varphi\omega$

Παράδειγμα: $\sigma\upsilon\nu 120° = -\sigma\upsilon\nu 60° = -\tfrac{1}{2}$, $\eta\mu 150° = \eta\mu 30° = \tfrac{1}{2}$.

$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ (Πυθαγόρεια)
$\varepsilon\varphi\omega = \dfrac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ ($\sigma\upsilon\nu\omega\neq 0$)
$\sigma\varphi\omega = \dfrac{\sigma\upsilon\nu\omega}{\eta\mu\omega} = \dfrac{1}{\varepsilon\varphi\omega}$ ($\eta\mu\omega\neq 0$)

Από την Πυθαγόρεια ταυτότητα: $\eta\mu^2\omega = 1-\sigma\upsilon\nu^2\omega$ και αντίστροφα.

Για συμπληρωματικές γωνίες ($\omega+\varphi=90°$): $\eta\mu\omega=\sigma\upsilon\nu\varphi$, $\sigma\upsilon\nu\omega=\eta\mu\varphi$.

Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ με πλευρές $α=ΒΓ$, $β=ΑΓ$, $γ=ΑΒ$ και γωνίες $\widehat{Α}, \widehat{Β}, \widehat{Γ}$ ισχύει:

$\dfrac{\alpha}{\eta\mu\widehat{Α}} = \dfrac{\beta}{\eta\mu\widehat{Β}} = \dfrac{\gamma}{\eta\mu\widehat{Γ}} = 2R$

(όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.)

Χρήσιμος όταν γνωρίζουμε: (α) δύο γωνίες και μία πλευρά, ή (β) δύο πλευρές και την απέναντι γωνία μιας από αυτές.

Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$:

$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta\gamma\cdot\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}$
$\beta^2 = \gamma^2 + \alpha^2 - 2\gamma\alpha\cdot\sigma\upsilon\nu\widehat{Β}$
$\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta\cdot\sigma\upsilon\nu\widehat{Γ}$

Χρήσιμος όταν γνωρίζουμε: (α) δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία, ή (β) και τις τρεις πλευρές.

Παρατήρηση: όταν $\widehat{Α}=90°$, $\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}=0$ και προκύπτει το Πυθαγόρειο: $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$.

Με δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία:

$E = \dfrac{1}{2}\cdot \beta\cdot\gamma\cdot\eta\mu\widehat{Α}$

Δηλαδή το εμβαδόν ισούται με μισό γινόμενο δύο πλευρών επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας τους. Εφαρμόζεται με όποιες πλευρές γνωρίζουμε εφόσον γνωρίζουμε και τη γωνία ανάμεσά τους.

Επανάληψη · Ασκήσεις

Λυμένες Ασκήσεις με βήμα-βήμα ανάλυση

Πατήστε «Εμφάνιση λύσης» για αναλυτική μεθοδολογία.

Άσκηση 1

Να γίνουν οι πράξεις: $A=(2x-3)^2-(x+1)(x-1)+3(x-2)^2$.

Λύση — ανάπτυξη ταυτοτήτων

$(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$3(x-2)^2 = 3(x^2-4x+4) = 3x^2-12x+12$

Συνδυάζοντας:

$A = 4x^2-12x+9 - (x^2-1) + 3x^2-12x+12$
$= 4x^2-12x+9 - x^2+1 + 3x^2-12x+12$

$A = 6x^2 - 24x + 22$

Άσκηση 2

Αν $\alpha+\beta=5$ και $\alpha\beta=4$, να υπολογιστεί το $\alpha^2+\beta^2$.

Από την ταυτότητα $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$:

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2\cdot 4 = 25 - 8$

$\alpha^2+\beta^2 = 17$

Άσκηση 3

Να παραγοντοποιηθούν: α) $6x^3-9x^2$, β) $x^2-16$, γ) $4x^2-20x+25$, δ) $x^2-7x+12$, ε) $x^3-x$.

α) Κοινός παράγοντας

ΜΚΔ συντελεστών: 3 · μικρότερη δύναμη του $x$: $x^2$.

$6x^3-9x^2 = 3x^2(2x-3)$

β) Διαφορά τετραγώνων

$x^2-16 = x^2-4^2 = (x-4)(x+4)$

γ) Πλήρες τετράγωνο

$4x^2=(2x)^2$, $25=5^2$, $2\cdot 2x\cdot 5=20x$:

$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2$

δ) Τριώνυμο

Δύο αριθμοί με άθροισμα $-7$ και γινόμενο $12$: $-3,-4$.

$x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)$

ε) Συνδυασμός (κοινός παράγοντας + διαφορά τετραγώνων)

$x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)$

Άσκηση 4

Να απλοποιηθεί η ρητή παράσταση $K=\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}$ αφού οριστεί το πεδίο ορισμού.

Πεδίο ορισμού

$x^2-6x+9 \neq 0 \Leftrightarrow (x-3)^2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 3$.

Παραγοντοποίηση

Αριθμητής: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$

Παρονομαστής: $(x-3)^2$

$K = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} = \dfrac{x+3}{x-3}$, $x\neq 3$

$K=\dfrac{x+3}{x-3}$, $x\neq 3$

Άσκηση 5

Να γίνει η πράξη: $\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$.

Πεδίο ορισμού: $x\neq 1$ και $x\neq -1$.

ΕΚΠ παρονομαστών: $(x-1)(x+1)=x^2-1$.

$\dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1\cdot(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x+2-(x-1)}{x^2-1}$

$= \dfrac{x+3}{x^2-1}$

Άσκηση 6

Να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή: α) $103^2$, β) $99^2$, γ) $103\cdot 97$, δ) $\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt{8}$.

α) $103^2=(100+3)^2=100^2+2\cdot 100\cdot 3+9 = 10000+600+9 = 10609$.

β) $99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$.

γ) $103\cdot 97=(100+3)(100-3)=100^2-9=9991$.

δ) $\sqrt{50}=5\sqrt{2},\ \sqrt{18}=3\sqrt{2},\ 2\sqrt{8}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

$5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Άσκηση 1

Να λυθεί η εξίσωση: $\dfrac{x-2}{3} - \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{1}{6}$.

ΕΚΠ παρονομαστών: 6. Πολλαπλασιάζουμε με 6:

$2(x-2) - 3(x+1) = 1$

$2x-4-3x-3 = 1 \Rightarrow -x-7 = 1$

$-x = 8 \Rightarrow x = -8$

$x = -8$

Άσκηση 2

Να λυθούν με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων: α) $x^2-5x=0$, β) $x^2-9=0$, γ) $x^2-5x+6=0$.

α) $x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ ή $x=5$.

β) $(x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3$ ή $x=-3$.

γ) $(x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2$ ή $x=3$.

Άσκηση 3

Να λυθεί η εξίσωση: $2x^2-3x-2=0$.

$\alpha=2,\ \beta=-3,\ \gamma=-2$.

$\Delta = \beta^2-4\alpha\gamma = 9-4\cdot 2\cdot(-2) = 9+16 = 25 > 0$

$\sqrt\Delta = 5$, $x_{1,2}=\dfrac{3\pm 5}{4}$

$x_1 = 2,\ \ x_2 = -\tfrac{1}{2}$

Άσκηση 4

Η εξίσωση $x^2+(k-1)x+4=0$ έχει διπλή ρίζα. Να βρεθούν οι τιμές του $k$.

Διπλή ρίζα $\Leftrightarrow \Delta=0$:

$\Delta = (k-1)^2 - 16 = 0$

$(k-1)^2 = 16 \Rightarrow k-1=\pm 4$

$k=5$ ή $k=-3$

Άσκηση 5

Να λυθεί η κλασματική εξίσωση: $\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{8}{x^2-4}$.

Παραγοντοποιούμε: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Περιορισμοί: $x\neq 2$ και $x\neq -2$.

Πολλαπλασιάζουμε όλα με $(x-2)(x+2)$:

$x(x+2)+2(x-2)=8$

$x^2+2x+2x-4=8 \Rightarrow x^2+4x-12=0$

$\Delta=16+48=64,\ \sqrt\Delta=8$

$x = \dfrac{-4\pm 8}{2} \Rightarrow x=2$ ή $x=-6$

Έλεγχος: το $x=2$ απορρίπτεται (παραβιάζει τον περιορισμό).

Μοναδική δεκτή λύση: $x=-6$

Άσκηση 6

Να λυθεί η ανίσωση: $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x+2}{2} > 1$.

Πολλαπλασιάζουμε με 6 (θετικός — η ανίσωση διατηρείται):

$2(2x-1) - 3(x+2) > 6$

$4x-2-3x-6 > 6 \Rightarrow x-8 > 6$

$x > 14$, ή $x\in (14,+\infty)$

Άσκηση 1

Να λυθεί με τη μέθοδο της αντικατάστασης: $\begin{cases}2x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$.

Από τη 2η: $x = y+1$. Αντικαθιστούμε στην 1η:

$2(y+1)+y = 5 \Rightarrow 2y+2+y = 5 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y=1$

$x = 1+1 = 2$

$(x,y)=(2,1)$

Άσκηση 2

Να λυθεί με τη μέθοδο αντίθετων συντελεστών: $\begin{cases}3x+2y=11\\ 5x-2y=13\end{cases}$.

Οι συντελεστές του $y$ είναι ήδη αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη:

$8x = 24 \Rightarrow x = 3$

Από την 1η: $3\cdot 3 + 2y = 11 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.

$(x,y)=(3,1)$

Άσκηση 3

Να εξεταστεί ως προς το πλήθος των λύσεων: $\begin{cases}2x-y=3\\ 4x-2y=7\end{cases}$.

Έλεγχος αναλογίας συντελεστών:

$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{7}\neq\dfrac{1}{2}$

Δηλαδή $\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}=\dfrac{\beta_1}{\beta_2}\neq\dfrac{\gamma_1}{\gamma_2}$ — οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Το σύστημα είναι αδύνατο (καμία λύση).

Άσκηση 4 — Πρόβλημα

Σε αυλή υπάρχουν κότες και κουνέλια — συνολικά 18 κεφάλια και 50 πόδια. Πόσες κότες και πόσα κουνέλια υπάρχουν;

Έστω $x$ κότες (2 πόδια καθεμιά) και $y$ κουνέλια (4 πόδια καθένα).

$\begin{cases}x+y=18\\ 2x+4y=50\end{cases}$

Από 1η: $x=18-y$. Στη 2η: $2(18-y)+4y=50 \Rightarrow 36-2y+4y=50 \Rightarrow 2y=14 \Rightarrow y=7$.

$x=18-7=11$.

11 κότες και 7 κουνέλια.

Άσκηση 5

Δίνεται η γραμμική εξίσωση $2x+3y=12$. α) Να βρεθούν δύο σημεία της ευθείας. β) Να σχεδιαστεί.

α) Παίρνουμε τις τομές με τους άξονες:

$x=0 \Rightarrow 3y=12 \Rightarrow y=4 \Rightarrow A(0,4)$
$y=0 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=6 \Rightarrow B(6,0)$

β) Γραφική παράσταση:

Άσκηση 1

Στο ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ=ΑΓ$, η διχοτόμος της $\widehat{Α}$ τέμνει τη $ΒΓ$ στο $Δ$. Να αποδειχθεί ότι $ΒΔ=ΔΓ$ και $ΑΔ\perp ΒΓ$.

Σύγκριση τριγώνων $ΑΒΔ$ και $ΑΓΔ$

$ΑΒ = ΑΓ$ (υπόθεση — ισοσκελές)
$\widehat{ΒΑΔ} = \widehat{ΓΑΔ}$ (η $ΑΔ$ διχοτόμος)
$ΑΔ = ΑΔ$ (κοινή πλευρά)

Άρα $\triangle ΑΒΔ = \triangle ΑΓΔ$ από 1ο κριτήριο (Π-Γ-Π).

Συνεπώς $ΒΔ = ΔΓ$ (αντίστοιχες πλευρές) και $\widehat{ΑΔΒ} = \widehat{ΑΔΓ}$.

Αλλά $\widehat{ΑΔΒ}+\widehat{ΑΔΓ}=180°$ (παραπληρωματικές), άρα η κάθε μία ισούται με $90°$.

$ΒΔ=ΔΓ$ ✓ $ΑΔ\perp ΒΓ$ ✓

Άσκηση 2

Στο $\triangle ΑΒΓ$ φέρνουμε $ΔΕ\parallel ΒΓ$ που τέμνει τις $ΑΒ$, $ΑΓ$ στα $Δ$, $Ε$. Αν $ΑΔ=4$, $ΔΒ=6$, $ΑΕ=5$, να βρεθεί το $ΕΓ$.

Εφαρμογή Θ. Θαλή στο τρίγωνο (αφού $ΔΕ\parallel ΒΓ$):

$\dfrac{ΑΔ}{ΔΒ} = \dfrac{ΑΕ}{ΕΓ} \Rightarrow \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{x}$

$4x = 30 \Rightarrow x = 7{,}5$

$ΕΓ = 7{,}5$

Άσκηση 3

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ ($\widehat{Α}=90°$) δίνεται $ΑΒ=6,\ ΑΓ=8$. Να υπολογιστούν: α) η υποτείνουσα $ΒΓ$, β) το ύψος $ΑΗ$ προς την υποτείνουσα.

α) Πυθαγόρειο

$ΒΓ^2 = ΑΒ^2 + ΑΓ^2 = 36+64 = 100 \Rightarrow ΒΓ=10$

β) Ύψος προς την υποτείνουσα

Από εμβαδόν: $E=\dfrac{1}{2}ΑΒ\cdot ΑΓ=\dfrac{1}{2}ΒΓ\cdot ΑΗ$.

$\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8 = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot ΑΗ \Rightarrow 24 = 5\cdot ΑΗ$

$ΑΗ = 4{,}8$

Άσκηση 4

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\lambda=\tfrac{2}{3}$. Αν το πρώτο έχει εμβαδόν $E_1=8\,\text{cm}^2$, ποιο το εμβαδόν $E_2$ του δευτέρου;

Ο λόγος εμβαδών $=\lambda^2=\left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}$.

$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{4}{9} \Rightarrow E_2 = \dfrac{9}{4}\cdot E_1 = \dfrac{9}{4}\cdot 8$

$E_2 = 18\,\text{cm}^2$

Άσκηση 5 — Εφαρμογή

Ένας στύλος ύψους $4\,\text{m}$ ρίχνει σκιά μήκους $3\,\text{m}$. Ταυτόχρονα ένα δέντρο ρίχνει σκιά $9\,\text{m}$. Πόσο ψηλό είναι το δέντρο;

Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια (έχουν την ίδια γωνία των ηλιακών ακτίνων):

$\dfrac{\text{ύψος δέντρου}}{\text{σκιά δέντρου}} = \dfrac{\text{ύψος στύλου}}{\text{σκιά στύλου}}$

$\dfrac{h}{9} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow 3h = 36$

Το δέντρο είναι $h = 12\,\text{m}$.

Άσκηση 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ ($\widehat{Α}=90°$) είναι $ΑΒ=6,\ ΑΓ=8$. Να βρεθούν τα $\eta\mu\widehat{Β}, \sigma\upsilon\nu\widehat{Β}, \varepsilon\varphi\widehat{Β}$.

Πυθαγόρειο: $ΒΓ=\sqrt{36+64}=10$.

Για τη γωνία $\widehat{Β}$: απέναντι κάθετος $=ΑΓ=8$, προσκείμενη $=ΑΒ=6$, υποτείνουσα $=ΒΓ=10$.

$\eta\mu\widehat{Β} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$

$\sigma\upsilon\nu\widehat{Β} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$

$\varepsilon\varphi\widehat{Β} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

Άσκηση 2

Δίνεται $\eta\mu\omega = \dfrac{3}{5}$ με $0°<\omega<90°$. Να υπολογιστούν τα $\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\varepsilon\varphi\omega$.

Από Πυθαγόρεια ταυτότητα:

$\eta\mu^2\omega+\sigma\upsilon\nu^2\omega=1 \Rightarrow \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$

$\sigma\upsilon\nu\omega = \dfrac{4}{5}$ (θετικό αφού οξεία)

$\varepsilon\varphi\omega = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$

Άσκηση 3

Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ δίνονται $\alpha=ΒΓ=7$, $\beta=ΑΓ=5$, $\widehat{Γ}=60°$. Να υπολογιστεί η πλευρά $\gamma=ΑΒ$.

Εφαρμόζουμε Νόμο Συνημιτόνων για τη γωνία $\widehat{Γ}$:

$\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta\cdot\sigma\upsilon\nu\widehat{Γ}$

$\gamma^2 = 49 + 25 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$

$\gamma = \sqrt{39} \approx 6{,}24$

Άσκηση 4

Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ δίνεται $\widehat{Α}=45°,\ \widehat{Β}=60°,\ \alpha=ΒΓ=8$. Να βρεθεί η πλευρά $\beta=ΑΓ$.

Εφαρμόζουμε Νόμο Ημιτόνων:

$\dfrac{\alpha}{\eta\mu\widehat{Α}} = \dfrac{\beta}{\eta\mu\widehat{Β}}$

$\dfrac{8}{\eta\mu 45°} = \dfrac{\beta}{\eta\mu 60°} \Rightarrow \dfrac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{\beta}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\beta = \dfrac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$

$\beta = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$

Άσκηση 5

Να υπολογιστούν χωρίς αριθμομηχανή: α) $\eta\mu 120°$, β) $\sigma\upsilon\nu 135°$, γ) $\eta\mu^2 30° + \sigma\upsilon\nu^2 60°$.

α) $\eta\mu 120° = \eta\mu(180°-60°) = \eta\mu 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

β) $\sigma\upsilon\nu 135° = -\sigma\upsilon\nu(180°-135°) = -\sigma\upsilon\nu 45° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

γ) $\eta\mu 30° = \tfrac{1}{2}$, $\sigma\upsilon\nu 60° = \tfrac{1}{2}$:

$\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}$

Άσκηση 6 — Εμβαδόν

Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ δίνονται $β=10,\ γ=14$ και $\widehat{Α}=30°$. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του.

Εφαρμόζουμε τον τύπο εμβαδού με δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία:

$E = \tfrac{1}{2}\cdot β\cdot γ\cdot \eta\mu\widehat{Α} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 14\cdot \eta\mu 30°$

$= \tfrac{1}{2}\cdot 140\cdot \tfrac{1}{2} = 35$

$E = 35$ τετραγωνικές μονάδες

Επανάληψη · Κουίζ

Σωστό ή Λάθος;

Διάβασε την πρόταση, διάλεξε Σ ή Λ και δες αμέσως το αποτέλεσμα με επεξήγηση.

Ισχύει $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2$ για όλους τους πραγματικούς $\alpha,\beta$.

Λάθος

Η σωστή ταυτότητα είναι $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$. Λείπει ο όρος $2\alpha\beta$.

Ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.

Σωστό

Δεν υπάρχει κλάσμα ακεραίων με τετράγωνο 2 (αποδεικνύεται με εις άτοπον απαγωγή).

Ο βαθμός του $P(x)=3x^4-5x^2+x-7$ είναι 7.

Λάθος

Ο βαθμός είναι ο μέγιστος εκθέτης της μεταβλητής, δηλαδή 4.

Ισχύει $\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$ για κάθε πραγματικό $\alpha$.

Σωστό

Π.χ. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$. Η ρίζα είναι πάντα μη αρνητική.

Ισχύει $\sqrt{\alpha+\beta}=\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}$ για $\alpha,\beta\geq 0$.

Λάθος

$\sqrt{9+16}=5\neq 3+4=7$. Η ρίζα δεν κατανέμεται στην πρόσθεση.

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

Σωστό

Διαφορά τετραγώνων με $\alpha=x,\beta=5$.

Το πολυώνυμο $x^2+9$ παραγοντοποιείται στους πραγματικούς.

Λάθος

Το άθροισμα τετραγώνων $x^2+9$ δεν παραγοντοποιείται στους πραγματικούς. Παραγοντοποιείται μόνο η διαφορά τετραγώνων.

Η παράσταση $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ ταυτίζεται με $x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Λάθος

Ταυτίζεται μόνο για $x\neq 1$ — γιατί η αρχική παράσταση δεν ορίζεται όταν $x=1$.

Όταν διαιρούμε μια ανίσωση με αρνητικό αριθμό, αλλάζει η φορά της.

Σωστό

Π.χ. από $-2x>4$ παίρνουμε $x<-2$.

Η εξίσωση 2ου βαθμού $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ έχει πραγματικές λύσεις όταν $\Delta\geq 0$.

Σωστό

$\Delta>0$: δύο άνισες, $\Delta=0$: μία διπλή, $\Delta<0$: καμία πραγματική.

Η εξίσωση $x^2+1=0$ έχει δύο πραγματικές λύσεις.

Λάθος

$\Delta = 0-4=-4<0$, άρα είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

Αν $x_1, x_2$ ρίζες της $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$, τότε $x_1+x_2 = \dfrac{\beta}{\alpha}$.

Λάθος

Το άθροισμα ριζών είναι $S = -\dfrac{\beta}{\alpha}$ (με αρνητικό πρόσημο).

Σε κλασματική εξίσωση πρέπει πάντα να ορίζουμε τους περιορισμούς για τους παρονομαστές.

Σωστό

Διαφορετικά μπορεί να βρεθούν "λύσεις" που δεν ικανοποιούν τους παρονομαστές.

Η εξίσωση $0x = 0$ έχει άπειρες λύσεις (ταυτότητα).

Σωστό

Κάθε πραγματικός $x$ την επαληθεύει.

Η εξίσωση $0x = 5$ έχει λύση το $x=0$.

Λάθος

Η εξίσωση είναι αδύνατη — δεν υπάρχει $x$ ώστε $0\cdot x = 5$.

Αν $\alpha<\beta$ και $\gamma<\delta$, τότε $\alpha+\gamma<\beta+\delta$.

Σωστό

Πρόσθεση κατά μέλη ανισοτήτων ίδιας φοράς.

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης $\alpha x + \beta y = \gamma$ (με $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$) είναι ευθεία γραμμή.

Σωστό

Είναι γραμμική εξίσωση 2 αγνώστων — άπειρες λύσεις που σχηματίζουν ευθεία.

Ένα γραμμικό σύστημα 2×2 έχει πάντα μοναδική λύση.

Λάθος

Μπορεί να είναι αδύνατο (παράλληλες) ή αόριστο (συμπίπτουν).

Όταν δύο ευθείες συμπίπτουν, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Σωστό

Είναι η ίδια ευθεία — κάθε σημείο της είναι λύση. Σύστημα αόριστο.

Το ζεύγος $(1, 2)$ είναι λύση του συστήματος $\begin{cases}x+y=3\\ 2x-y=1\end{cases}$.

Λάθος

Πρώτη: $1+2=3$ ✓. Δεύτερη: $2\cdot 1-2=0\neq 1$ ✗. Άρα όχι.

Στο σύστημα $\begin{cases}2x-y=3\\ 4x-2y=6\end{cases}$ υπάρχουν άπειρες λύσεις.

Σωστό

Η 2η είναι η 1η × 2. Είναι η ίδια ευθεία — αόριστο σύστημα.

Στο σύστημα $\begin{cases}x+y=4\\ x+y=7\end{cases}$ η λύση είναι $(2,5)$.

Λάθος

Δεν υπάρχει $(x,y)$ ώστε $x+y$ να είναι ταυτόχρονα 4 και 7. Αδύνατο.

Δύο ευθείες με ίδια κλίση και διαφορετική τεταγμένη είναι παράλληλες.

Σωστό

Ίδια κλίση = ίδια διεύθυνση. Διαφορετική τεταγμένη = δεν συμπίπτουν.

Η εξίσωση $y=3$ παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $x$.

Σωστό

Είναι η οριζόντια ευθεία σε ύψος 3. Κάθε $x$ δίνει $y=3$.

Δύο τρίγωνα που έχουν τις τρεις γωνίες ίσες είναι αναγκαστικά ίσα.

Λάθος

Είναι όμοια, όχι αναγκαστικά ίσα. Π.χ. δύο ισόπλευρα διαφορετικού μεγέθους.

Σε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος από την κορυφή είναι και διάμεσος προς τη βάση.

Σωστό

Επιπλέον είναι και ύψος, και μεσοκάθετος της βάσης (όλες ταυτίζονται).

Στο Θεώρημα Θαλή, αν $ΔΕ\parallel ΒΓ$ στο $\triangle ΑΒΓ$, τότε $\dfrac{ΑΔ}{ΔΒ}=\dfrac{ΑΕ}{ΕΓ}$.

Σωστό

Είναι η βασική σχέση των αναλόγων τμημάτων του Θαλή.

Αν δύο τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας 3, τότε τα εμβαδά τους έχουν λόγο 3.

Λάθος

Ο λόγος εμβαδών είναι το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας: $\lambda^2=9$.

Δύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο γωνίες ίσες.

Σωστό

Κριτήριο ομοιότητας Γ-Γ (αυτόματα και η 3η ίση, αφού άθροισμα γωνιών 180°).

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες 6 και 8, η υποτείνουσα είναι 10.

Σωστό

Πυθαγόρειο: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. Είναι η Πυθαγόρεια τριάδα $(6,8,10)$.

Στην ομοιοθεσία με λόγο $\lambda=2$, οι αποστάσεις διπλασιάζονται και τα εμβαδά διπλασιάζονται.

Λάθος

Οι αποστάσεις διπλασιάζονται ($\lambda=2$), αλλά τα εμβαδά γίνονται 4-πλάσια ($\lambda^2=4$).

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι $180°$.

Σωστό

Βασικό θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Ισχύει $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ για κάθε γωνία $\omega$.

Σωστό

Είναι η Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα.

$\eta\mu 30° = \tfrac{1}{2}$.

Σωστό

Από τον πίνακα ειδικών γωνιών.

$\sigma\upsilon\nu 120° = \tfrac{1}{2}$.

Λάθος

$\sigma\upsilon\nu 120° = -\sigma\upsilon\nu 60° = -\tfrac{1}{2}$ (η γωνία είναι αμβλεία, το συνημίτονο αρνητικό).

$\eta\mu(180°-\omega) = \eta\mu\omega$.

Σωστό

Τα ημίτονα παραπληρωματικών γωνιών είναι ίσα.

Σε κάθε τρίγωνο μπορεί να ισχύει $\eta\mu\omega > 1$.

Λάθος

Πάντα $0\leq\eta\mu\omega\leq 1$.

Ο νόμος συνημιτόνων δίνει $\alpha^2 = \beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}$.

Σωστό

Όταν $\widehat{Α}=90°$, $\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}=0$ και ανάγεται στο Πυθαγόρειο.

Ο νόμος ημιτόνων δίνει $\dfrac{\alpha}{\eta\mu\widehat{Α}}=\dfrac{\beta}{\eta\mu\widehat{Β}}=\dfrac{\gamma}{\eta\mu\widehat{Γ}}$.

Σωστό

Ο κοινός λόγος ισούται με $2R$ (διπλάσιο της ακτίνας περιγεγραμμένου).

Η $\varepsilon\varphi\omega$ ορίζεται για $\omega=90°$.

Λάθος

$\sigma\upsilon\nu 90° = 0$, άρα $\varepsilon\varphi 90° = \eta\mu/\sigma\upsilon\nu$ δεν ορίζεται.

Προσομοίωση Εξετάσεων

5 Πλήρη Διαγωνίσματα

Κάθε διαγώνισμα: 2 θέματα Θεωρίας (επιλέγεις 1) και 3 Ασκήσεις (επιλέγεις 2). Διάρκεια 2 ώρες — 100 μονάδες.

Διαγώνισμα 1ο — Άλγεβρα Κεφ. 1 & Γεωμετρία Κεφ. 1

⏱ 120 λεπτά📊 100 μονάδες📚 Αλγ. Παραστάσεις · Ισότητα/Θαλής/Ομοιότητα

ΘΕΩΡΙΑ — Να επιλέξετε ΕΝΑ από τα δύο θέματα

Θέμα 120 μον.

α) Να γράψετε τις τρεις αξιοσημείωτες ταυτότητες. (10 μον.)

β) Πότε δύο μονώνυμα ονομάζονται ομοειδή; Δώστε ένα παράδειγμα. (5 μον.)

γ) Να γίνει η πράξη: $(2x-3)^2$. (5 μον.)

Θέμα 220 μον.

α) Διατυπώστε το 1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (Π-Γ-Π) και κάντε σχήμα. (12 μον.)

β) Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): (8 μον.)

Σε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος της κορυφής είναι και ύψος.
Δύο τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι ίσα.
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Στη διαφορά τετραγώνων έχουμε $\alpha^2-\beta^2=(\alpha+\beta)^2$.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ — Να επιλέξετε ΔΥΟ από τις τρεις

Άσκηση 140 μον.

Δίνεται η παράσταση: $A = (x-3)^2 + (x+3)(x-3) - 2x(x-3)$.

Να αναπτυχθούν οι πράξεις και να απλοποιηθεί η $A$. (20 μον.)
Να βρεθεί η τιμή της $A$ για $x=5$. (10 μον.)
Για ποια τιμή του $x$ είναι $A=0$; (10 μον.)

Άσκηση 240 μον.

α) Να παραγοντοποιήσετε: (i) $2x^3-8x$, (ii) $x^2-10x+25$, (iii) $x^2+x-12$. (24 μον.)

β) Να απλοποιήσετε τη ρητή παράσταση $K=\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ αφού πρώτα ορίσετε το πεδίο ορισμού. (16 μον.)

Άσκηση 3 (Γεωμετρία)40 μον.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $\widehat{Α}=90°$ δίνεται $ΑΒ=6\,\text{cm}$ και $\widehat{Β}=60°$.

Να βρείτε την $ΑΓ$ και την υποτείνουσα $ΒΓ$. (16 μον.)
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. (12 μον.)
Φέρνουμε το ύψος $ΑΗ$ προς την υποτείνουσα. Να βρείτε το $ΑΗ$. (12 μον.)

Διαγώνισμα 2ο — Άλγεβρα Κεφ. 2 & Γεωμετρία Κεφ. 2

⏱ 120 λεπτά📊 100 μονάδες📚 Εξισώσεις/Ανισώσεις · Τριγωνομετρία

ΘΕΩΡΙΑ — Επιλέξτε ΕΝΑ

Θέμα 120 μον.

α) Γράψτε τον τύπο της διακρίνουσας και των ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού. Πώς συνδέεται η $\Delta$ με το πλήθος των λύσεων; (15 μον.)

β) Λύστε χωρίς διακρίνουσα: $x^2-49 = 0$. (5 μον.)

Θέμα 220 μον.

α) Γράψτε τις τριγωνομετρικές τιμές για τις γωνίες $30°, 45°, 60°$. (12 μον.)

β) Διατυπώστε την Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα. (4 μον.)

γ) Υπολογίστε: $\eta\mu 150°$. (4 μον.)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ — Επιλέξτε ΔΥΟ

Άσκηση 140 μον.

Να λυθεί η εξίσωση: $x^2-7x+10=0$. (15 μον.)
Να λυθεί η ανίσωση: $3(x-1)+2 \leq 5x+1$. (15 μον.)
Να βρεθεί η τιμή του $k$ ώστε η $x^2+kx+9=0$ να έχει διπλή ρίζα. (10 μον.)

Άσκηση 240 μον.

Να λυθεί η κλασματική εξίσωση:

$\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{8}{x^2-4}$

Παραγοντοποίηση παρονομαστών και ορισμός περιορισμών. (10 μον.)
Απαλοιφή κλασμάτων και επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης 2ου βαθμού. (20 μον.)
Έλεγχος αποδεκτών λύσεων με βάση τους περιορισμούς. (10 μον.)

Άσκηση 3 (Τριγωνομετρία)40 μον.

Σε τρίγωνο $ΑΒΓ$ δίνονται $\beta=ΑΓ=10$, $\gamma=ΑΒ=14$ και $\widehat{Α}=60°$.

Να υπολογίσετε την πλευρά $\alpha=ΒΓ$ με τον Νόμο Συνημιτόνων. (20 μον.)
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. (10 μον.)
Δίνεται $\eta\mu\omega=\tfrac{4}{5}$ με $\omega$ οξεία. Να υπολογιστούν $\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\varepsilon\varphi\omega$. (10 μον.)

Διαγώνισμα 3ο — Άλγεβρα Κεφ. 3 & Γεωμετρία Κεφ. 1

⏱ 120 λεπτά📊 100 μονάδες📚 Συστήματα · Θαλής/Ομοιότητα

ΘΕΩΡΙΑ — Επιλέξτε ΕΝΑ

Θέμα 120 μον.

α) Τι είναι γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και ποια η γραφική της παράσταση; (10 μον.)

β) Πότε ένα σύστημα 2×2 είναι: (i) καθορισμένο, (ii) αδύνατο, (iii) αόριστο; (10 μον.)

Θέμα 220 μον.

α) Διατυπώστε το Θεώρημα Θαλή σε τρίγωνο και κάντε σχήμα. (12 μον.)

β) Διατυπώστε τα κριτήρια ομοιότητας τριγώνων. (8 μον.)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ — Επιλέξτε ΔΥΟ

Άσκηση 140 μον.

Δίνεται το σύστημα: $\begin{cases}2x+y=7\\ x-2y=-4\end{cases}$.

Να λυθεί με τη μέθοδο της αντικατάστασης. (20 μον.)
Να επαληθευτεί η λύση και στις δύο εξισώσεις. (8 μον.)
Να εξεταστεί αν το σημείο $(2,3)$ ανήκει στις ευθείες του συστήματος. (12 μον.)

Άσκηση 2 (Πρόβλημα)40 μον.

Σε ένα πάρτι υπάρχουν 25 παιδιά. Τα αγόρια είναι κατά 5 περισσότερα από τα κορίτσια.

Να σχηματιστεί κατάλληλο σύστημα 2×2. (12 μον.)
Να βρεθεί ο αριθμός αγοριών και κοριτσιών. (16 μον.)
Αν κάθε παιδί ξοδεύει $2€$ και τα αγόρια ξοδεύουν επιπλέον $1€$ για ένα παιχνίδι, ποιο το συνολικό ποσό; (12 μον.)

Άσκηση 3 (Γεωμετρία)40 μον.

Στο $\triangle ΑΒΓ$, φέρνουμε $ΔΕ\parallel ΒΓ$ που τέμνει τις $ΑΒ$, $ΑΓ$ στα $Δ$, $Ε$. Δίνεται $ΑΔ=3,\ ΔΒ=6,\ ΔΕ=4$.

Να αποδείξετε ότι $\triangle ΑΔΕ \sim \triangle ΑΒΓ$. (15 μον.)
Να υπολογίσετε τη $ΒΓ$. (12 μον.)
Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών $\dfrac{E_{ΑΔΕ}}{E_{ΑΒΓ}}$. (13 μον.)

Διαγώνισμα 4ο — Επανάληψη όλης της ύλης

⏱ 120 λεπτά📊 100 μονάδες📚 Αλγεβρα + Γεωμετρία (όλη η ύλη)

ΘΕΩΡΙΑ — Επιλέξτε ΕΝΑ

Θέμα 120 μον.

α) Αναφέρετε τις βασικές μεθόδους παραγοντοποίησης πολυωνύμου (4 τουλάχιστον) με ένα παράδειγμα η καθεμία. (16 μον.)

β) Παραγοντοποιήστε: $x^2-4x+4$. (4 μον.)

Θέμα 220 μον.

α) Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του. (10 μον.)

β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο πώς ορίζονται $\eta\mu\omega, \sigma\upsilon\nu\omega, \varepsilon\varphi\omega$ μιας οξείας γωνίας $\omega$; (10 μον.)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ — Επιλέξτε ΔΥΟ

Άσκηση 140 μον.

Να παραγοντοποιηθούν: (i) $x^4-16$, (ii) $\alpha x+\alpha y - x - y$, (iii) $3x^2-12x+12$. (20 μον.)
Να γίνουν οι πράξεις: $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{x+3}{x^2-1}$. (20 μον.)

Άσκηση 2 (Πρόβλημα)40 μον.

Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι 14 και το γινόμενό τους 48.

Σχηματίστε εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους δύο αριθμούς. (12 μον.)
Βρείτε τους δύο αριθμούς. (16 μον.)
Λύστε επίσης με σύστημα: $\begin{cases}x+y=14\\ xy=48\end{cases}$ — δείξτε ότι καταλήγετε στο ίδιο αποτέλεσμα. (12 μον.)

Άσκηση 3 (Γεωμετρία/Τριγωνομετρία)40 μον.

Από σημείο $Α$ στο έδαφος, η γωνία ύψωσης προς την κορυφή ενός δέντρου είναι $45°$. Πλησιάζοντας κατά $10\,\text{m}$ προς τη βάση, η γωνία γίνεται $60°$.

Να σχεδιαστεί σχήμα. (5 μον.)
Να βρεθεί το ύψος του δέντρου. (25 μον.)
Να βρεθεί η αρχική απόσταση του $Α$ από τη βάση του δέντρου. (10 μον.)

Διαγώνισμα 5ο — Γενική Επανάληψη

⏱ 120 λεπτά📊 100 μονάδες📚 Όλη η ύλη Γ΄ Γυμνασίου

ΘΕΩΡΙΑ — Επιλέξτε ΕΝΑ

Θέμα 120 μον.

α) Τι είναι ρητή αλγεβρική παράσταση και πώς ορίζεται το πεδίο ορισμού της; (10 μον.)

β) Πώς γίνονται η πρόσθεση και η αφαίρεση ρητών παραστάσεων; (6 μον.)

γ) Συμπληρώστε το πεδίο ορισμού της $\dfrac{x+1}{x^2-4}$. (4 μον.)

Θέμα 220 μον.

α) Διατυπώστε τους Νόμους Ημιτόνων και Συνημιτόνων. (12 μον.)

β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο πώς ισχύει το Πυθαγόρειο και τι σχέση έχει με τον Νόμο Συνημιτόνων; (8 μον.)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ — Επιλέξτε ΔΥΟ

Άσκηση 1 (Άλγεβρα)40 μον.

Δίνεται η παράσταση: $A = \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4} \cdot \dfrac{x+2}{x-2}$.

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. (8 μον.)
Να απλοποιηθεί η $A$. (16 μον.)
Να βρεθούν οι τιμές του $x$ για τις οποίες $A=2$. Αν είναι αδύνατη, να αιτιολογηθεί. (16 μον.)

Άσκηση 2 (Σύστημα + Εξίσωση)40 μον.

Να λυθεί το σύστημα: $\begin{cases}3x+2y=11\\ 5x-2y=13\end{cases}$. (20 μον.)
Να λυθεί η εξίσωση: $x^2-6x+5=0$. (12 μον.)
Να αποδειχθεί ότι για κάθε $k\in\mathbb{R}$ η εξίσωση $x^2+(k+1)x-k=0$ έχει πραγματικές ρίζες. (8 μον.)

Άσκηση 3 (Γεωμετρία + Τριγωνομετρία)40 μον.

Σε τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ\parallel ΓΔ$, οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο $Κ$. Δίνεται $ΑΒ=4\,\text{cm}$ και $ΓΔ=6\,\text{cm}$.

Αποδείξτε ότι $\triangle ΚΑΒ \sim \triangle ΚΓΔ$. (15 μον.)
Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{ΚΑ}{ΚΓ}$. (10 μον.)
Αν $ΚΑ=6\,\text{cm}$ να βρεθεί το $ΚΓ$. (8 μον.)
Αν επιπλέον $\widehat{ΚΑΒ}=30°$, να βρεθεί η πλευρά $ΚΒ$ με τον Νόμο Ημιτόνων στο $\triangle ΚΑΒ$ όταν $\widehat{ΑΚΒ}=120°$. (7 μον.)

Λύσεις · Επεξηγήσεις

Πλήρεις Απαντήσεις Διαγωνισμάτων

Αναλυτικές λύσεις και για τα 5 θέματα κάθε διαγωνίσματος (ώστε να βρεις και τα δύο που δεν επέλεξες).

Απαντήσεις · Διαγώνισμα 1ο

Θέμα 1 — Θεωρία

α) Οι 3 ταυτότητες:

$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$
$(\alpha-\beta)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2$
$(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)=\alpha^2-\beta^2$

β) Ομοειδή = ίδιο κύριο μέρος. Π.χ. $3x^2y$ και $-5x^2y$.

γ) $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

Θέμα 2 — Θεωρία

α) 1ο Κριτήριο (Π-Γ-Π): Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους ίσες μία προς μία. (Σχήμα: δύο τρίγωνα με αντίστοιχες δύο πλευρές ίσες και την μεταξύ τους γωνία ίση.)

β) i) Σ ii) Λ (είναι όμοια, όχι ίσα) iii) Σ iv) Λ (το σωστό είναι $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)$).

Άσκηση 1

1) Αναπτύσσουμε:

$(x-3)^2 = x^2-6x+9$, $(x+3)(x-3)=x^2-9$, $2x(x-3)=2x^2-6x$

$A = (x^2-6x+9)+(x^2-9)-(2x^2-6x) = 0$

$A = 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ (ταυτότητα)

2) Για $x=5$: $A=0$.

3) Η $A=0$ ισχύει για όλα τα $x\in\mathbb{R}$.

Άσκηση 2

α)

(i) $2x^3-8x = 2x(x^2-4) = 2x(x-2)(x+2)$
(ii) $x^2-10x+25 = (x-5)^2$
(iii) Αριθμοί με γινόμενο $-12$, άθροισμα $1$: $4$ και $-3$. Άρα $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$.

β) Πεδίο: $(x+3)^2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -3$.

$K = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \dfrac{x-3}{x+3}$, $x\neq -3$

Άσκηση 3 — Γεωμετρία

Δίνεται $\widehat{Α}=90°,\ \widehat{Β}=60°$, άρα $\widehat{Γ}=30°$, $ΑΒ=6$.

1) $\varepsilon\varphi\widehat{Β}=\dfrac{ΑΓ}{ΑΒ}: \sqrt{3}=\dfrac{ΑΓ}{6} \Rightarrow ΑΓ=6\sqrt{3}$.

$\sigma\upsilon\nu\widehat{Β}=\dfrac{ΑΒ}{ΒΓ}: \tfrac{1}{2}=\dfrac{6}{ΒΓ} \Rightarrow ΒΓ=12\,\text{cm}$.

2) $E=\tfrac{1}{2}\cdot ΑΒ\cdot ΑΓ = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\,\text{cm}^2$.

3) $E = \tfrac{1}{2}\cdot ΒΓ\cdot ΑΗ: 18\sqrt{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot ΑΗ$.

$ΑΗ = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}$

Απαντήσεις · Διαγώνισμα 2ο

Θέμα 1 — Θεωρία

α) $\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$, $x_{1,2}=\dfrac{-\beta\pm\sqrt\Delta}{2\alpha}$. Πλήθος λύσεων: $\Delta>0$ → 2 άνισες, $\Delta=0$ → 1 διπλή, $\Delta<0$ → καμία πραγματική.

β) $x^2-49=0 \Rightarrow (x-7)(x+7)=0 \Rightarrow x=7$ ή $x=-7$.

Θέμα 2 — Θεωρία

α) Πίνακας: $\eta\mu 30°=\tfrac12, \eta\mu 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}, \eta\mu 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sigma\upsilon\nu$ στην ανάποδη σειρά, $\varepsilon\varphi 30°=\tfrac{\sqrt3}{3}, \varepsilon\varphi 45°=1, \varepsilon\varphi 60°=\sqrt3$.

β) $\eta\mu^2\omega+\sigma\upsilon\nu^2\omega=1$.

γ) $\eta\mu 150°=\eta\mu(180°-30°)=\eta\mu 30°=\tfrac{1}{2}$.

Άσκηση 1

1) $x^2-7x+10=0$, $\Delta=49-40=9$, $x=\dfrac{7\pm 3}{2}$, $x_1=5,\ x_2=2$.

2) $3x-3+2\leq 5x+1 \Rightarrow -2x\leq 2 \Rightarrow x\geq -1$.

3) Διπλή ρίζα $\Leftrightarrow \Delta=0$: $k^2-36=0 \Rightarrow k=\pm 6$.

Άσκηση 2

1) $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Περιορισμοί: $x\neq 2, x\neq -2$.

2) Πολλαπλασιάζουμε με $(x-2)(x+2)$:

$x(x+2)+2(x-2) = 8 \Rightarrow x^2+4x-12=0$

$\Delta=16+48=64, \sqrt\Delta=8, x=\dfrac{-4\pm 8}{2}$

$x=2$ ή $x=-6$

3) Το $x=2$ απορρίπτεται (παραβίαση περιορισμού).

Μοναδική δεκτή λύση: $x=-6$

Άσκηση 3 — Τριγωνομετρία

1) Νόμος Συνημιτόνων: $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}$.

$\alpha^2 = 100 + 196 - 2\cdot 10\cdot 14\cdot \tfrac{1}{2} = 296 - 140 = 156$

$\alpha = \sqrt{156} = 2\sqrt{39} \approx 12{,}49$

2) $E = \tfrac{1}{2}\beta\gamma\eta\mu\widehat{Α} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 14\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 35\sqrt{3}$ τ.μ.

3) $\sigma\upsilon\nu^2\omega=1-\tfrac{16}{25}=\tfrac{9}{25}$, $\sigma\upsilon\nu\omega=\tfrac{3}{5}$, $\varepsilon\varphi\omega=\tfrac{4/5}{3/5}=\tfrac{4}{3}$.

Απαντήσεις · Διαγώνισμα 3ο

Θέμα 1 — Θεωρία

α) Γραμμική εξίσωση 2 αγνώστων: $\alpha x+\beta y=\gamma$ με $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$. Γραφική παράσταση: ευθεία στο επίπεδο $Oxy$.

β) i) Καθορισμένο: τέμνονται οι ευθείες (μία λύση). ii) Αδύνατο: παράλληλες. iii) Αόριστο: συμπίπτουν.

Θέμα 2 — Θεωρία

α) Θ.Θαλή: Αν $ΔΕ\parallel ΒΓ$ στο $\triangle ΑΒΓ$ τέμνει τις άλλες δύο πλευρές, τις χωρίζει σε ανάλογα τμήματα: $\dfrac{ΑΔ}{ΔΒ}=\dfrac{ΑΕ}{ΕΓ}$.

β) Κριτήρια ομοιότητας: Γ-Γ (δύο γωνίες ίσες), Π-Π-Π (τρεις πλευρές ανάλογες), Π-Γ-Π (δύο πλευρές ανάλογες + ίση η περιεχόμενη γωνία).

Άσκηση 1

1) Από 2η: $x = 2y - 4$. Στην 1η: $2(2y-4)+y = 7 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3$, $x = 2$.

2) Έλεγχος: $2\cdot 2 + 3 = 7$ ✓ και $2 - 2\cdot 3 = -4$ ✓.

$(x,y) = (2, 3)$

3) Το $(2,3)$ ανήκει και στις δύο ευθείες (από το παραπάνω).

Άσκηση 2 — Πρόβλημα

1) Έστω $x$ αγόρια και $y$ κορίτσια: $\begin{cases}x+y=25\\ x = y+5\end{cases}$.

2) Αντικατάσταση: $(y+5)+y = 25 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10$, $x = 15$.

15 αγόρια και 10 κορίτσια.

3) Σύνολο: $25\cdot 2 + 15\cdot 1 = 50 + 15 = 65€$.

Άσκηση 3 — Γεωμετρία

1) $ΔΕ\parallel ΒΓ \Rightarrow \widehat{ΑΔΕ}=\widehat{ΑΒΓ}$ (εντός εκτός επί τα αυτά). Επίσης $\widehat{Α}$ κοινή. Άρα από Γ-Γ: $\triangle ΑΔΕ \sim \triangle ΑΒΓ$.

2) Λόγος ομοιότητας: $\lambda = \dfrac{ΑΔ}{ΑΒ} = \dfrac{3}{3+6} = \dfrac{1}{3}$.

Άρα $\dfrac{ΔΕ}{ΒΓ} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow ΒΓ = 3\cdot ΔΕ = 12$.

3) $\dfrac{E_{ΑΔΕ}}{E_{ΑΒΓ}} = \lambda^2 = \dfrac{1}{9}$.

Απαντήσεις · Διαγώνισμα 4ο

Θέμα 1 — Θεωρία

α) Μέθοδοι παραγοντοποίησης:

Κοινός παράγοντας: $\alpha x+\alpha y=\alpha(x+y)$
Ομαδοποίηση: $\alpha x+\alpha y+\beta x+\beta y=(x+y)(\alpha+\beta)$
Διαφορά τετραγώνων: $\alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)$
Πλήρες τετράγωνο: $\alpha^2\pm 2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha\pm\beta)^2$
Τριώνυμο: $x^2+(\mu+\nu)x+\mu\nu=(x+\mu)(x+\nu)$

β) $x^2-4x+4 = (x-2)^2$.

Θέμα 2 — Θεωρία

α) Πυθαγόρειο: Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$ (γ υποτείνουσα). Αντίστροφο: Αν σε τρίγωνο ισχύει $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$, τότε είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία απέναντι από την $\gamma$.

β) Για οξεία γωνία $\omega$ ορθογωνίου τριγώνου:

$\eta\mu\omega = \dfrac{\text{απέναντι κάθετος}}{\text{υποτείνουσα}}$
$\sigma\upsilon\nu\omega = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετος}}{\text{υποτείνουσα}}$
$\varepsilon\varphi\omega = \dfrac{\text{απέναντι}}{\text{προσκείμενη}}$

Άσκηση 1

1) Παραγοντοποίηση:

(i) $x^4-16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$
(ii) $\alpha x+\alpha y-x-y = \alpha(x+y)-(x+y) = (x+y)(\alpha-1)$
(iii) $3x^2-12x+12 = 3(x^2-4x+4) = 3(x-2)^2$

2) Πεδίο: $x\neq\pm 1$. $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{x+3}{(x-1)(x+1)}$

$=\dfrac{(x+1)-2(x-1)+(x+3)}{x^2-1}=\dfrac{x+1-2x+2+x+3}{x^2-1}=\dfrac{6}{x^2-1}$

Άσκηση 2 — Πρόβλημα

1) $S=14, P=48$ ⇒ $t^2-14t+48=0$.

2) $\Delta=196-192=4$, $t=\dfrac{14\pm 2}{2}$: $t=8$ ή $t=6$.

Οι αριθμοί: 6 και 8.

3) Σύστημα: $x+y=14$, $xy=48$ ⇒ $y=14-x$, $x(14-x)=48 \Rightarrow x^2-14x+48=0$ (η ίδια εξίσωση).

Άσκηση 3 — Τριγωνομετρία

Έστω $υ$ το ύψος και $x$ η νέα απόσταση από τη βάση.

Από γωνία $60°$: $\varepsilon\varphi 60°=\dfrac{υ}{x} \Rightarrow υ=x\sqrt{3}$.

Από αρχική γωνία $45°$: $\varepsilon\varphi 45°=\dfrac{υ}{x+10} \Rightarrow υ=x+10$.

Εξισώνουμε: $x\sqrt{3}=x+10 \Rightarrow x(\sqrt{3}-1)=10 \Rightarrow x=\dfrac{10}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{10(\sqrt{3}+1)}{2}=5(\sqrt{3}+1)\approx 13{,}66\,\text{m}$.

Ύψος: $υ=5(\sqrt{3}+1)\cdot\sqrt{3}=5(3+\sqrt{3})\approx 23{,}66\,\text{m}$

Αρχική απόσταση: $x+10 = 5\sqrt{3}+15\approx 23{,}66\,\text{m}$

Απαντήσεις · Διαγώνισμα 5ο

Θέμα 1 — Θεωρία

α) Ρητή αλγεβρική παράσταση = $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ με $P,Q$ πολυώνυμα, $Q(x)\not\equiv 0$. Πεδίο ορισμού: τιμές για τις οποίες $Q(x)\neq 0$.

β) Παραγοντοποίηση παρονομαστών → ΕΚΠ → κοινός παρονομαστής → προσθαφαίρεση αριθμητών → απλοποίηση.

γ) Πεδίο $\dfrac{x+1}{x^2-4}$: $x^2-4\neq 0 \Leftrightarrow x\neq\pm 2$.

Θέμα 2 — Θεωρία

α) Νόμος Ημιτόνων: $\dfrac{\alpha}{\eta\mu\widehat{Α}}=\dfrac{\beta}{\eta\mu\widehat{Β}}=\dfrac{\gamma}{\eta\mu\widehat{Γ}}=2R$.
Νόμος Συνημιτόνων: $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}$ (και κυκλικά).

β) Όταν $\widehat{Α}=90°$, $\sigma\upsilon\nu\widehat{Α}=0$, οπότε ο Νόμος Συνημιτόνων δίνει $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ — αυτό είναι το Πυθαγόρειο.

Άσκηση 1

1) Πεδίο: $x^2-4\neq 0$ και $x-2\neq 0$ ⇒ $x\neq\pm 2$.

2) Παραγοντοποίηση:

$A = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{x+2}{x-2} = \dfrac{(x-2)^2(x+2)}{(x-2)^2(x+2)} = 1$

$A = 1$ για κάθε $x\neq\pm 2$.

3) $A=2$: αδύνατο, γιατί $A=1$ πάντα. Καμία λύση.

Άσκηση 2

1) Πρόσθεση κατά μέλη (αντίθετοι συντελεστές του $y$): $8x=24 \Rightarrow x=3$. Από 1η: $9+2y=11 \Rightarrow y=1$.

$(x,y)=(3,1)$

2) $x^2-6x+5=0$, $\Delta=36-20=16$, $x=\dfrac{6\pm 4}{2}$: $x=5$ ή $x=1$.

3) $\Delta=(k+1)^2-4\cdot 1\cdot(-k) = k^2+2k+1+4k = k^2+6k+1$.

Παρατηρώ: $\Delta = k^2+6k+1 = (k+3)^2 - 8$. Δεν είναι πάντα $\geq 0$!

Διόρθωση: Η εξίσωση γράφεται $x^2+(k+1)x-k=0$. Έλεγχος για $x=1$: $1+k+1-k=2\neq 0$. Έλεγχος για $x=-1$: $1-k-1-k=-2k$ — μηδέν όταν $k=0$. Άρα ΔΕΝ έχει πάντα ρητή ρίζα — η εκφώνηση εννοεί πραγματικές. Παρατήρηση: $\Delta=k^2+6k+1$, ρίζες $k=-3\pm 2\sqrt{2}$. Για $-3-2\sqrt{2}

Σημείωση: αν η εκφώνηση ήταν $x^2-(k+1)x+k=0$, τότε $\Delta=(k+1)^2-4k=(k-1)^2\geq 0$ πάντα.

Άσκηση 3

1) Στα $\triangle ΚΑΒ$ και $\triangle ΚΓΔ$:

$\widehat{ΑΚΒ} = \widehat{ΓΚΔ}$ (κατακορυφήν)
$\widehat{ΚΑΒ} = \widehat{ΚΓΔ}$ (εντός εναλλάξ, $ΑΒ\parallel ΓΔ$)

Άρα $\triangle ΚΑΒ \sim \triangle ΚΓΔ$ από Γ-Γ.

2) $\dfrac{ΚΑ}{ΚΓ} = \dfrac{ΑΒ}{ΓΔ} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

3) $\dfrac{6}{ΚΓ}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow ΚΓ = 9\,\text{cm}$.

4) Στο $\triangle ΚΑΒ$ με $\widehat{ΚΑΒ}=30°,\ \widehat{ΑΚΒ}=120°$: τότε $\widehat{ΚΒΑ}=30°$. Νόμος Ημιτόνων:

$\dfrac{ΚΒ}{\eta\mu 30°} = \dfrac{ΑΒ}{\eta\mu 120°} \Rightarrow ΚΒ = \dfrac{4\cdot\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}$

$ΚΒ = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}31\,\text{cm}$

MathHub · Επανάληψη Γ΄ Γυμνασίου · Άλγεβρα (Κεφ. 1-3) & Γεωμετρία-Τριγωνομετρία (Κεφ. 1-2)

Δημιουργήθηκε για mathhub.gr · Πασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών