B
Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου
Πλήρης Επανάληψη Εξετάσεων
Πλήρης Επανάληψη · Β΄ Γυμνασίου

Όλη η Θεωρία
για τις Εξετάσεις

Ερωτήσεις θεωρίας με αναλυτικές απαντήσεις για όλη την ύλη Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Πάτησε σε κάθε ερώτηση για να δεις την απάντηση.

𝛼ΑΛΓΕΒΡΑ — ΜΕΡΟΣ Α΄

Κεφάλαιο 1 — Εξισώσεις & Ανισώσεις

1.2Εξισώσεις α΄ Βαθμού

Τι ονομάζεται εξίσωση α΄ βαθμού με έναν άγνωστο;

Εξίσωση α΄ βαθμού με έναν άγνωστο ονομάζεται κάθε εξίσωση που μπορεί να πάρει τη μορφή:

$αx + β = 0$, με $α \neq 0$

Έχει μοναδική λύση: $x = -\dfrac{β}{α}$.

Πότε δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες;

Δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες, όταν έχουν τις ίδιες λύσεις. Μια εξίσωση μετατρέπεται σε ισοδύναμη όταν:

  • Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη.
  • Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο αριθμό διάφορο του μηδενός.
Ποια είναι η διαδικασία επίλυσης εξίσωσης α΄ βαθμού;

Ακολουθούμε τα βήματα:

  1. Απαλοιφή παρονομαστών: πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με το ΕΚΠ.
  2. Πράξεις: εφαρμόζουμε επιμεριστική ιδιότητα.
  3. Χωρισμός γνωστών από αγνώστους: μεταφέρουμε όρους αλλάζοντας πρόσημο.
  4. Αναγωγή ομοίων όρων: συγχωνεύουμε ομοειδείς όρους.
  5. Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
Πότε μια εξίσωση είναι αδύνατη; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.19)

Όταν μετά την εκτέλεση των πράξεων καταλήγει σε σχέση της μορφής:

$0x = α$, με $α \neq 0$

Επειδή δε γίνεται διαίρεση με το 0, ενώ για κάθε τιμή του x το πρώτο μέλος είναι 0, η εξίσωση δεν έχει καμία λύση.

Παράδειγμα: $2(3-x) + 4(x-1) = 2x+5 \Rightarrow 0x = 3$ (αδύνατη).

Πότε μια εξίσωση είναι ταυτότητα (αόριστη);

Όταν καταλήγει στη σχέση:

$0x = 0$

Αυτή επαληθεύεται για κάθε τιμή του x, δηλαδή κάθε αριθμός είναι λύση. Λέγεται ταυτότητα.

1.4Επίλυση Προβλημάτων με Χρήση Εξισώσεων

Ποια βήματα ακολουθούμε για την επίλυση προβλήματος με εξίσωση;
  1. Κατανόηση: διαβάζουμε προσεκτικά και εντοπίζουμε δεδομένα και ζητούμενα.
  2. Συμβολισμός: ονομάζουμε με x το ζητούμενο ή ένα κατάλληλο μέγεθος.
  3. Εξίσωση: εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη συναρτήσει του x και γράφουμε εξίσωση από τις συνθήκες του προβλήματος.
  4. Επίλυση της εξίσωσης.
  5. Έλεγχος-Επαλήθευση: ελέγχουμε αν η λύση ικανοποιεί το πρόβλημα.
Πότε μια λύση εξίσωσης είναι αποδεκτή για ένα πρόβλημα;

Πρέπει να ταιριάζει με τις πραγματικές συνθήκες του προβλήματος. Π.χ.:

  • Αν το x εκφράζει μήκος ή ηλικία, πρέπει $x > 0$.
  • Αν το x εκφράζει πλήθος αντικειμένων, πρέπει $x \in \mathbb{N}$.

Διαφορετικά τη λύση την απορρίπτουμε.

Κεφάλαιο 2 — Πραγματικοί Αριθμοί

2.1Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού

Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α;

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού ή μηδενικού αριθμού α ≥ 0 ονομάζεται ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Συμβολίζεται $\sqrt{α}$.

$\sqrt{α} = β \;\Leftrightarrow\; β^2 = α$, με $β \geq 0$, $α \geq 0$

Παράδειγμα: $\sqrt{25}=5$, γιατί $5^2=25$ και $5 \geq 0$.

Γιατί δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού;

Γιατί κανένας πραγματικός αριθμός όταν υψωθεί στο τετράγωνο δεν δίνει αρνητικό αποτέλεσμα. Δηλαδή για κάθε x ∈ ℝ ισχύει $x^2 \geq 0$.

Άρα η $\sqrt{-9}$ δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς.

Τι ισχύει για την $\sqrt{α^2}$;
$\sqrt{α^2} = |α|$ για κάθε πραγματικό α

Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό:

  • Αν α ≥ 0: $\sqrt{α^2}=α$
  • Αν α < 0: $\sqrt{α^2}=-α$

Παράδειγμα: $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$.

Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών;

Για α, β ≥ 0 (και β > 0 στη διαίρεση):

$\sqrt{α \cdot β} = \sqrt{α} \cdot \sqrt{β}$
$\sqrt{\dfrac{α}{β}} = \dfrac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}$
$(\sqrt{α})^2 = α$

Παραδείγματα: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.

Τι είναι άρρητος αριθμός;

Άρρητος ονομάζεται κάθε πραγματικός αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα $\dfrac{p}{q}$ με p, q ακέραιους και q ≠ 0.

Έχει άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία.

Παραδείγματα: $\sqrt{2} = 1{,}41421...$, $\sqrt{3}$, $π = 3{,}14159...$

2.2Άρρητοι Αριθμοί - Πραγματικοί Αριθμοί

Τι είναι άρρητος αριθμός; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.45)

Κάθε αριθμός που δεν μπορεί να πάρει τη μορφή $\dfrac{μ}{ν}$, όπου $μ, ν$ ακέραιοι με $ν \neq 0$, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Αυτό σημαίνει ότι κάθε άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως περιοδικός δεκαδικός.

Παραδείγματα: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, π = 3{,}141592...$

Τι ονομάζουμε σύνολο πραγματικών αριθμών;

Είναι το σύνολο που αποτελείται από όλους τους ρητούς ($\mathbb{Q}$) μαζί με όλους τους άρρητους αριθμούς.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \;\cup\;$ (Άρρητοι)

Σε κάθε πραγματικό αριθμό αντιστοιχεί ένα μοναδικό σημείο της ευθείας των αριθμών και αντίστροφα.

Πώς προσεγγίζουμε έναν άρρητο αριθμό όπως το $\sqrt{2}$;

Παρατηρώντας ότι $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$, το $\sqrt{2}$ βρίσκεται μεταξύ 1 και 2. Συνεχίζοντας:

  • $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ → $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$
  • $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2$ → $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$

Παίρνουμε διαδοχικές ρητές προσεγγίσεις.

2.3Προβλήματα (με ρίζες)

Πώς εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο σε προβλήματα όταν προκύπτουν άρρητοι;

Όταν η λύση εμφανίζει ρίζα μη τέλειου τετραγώνου, χρησιμοποιούμε ρητή προσέγγιση.

Παράδειγμα: Από Πυθαγόρειο $δ^2 = 4{,}90 \Rightarrow δ = \sqrt{4{,}90} \approx 2{,}21$ m (προσέγγιση εκατοστού).

Ποια απλούστευση ρίζας χρειαζόμαστε συχνά σε προβλήματα;

Αναλύουμε σε γινόμενο με τέλειο τετράγωνο: $\sqrt{72}=\sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

Ομοειδείς ρίζες (ίδιο ριζικό): προστίθενται όπως μονώνυμα → $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$.

Κεφάλαιο 3 — Συναρτήσεις

3.1Η Έννοια της Συνάρτησης

Τι ονομάζεται συνάρτηση;

Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζεται κάθε διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β.

Γράφουμε $y = f(x)$. Το $f(x)$ λέγεται τιμή της συνάρτησης στο x.

Τι είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης;

Το πεδίο ορισμού (Α) είναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής x.

Π.χ. στη $y = \dfrac{1}{x}$ το πεδίο ορισμού είναι $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} - \{0\}$ (δεν επιτρέπεται $x=0$).

Τι είναι σύνολο τιμών;

Το σύνολο όλων των τιμών $y = f(x)$ που παίρνει η συνάρτηση καθώς το x διατρέχει το πεδίο ορισμού.

3.2Καρτεσιανές Συντεταγμένες – Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τι είναι σύστημα ορθογωνίων αξόνων;

Δύο κάθετοι άξονες $x'x$ και $y'y$ με κοινή αρχή Ο και ίδιες μονάδες μέτρησης. Σχηματίζουν το καρτεσιανό επίπεδο που χωρίζεται σε 4 τεταρτημόρια.

Τι είναι τετμημένη και τεταγμένη ενός σημείου;

Για σημείο $M(x_0, y_0)$ του επιπέδου:

  • Τετμημένη = $x_0$ (πρώτος αριθμός, προβολή στον άξονα $x'x$).
  • Τεταγμένη = $y_0$ (δεύτερος αριθμός, προβολή στον άξονα $y'y$).
  • Οι δύο μαζί λέγονται συντεταγμένες του Μ.

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ζεύγος συντεταγμένων και αντιστρόφως.

Τι ονομάζεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f(x);

Το σύνολο όλων των σημείων $M(x, f(x))$ του καρτεσιανού επιπέδου.

Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

3.3Η Συνάρτηση y = αx (Αναλογία)

Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν ο λόγος τους είναι σταθερός:

$\dfrac{y}{x} = α \;\Leftrightarrow\; y = αx$

Όταν το ένα διπλασιάζεται, διπλασιάζεται και το άλλο.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx;

Είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0, 0).

Για να τη σχεδιάσουμε αρκεί ένα δεύτερο σημείο: π.χ. για $x=1 \Rightarrow y=α$, σημείο $(1, α)$.

Τι παριστάνει ο συντελεστής α;

Ονομάζεται κλίση της ευθείας. Ισχύει:

  • $α > 0$: η ευθεία βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο — αύξουσα.
  • $α < 0$: στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο — φθίνουσα.
  • Όσο μεγαλύτερη η $|α|$, τόσο πιο απότομη η κλίση.

3.4Η Συνάρτηση y = αx + β

Ποια είναι η γραφική παράσταση της y = αx + β;

Ευθεία γραμμή. Είναι παράλληλη προς την ευθεία $y = αx$ και τη συναντά τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, β)$.

Τι ρόλο παίζουν οι σταθεροί α και β;
  • α (κλίση): $α > 0$ ⟹ αύξουσα · $α < 0$ ⟹ φθίνουσα.
  • β: τεταγμένη στην αρχή — όπου τέμνει η ευθεία τον άξονα $y'y$.
  • Η ευθεία τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $\left(-\dfrac{β}{α}, 0\right)$ (για $α \neq 0$).
Πώς σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της y = αx + β;

Βρίσκουμε δύο σημεία και τα ενώνουμε. Συνηθέστερα τα σημεία τομής με τους άξονες:

  • Με τον άξονα $y'y$: για $x = 0 \Rightarrow y = β$ → σημείο $(0, β)$
  • Με τον άξονα $x'x$: για $y = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{β}{α}$ → σημείο $\left(-\dfrac{β}{α}, 0\right)$
Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες ή τέμνονται;

Έστω $y = α_1 x + β_1$ και $y = α_2 x + β_2$:

  • Παράλληλες: $α_1 = α_2$ και $β_1 \neq β_2$
  • Ταυτίζονται: $α_1 = α_2$ και $β_1 = β_2$
  • Τέμνονται: $α_1 \neq α_2$ (διαφορετική κλίση)

3.5Η Συνάρτηση y = α/x — Η Υπερβολή

Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα;

Δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενό τους είναι σταθερό:

$x \cdot y = α \;\Leftrightarrow\; y = \dfrac{α}{x}$

Όταν το ένα διπλασιάζεται, το άλλο γίνεται το μισό.

Παράδειγμα από Φυσική: $υ \cdot t = s$ (σταθερή απόσταση → ταχύτητα και χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα).

Ποια είναι η γραφική παράσταση της y = α/x;

Καμπύλη που ονομάζεται υπερβολή, αποτελείται από δύο κλάδους:

  • Αν $α > 0$: στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
  • Αν $α < 0$: στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.

Πεδίο ορισμού: $x \neq 0$ (δεν ορίζεται για $x=0$ — δεν γίνεται διαίρεση με μηδέν).

Τι ιδιαίτερο έχουν οι κλάδοι της υπερβολής σε σχέση με τους άξονες;

Οι κλάδοι πλησιάζουν αλλά δεν αγγίζουν ποτέ τους άξονες $x'x$ και $y'y$. Οι άξονες λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής.

△ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ — ΜΕΡΟΣ Β΄

Κεφάλαιο 1 — Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα

1.3Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων

Τύπος εμβαδού τετραγώνου;

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται με:

$E = α^2$

Παράδειγμα: τετράγωνο πλευράς 5 cm → $E = 25$ cm².

Τύπος εμβαδού ορθογωνίου;

Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές α, β ισούται με το γινόμενο των διαστάσεών του (μήκος × πλάτος):

$E = α \cdot β$
Τύπος εμβαδού παραλληλογράμμου; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.120)

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μίας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος:

$E = β \cdot υ$

Απόδειξη: μεταφέροντας το τρίγωνο ΑΔΕ στη θέση του (ίσου) τριγώνου ΒΓΖ, το παραλληλόγραμμο γίνεται ορθογώνιο ΕΖΓΔ με εμβαδό $β \cdot υ$.

Τύπος εμβαδού τριγώνου;

Το εμβαδόν τριγώνου είναι το μισό του γινομένου μίας πλευράς (βάσης) επί το αντίστοιχο ύψος:

$E = \dfrac{β \cdot υ}{2}$

Κάθε τρίγωνο έχει 3 βάσεις-ύψη, οπότε ο τύπος εφαρμόζεται με όποιο ζεύγος βολεύει.

Τύπος εμβαδού τραπεζίου;

Το εμβαδόν τραπεζίου με παράλληλες πλευρές (βάσεις) $Β$ και $β$ και ύψος $υ$:

$E = \dfrac{(Β + β) \cdot υ}{2}$
Τύπος εμβαδού ρόμβου;

Ο ρόμβος έχει δύο διαγωνίους κάθετες μεταξύ τους που διχοτομούνται. Το εμβαδό του είναι το μισό του γινομένου των διαγωνίων:

$E = \dfrac{δ_1 \cdot δ_2}{2}$

1.4Πυθαγόρειο Θεώρημα

Διατύπωσε το Πυθαγόρειο Θεώρημα; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.128)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών:

$α^2 = β^2 + γ^2$
(α: υποτείνουσα, β, γ: κάθετες πλευρές)
Διατύπωσε το Αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος;

Αν σε ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ ισχύει $α^2 = β^2 + γ^2$, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η γωνία απέναντι από την πλευρά α είναι ορθή.

Χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Πες μερικές Πυθαγόρειες τριάδες;

Φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο:

  • (3, 4, 5) και πολλαπλάσιες: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25)
  • (5, 12, 13)
  • (8, 15, 17)
  • (7, 24, 25)
Πώς υπολογίζουμε τη διαγώνιο τετραγώνου πλευράς α;

Η διαγώνιος χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα. Από Πυθαγόρειο:

$δ^2 = α^2 + α^2 = 2α^2 \;\Rightarrow\; δ = α\sqrt{2}$

Κεφάλαιο 2 — Τριγωνομετρία (Εφαπτομένη – Ημίτονο – Συνημίτονο)

2.1Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Ορισμός εφαπτομένης οξείας γωνίας; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.138)

Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω, ο λόγος:

$εφω = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας } ω}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας } ω}$

είναι σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω.

Τι σχέση έχει η εφαπτομένη με την κλίση ευθείας y=αx;

Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία $y=αx$ με τον άξονα $x'x$, τότε:

$εφω = \dfrac{y}{x} = α$

Δηλαδή η κλίση α της ευθείας ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x'x.

2.2Ημίτονο και Συνημίτονο Οξείας Γωνίας

Ορισμός ημιτόνου οξείας γωνίας; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.143)

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος:

$ημω = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$

είναι σταθερός για κάθε οξεία γωνία ω και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

Ορισμός συνημιτόνου οξείας γωνίας;

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος:

$συνω = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$

είναι σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω.

Τι σχέση συνδέει ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη;

Από τους ορισμούς προκύπτει:

$εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$
Πόσο είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας;

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά, άρα:

$0 < ημω < 1$ και $0 < συνω < 1$

για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω.

Κεφάλαιο 3 — Μέτρηση Κύκλου

3.1Εγγεγραμμένες Γωνίες

Τι ονομάζεται επίκεντρη γωνία;

Επίκεντρη γωνία ενός κύκλου ονομάζεται η γωνία που έχει κορυφή το κέντρο του κύκλου.

Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της σε μοίρες.

Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία;

Εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου ονομάζεται η γωνία που έχει:

  • Την κορυφή της πάνω στον κύκλο
  • Τις πλευρές της χορδές του κύκλου

Το τόξο που περιέχεται στις πλευρές της λέγεται αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης.

Ποια σχέση συνδέει εγγεγραμμένη με επίκεντρη γωνία στο ίδιο τόξο;

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο:

εγγεγραμμένη $= \dfrac{1}{2} \cdot$ επίκεντρη

Συνέπεια: όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους.

Πόσο είναι η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο;

Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο (αντίστοιχη επίκεντρη = 180°) είναι:

$\dfrac{180°}{2} = 90°$ (ορθή)

Άρα κάθε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μία πλευρά διάμετρο είναι ορθογώνιο.

3.2Κανονικά Πολύγωνα

Τι ονομάζεται κανονικό πολύγωνο;

Πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

Παραδείγματα: ισόπλευρο τρίγωνο (3 πλευρές), τετράγωνο (4), κανονικό πεντάγωνο (5), κανονικό εξάγωνο (6) κ.ο.κ.

Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ν-γώνου και η γωνία κανονικού ν-γώνου;

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου:

$S_ν = (ν - 2) \cdot 180°$

Κάθε γωνία κανονικού ν-γώνου:

$φ_ν = \dfrac{(ν - 2) \cdot 180°}{ν}$

Π.χ. ισόπλευρο τρίγωνο: $\dfrac{180°}{3}=60°$ · τετράγωνο: $\dfrac{2 \cdot 180°}{4}=90°$ · κανονικό εξάγωνο: $\dfrac{4 \cdot 180°}{6}=120°$.

Τι είναι η κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο;

Η κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε μία πλευρά του:

$ω_ν = \dfrac{360°}{ν}$

3.3Μήκος Κύκλου

Τι ορίζει τον αριθμό π;

Για κάθε κύκλο, ο λόγος του μήκους L προς τη διάμετρό του (δ = 2ρ) είναι σταθερός και ίσος με τον άρρητο αριθμό π:

$π = \dfrac{L}{δ} \approx 3{,}14$
Τύπος μήκους κύκλου;

Από τον ορισμό του π προκύπτει:

$L = 2π ρ = π δ$
(ρ = ακτίνα, δ = διάμετρος)

Παράδειγμα: για ρ = 5 cm → $L = 10π \approx 31{,}4$ cm.

3.5Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου

Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος;

Είναι η επίπεδη επιφάνεια που περικλείεται από τον κύκλο (μαζί με τον ίδιο τον κύκλο).

Τύπος εμβαδού κυκλικού δίσκου; (πηγή: σχ. βιβλίο σελ.194)

Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ ισούται με:

$E = π ρ^2$

Παράδειγμα: για ρ = 7 cm → $E = 49π \approx 153{,}94$ cm².

Τι είναι κυκλικός δακτύλιος και πώς υπολογίζεται το εμβαδόν του;

Κυκλικός δακτύλιος είναι η περιοχή ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες R (μεγάλος) και ρ (μικρός).

Εμβαδόν του δακτυλίου = εμβαδό μεγάλου δίσκου − εμβαδό μικρού:

$E = π R^2 - π ρ^2 = π(R^2 - ρ^2)$
Παραδειγματικές Ασκήσεις

Λυμένες Ασκήσεις
με Διαδραστικά Σχήματα

Αναλυτικές λύσεις βήμα-βήμα για όλες τις βασικές ασκήσεις της ύλης. Πάτησε «Δες τη Λύση» και αλληλεπίδρασε με τα δυναμικά σχήματα.

𝛼ΑΛΓΕΒΡΑ

1.2Εξισώσεις α΄ Βαθμού

Άσκηση 1Με παρενθέσεις
Να λυθεί η εξίσωση: $2(3x-4) - 3(x+2) = 5x - 6$
Λύση
  1. Πράξεις: $6x - 8 - 3x - 6 = 5x - 6$
  2. Συναγωγή ομοίων: $3x - 14 = 5x - 6$
  3. Μεταφορά: $3x - 5x = -6 + 14 \Rightarrow -2x = 8$
  4. Διαίρεση: $x = \boxed{-4}$

Επαλήθευση: $2(3(-4)-4) - 3(-4+2) = 2(-16) - 3(-2) = -32+6 = -26$ και $5(-4)-6=-26$ ✓

Άσκηση 2Με κλάσματα
Να λυθεί η εξίσωση: $\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{2x+1}{3} = \dfrac{5x-4}{6}$
Λύση
  1. ΕΚΠ παρονομαστών = 6. Πολλαπλασιάζω όλη την εξίσωση ×6:
  2. $3(x-1) + 2(2x+1) = 5x-4$
  3. $3x-3 + 4x+2 = 5x-4$
  4. $7x-1 = 5x-4 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = \boxed{-\dfrac{3}{2}}$
Άσκηση 3Αδύνατη / Ταυτότητα
Να λυθούν οι εξισώσεις: α) $3(x+2) = 3x+5$, β) $2(x-1) = 2x-2$
Λύση

α) $3x+6 = 3x+5 \Rightarrow 3x-3x = 5-6 \Rightarrow 0x = -1$ → αδύνατη.

β) $2x-2 = 2x-2 \Rightarrow 0x = 0$ → ταυτότητα (αληθεύει για κάθε x).

1.4Επίλυση Προβλημάτων με Εξισώσεις

Άσκηση 4Πρόβλημα ηλικιών
Ο Νίκος είναι 4 χρόνια μεγαλύτερος από τον αδελφό του. Σε 6 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών τους θα είναι 36. Πόσων χρονών είναι σήμερα;
Λύση
  1. Έστω x η ηλικία του αδελφού σήμερα. Τότε ο Νίκος είναι $x+4$.
  2. Σε 6 χρόνια: αδελφός $x+6$, Νίκος $x+4+6 = x+10$.
  3. Εξίσωση: $(x+6) + (x+10) = 36 \Rightarrow 2x+16 = 36 \Rightarrow x = 10$.
  4. Άρα ο αδελφός είναι $\boxed{10}$ χρονών και ο Νίκος $\boxed{14}$ χρονών.
Άσκηση 5Πρόβλημα ποσοστού
Ένα πουκάμισο πωλείται με έκπτωση 20% στα 32€. Ποια ήταν η αρχική του τιμή;
Λύση
  1. Έστω x η αρχική τιμή. Με έκπτωση 20%, ο αγοραστής πληρώνει το 80% της αρχικής.
  2. $\dfrac{80}{100} x = 32 \Rightarrow 0{,}8 x = 32 \Rightarrow x = \dfrac{32}{0{,}8} = \boxed{40}$ €

2.1Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού

Άσκηση 6Απλοποίηση + Άθροισμα
Να υπολογίσετε την παράσταση: $A = \sqrt{48} - 2\sqrt{3} + \sqrt{75}$
Λύση

Απλοποιούμε τις ρίζες:

  1. $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
  2. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Όλες οι ρίζες είναι ομοειδείς:

$A = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (4-2+5)\sqrt{3} = \boxed{7\sqrt{3}}$

Άσκηση 7Ταυτότητα τετραγώνων
Να υπολογίσετε: $B = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) + (\sqrt{7})^2$
Λύση

Εφαρμόζουμε διαφορά τετραγώνων: $(α+β)(α-β)=α^2-β^2$

  1. $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 9 - 5 = 4$
  2. $(\sqrt{7})^2 = 7$

$B = 4 + 7 = \boxed{11}$

2.2Άρρητοι – Πραγματικοί Αριθμοί

Άσκηση 8Ταξινόμηση αριθμών
Από τους παρακάτω αριθμούς, ποιοι είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι;
$\dfrac{3}{7}, \;\sqrt{2}, \;0{,}5, \;\sqrt{25}, \;π, \;-\sqrt{9}, \;\sqrt{12}$
Λύση

Ρητοί: $\dfrac{3}{7}$, $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$, $\sqrt{25}=5$, $-\sqrt{9}=-3$.

Άρρητοι: $\sqrt{2}$, $π$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (το $\sqrt{3}$ είναι άρρητος).

2.3Προβλήματα (με Πυθαγόρειο και ρίζες)

Άσκηση 9Πυθαγόρειο με ρίζα
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6 και 8. Να βρείτε την υποτείνουσα. Έπειτα να βρείτε την υποτείνουσα αν οι κάθετες είναι 5 και 7 (να δώσετε προσέγγιση εκατοστού).
Λύση

α) $α^2 = 6^2 + 8^2 = 36+64 = 100 \Rightarrow α = \boxed{10}$ (τέλειο τετράγωνο — ρητός).

β) $α^2 = 5^2 + 7^2 = 25+49 = 74 \Rightarrow α = \sqrt{74} \approx \boxed{8{,}60}$ (άρρητος — προσέγγιση).

3.1Έννοια Συνάρτησης

Άσκηση 10Τιμές συνάρτησης
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Να υπολογίσετε τα: $f(0), f(1), f(-2)$.
Λύση
  1. $f(0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 = \boxed{1}$
  2. $f(1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1 = 2-3+1 = \boxed{0}$
  3. $f(-2) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-2) + 1 = 8+6+1 = \boxed{15}$

3.3Η Συνάρτηση y = αx

Άσκηση 11Εξίσωση από σημείο
Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(2, 6).
Λύση

Η ευθεία έχει μορφή $y = αx$. Αφού διέρχεται από το $(2,6)$:

$6 = α \cdot 2 \Rightarrow α = 3$

Άρα η εξίσωση είναι: $\boxed{y = 3x}$.

3.4Η Γραμμική Συνάρτηση y = αx + β

Άσκηση 12Διαδραστικό γράφημα
Άλλαξε τις τιμές των α και β για να δεις πώς αλλάζει η γραφική παράσταση της $y = αx + β$.
α = 1
β = 0
y = 1·x + 0 (διέρχεται από αρχή, κλίση 1)
Άσκηση 13Σημεία τομής με άξονες
Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας $y = 2x - 6$ με τους άξονες και να την σχεδιάσετε.
Λύση
  1. Με τον άξονα x'x (y=0): $0 = 2x-6 \Rightarrow x = 3$. Σημείο: $(3,\,0)$
  2. Με τον άξονα y'y (x=0): $y = -6$. Σημείο: $(0,\,-6)$

Η ευθεία διέρχεται από τα σημεία $(3,0)$ και $(0,-6)$.

3.5Η Υπερβολή y = α/x

Άσκηση 14Διαδραστική υπερβολή
Άλλαξε το α για να δεις πώς αλλάζει η γραφική παράσταση της $y = \dfrac{α}{x}$.
α = 6
y = 6/x — υπερβολή στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο
Άσκηση 15Αντιστρόφως ανάλογα
Έστω ότι τα x, y είναι αντιστρόφως ανάλογα και ισχύει y = 4 όταν x = 6. Να βρεθούν: α) η σταθερά της σχέσης, β) η τιμή του y όταν x = 12.
Λύση

α) $x \cdot y = α \Rightarrow α = 6 \cdot 4 = \boxed{24}$, άρα $y = \dfrac{24}{x}$.

β) Για $x = 12$: $y = \dfrac{24}{12} = \boxed{2}$.

△ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1.3Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων

Άσκηση 16Τρίγωνο
Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η βάση ΒΓ = 10 cm και το αντίστοιχο ύψος ΑΔ = 6 cm. Να βρείτε το εμβαδό.
Λύση

$E = \dfrac{ΒΓ \cdot ΑΔ}{2} = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = \boxed{30}$ cm²

Άσκηση 17Ρόμβος
Δίνεται ρόμβος με διαγωνίους $δ_1 = 16$ cm και $δ_2 = 12$ cm. Να βρείτε α) το εμβαδό του β) την πλευρά του.
Λύση

α) Εμβαδό: $E = \dfrac{δ_1 \cdot δ_2}{2} = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = \boxed{96}$ cm²

β) Πλευρά: Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούνται κάθετα. Σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες $\dfrac{δ_1}{2}=8$ και $\dfrac{δ_2}{2}=6$.

$α^2 = 8^2 + 6^2 = 64+36 = 100 \Rightarrow α = \boxed{10}$ cm

Άσκηση 18Τραπέζιο
Τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ∥ ΓΔ, ΑΒ = 18, ΓΔ = 10 και ύψος h = 8. Να βρεθεί το εμβαδό.
Λύση

$E = \dfrac{(Β+β) \cdot υ}{2} = \dfrac{(18+10) \cdot 8}{2} = \dfrac{224}{2} = \boxed{112}$ τ.μ.

Άσκηση 19Διαδραστικό
Σύρε τους ολισθητές για βάση και ύψος του τριγώνου και δες πώς αλλάζει το εμβαδόν.
Βάση = 10
Ύψος = 6
E = 10 × 6 / 2 = 30 τ.μ.

1.4Πυθαγόρειο Θεώρημα

Άσκηση 20Διαδραστικό
Άλλαξε τις τιμές των κάθετων πλευρών για να δεις πώς αλλάζει η υποτείνουσα. Επαληθεύεται πάντα η σχέση $α^2 + β^2 = γ^2$.
α = 6
β = 8
α² + β² = 36 + 64 = 100 = γ² ⟹ γ = 10
Άσκηση 21Υποτείνουσα
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες 8 και 15. Να βρεθούν η υποτείνουσα και το εμβαδό του.
Λύση

$α^2 = 8^2 + 15^2 = 64+225 = 289 \Rightarrow α = \boxed{17}$

$E = \dfrac{8 \cdot 15}{2} = \boxed{60}$ τ.μ.

Άσκηση 22Ισοσκελές τρίγωνο
Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = 10 και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 13. Να βρεθεί το ύψος ΑΔ και το εμβαδό.
Λύση
  1. Σε ισοσκελές, το ύψος ΑΔ διχοτομεί τη βάση: ΒΔ = ΔΓ = 5.
  2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ (ορθή Δ), από Πυθαγόρειο:
    $AΔ^2 = AB^2 - BΔ^2 = 13^2 - 5^2 = 144 \Rightarrow AΔ = \boxed{12}$
  3. $E = \dfrac{ΒΓ \cdot ΑΔ}{2} = \dfrac{10 \cdot 12}{2} = \boxed{60}$ τ.μ.

2.1Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Άσκηση 23Υπολογισμός εφαπτομένης
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή στο Α, ΑΒ = 4 και ΑΓ = 3. Να βρεθούν οι εφαπτομένες των γωνιών Β και Γ.
Λύση

Για τη γωνία Β: απέναντι κάθετη = ΑΓ = 3, προσκείμενη = ΑΒ = 4.

$εφ\widehat{B} = \dfrac{AΓ}{AB} = \dfrac{3}{4}$

Για τη γωνία Γ: απέναντι = ΑΒ = 4, προσκείμενη = ΑΓ = 3.

$εφ\widehat{Γ} = \dfrac{AB}{AΓ} = \dfrac{4}{3}$

Παρατηρούμε ότι $εφ\widehat{B} \cdot εφ\widehat{Γ} = 1$ (αφού $\widehat{B} + \widehat{Γ} = 90°$).

Άσκηση 24Κλίση δρόμου
Δρόμος ανηφορίζει 3 m σε οριζόντια απόσταση 12 m. Πόση είναι η κλίση του (εφω);
Λύση

Η κλίση είναι η εφαπτομένη της γωνίας ανύψωσης ω:

$εφω = \dfrac{\text{υψομετρική διαφορά}}{\text{οριζόντια απόσταση}} = \dfrac{3}{12} = \boxed{0{,}25}$ ή 25%

2.2Ημίτονο – Συνημίτονο Οξείας Γωνίας

Άσκηση 25Διαδραστικό τρίγωνο
Άλλαξε τη γωνία ω για να δεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ, συν, εφ.
ω = 30°
ημ 30° = 0.500, συν 30° = 0.866, εφ 30° = 0.577
Άσκηση 26Πλήρης υπολογισμός
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ορθή Α) με ΑΒ = 15 και ΑΓ = 20, να υπολογιστούν τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών Β και Γ. (Σχ. βιβλίο σελ.143)
Λύση
  1. Πυθαγόρειο: $ΒΓ^2 = 15^2 + 20^2 = 225+400 = 625 \Rightarrow ΒΓ = 25$.
  2. Για τη γωνία Β: απέναντι = ΑΓ = 20, προσκείμενη = ΑΒ = 15, υποτείνουσα = ΒΓ = 25.
    $ημ\widehat{B} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$, $συν\widehat{B} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$.
  3. Για τη γωνία Γ: απέναντι = ΑΒ = 15, προσκείμενη = ΑΓ = 20.
    $ημ\widehat{Γ} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$, $συν\widehat{Γ} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$.

Παρατήρηση: $ημ\widehat{B} = συν\widehat{Γ}$ και $συν\widehat{B} = ημ\widehat{Γ}$ (αφού $\widehat{B}+\widehat{Γ}=90°$).

3.1Εγγεγραμμένες Γωνίες

Άσκηση 27Σχέση με επίκεντρη
Σε κύκλο, η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ είναι 80°. Πόσο είναι η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ που βαίνει στο ίδιο τόξο ΑΒ;
Λύση

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης (που βαίνει στο ίδιο τόξο):

$\widehat{ΑΓΒ} = \dfrac{1}{2} \cdot \widehat{ΑΟΒ} = \dfrac{80°}{2} = \boxed{40°}$

Άσκηση 28Γωνία σε ημικύκλιο
Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και η ΒΓ είναι διάμετρος. Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Λύση

Η γωνία Α είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο ΒΓ που είναι ημικύκλιο. Η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι 180°.

Άρα $\widehat{A} = \dfrac{180°}{2} = 90°$ → το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α. ✓

3.2Κανονικά Πολύγωνα

Άσκηση 29Γωνίες πολυγώνων
Να βρεθεί η γωνία α) κανονικού οκταγώνου, β) κανονικού δωδεκαγώνου.
Λύση

Τύπος γωνίας κανονικού ν-γώνου: $φ_ν = \dfrac{(ν-2) \cdot 180°}{ν}$

α) ν=8: $φ_8 = \dfrac{6 \cdot 180°}{8} = \dfrac{1080°}{8} = \boxed{135°}$

β) ν=12: $φ_{12} = \dfrac{10 \cdot 180°}{12} = \dfrac{1800°}{12} = \boxed{150°}$

3.3Μήκος Κύκλου

Άσκηση 30Διαδραστικό
Άλλαξε την ακτίνα ρ για να δεις πώς αλλάζουν το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.
ρ = 5
L = 2π·5 = 10π ≈ 31.42, E = π·25 = 25π ≈ 78.54
Άσκηση 31Μήκος κύκλου
Τροχός ποδηλάτου έχει ακτίνα ρ = 35 cm. Πόση απόσταση διανύει σε μία στροφή και πόση σε 100 στροφές; (Πάρε π ≈ 3,14)
Λύση

Σε μία στροφή ο τροχός διανύει την περίμετρό του:

$L = 2π ρ = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 35 = \boxed{219{,}8\text{ cm}} = 2{,}198$ m

Σε 100 στροφές: $100 \cdot 2{,}198 = \boxed{219{,}8}$ m

3.5Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου

Άσκηση 32Εμβαδόν κύκλου
Να υπολογιστεί το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ = 7 cm.
Λύση

$E = π ρ^2 = π \cdot 7^2 = \boxed{49π}$ cm² $\approx 153{,}94$ cm²

Άσκηση 33Κυκλικός δακτύλιος
Κυκλικός δακτύλιος έχει εξωτερική ακτίνα R = 10 cm και εσωτερική ρ = 6 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν του.
Λύση

Εμβαδό δακτυλίου = εμβαδό μεγάλου δίσκου − εμβαδό μικρού:

$E = πR^2 - πρ^2 = π(R^2 - ρ^2) = π(100 - 36) = \boxed{64π}$ cm² $\approx 200{,}96$ cm²

Άσκηση 34Από μήκος → εμβαδό
Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,28 cm, να βρεθεί το εμβαδόν του. (Πάρε π = 3,14)
Λύση

Από $L = 2πρ$: $6{,}28 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot ρ \Rightarrow ρ = 1$ cm.

Άρα $E = πρ^2 = 3{,}14 \cdot 1^2 = \boxed{3{,}14}$ cm².

Διαδραστικό Quiz

Σωστό ή Λάθος;

33 ερωτήσεις θεωρίας απ' όλη την ύλη Β΄ Γυμνασίου. Επίλεξε Σ ή Λ — θα δεις αμέσως την σωστή απάντηση και την εξήγηση.

Έλεγξε τις γνώσεις σου σε όλη την ύλη Άλγεβρας και Γεωμετρίας Β΄ Γυμνασίου. Κάθε λανθασμένη απάντηση συνοδεύεται από εξήγηση.

Σκορ 0 / 33

✓33 Ερωτήσεις Σ/Λ

5 Διαγωνίσματα Επανάληψης

Δοκίμασε τις γνώσεις σου

5 ολοκληρωμένα διαγωνίσματα τύπου εξετάσεων (90 λεπτά, 100 μονάδες). Σε κάθε διαγώνισμα δίνονται 2 θέματα θεωρίας (επιλέγεις το ένα) και 3 ασκήσεις (επιλέγεις τις δύο). Οι αναλυτικές απαντήσεις βρίσκονται στο tab «Απαντήσεις».

Διαγώνισμα 1ο — Εξισώσεις · Εμβαδά · Πυθαγόρειο

90 λεπτά · 100 μονάδες · Επιλέγεις 1 από τα Θ1-Θ2 (30μ) και 2 από τα Θ3-Θ5 (35μ έκαστο)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 130 μ.
α) Πότε μία εξίσωση α΄ βαθμού λέγεται αδύνατη; Πότε ταυτότητα; (15 μ.)
β) Να εξετάσετε αν οι εξισώσεις είναι αδύνατες, ταυτότητες ή έχουν μοναδική λύση: (15 μ.)
  1. $2(x+3) = 2x + 6$
  2. $3x + 5 = 3x - 2$
  3. $5x - 8 = 2x + 7$
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 230 μ.
α) Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και γράψτε τον τύπο του. (10 μ.)
β) Δώστε δύο Πυθαγόρειες τριάδες αριθμών. (8 μ.)
γ) Σωστό ή Λάθος; (12 μ.)
  1. Το Πυθαγόρειο ισχύει σε κάθε τρίγωνο.
  2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο 6, 8, 10 η υποτείνουσα είναι η 8.
  3. Η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α είναι $α\sqrt{2}$.
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 335 μ.
Να λυθούν οι εξισώσεις:
  1. $2(3x-1) - 3(x-4) = 5(x+2)$ (15 μ.)
  2. $\dfrac{x+3}{2} - \dfrac{x-1}{4} = 3$ (20 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 435 μ.
Ρόμβος ΑΒΓΔ έχει διαγωνίους $δ_1 = 20$ cm και $δ_2 = 16$ cm.
  1. Να βρεθεί το εμβαδό του ρόμβου. (10 μ.)
  2. Να βρεθεί η πλευρά του ρόμβου. (15 μ.)
  3. Να βρεθεί η περίμετρός του. (10 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 535 μ.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή στο Γ, η υποτείνουσα είναι ΑΒ = 17 και η κάθετη ΑΓ = 8.
  1. Να βρεθεί η κάθετη ΒΓ. (12 μ.)
  2. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου. (10 μ.)
  3. Μία κλίμακα μήκους 17 m ακουμπά σε τοίχο. Η βάση της απέχει 8 m από τον τοίχο. Σε τι ύψος του τοίχου φτάνει η κορυφή της; (13 μ.)

Διαγώνισμα 2ο — Πραγματικοί Αριθμοί · Συναρτήσεις

90 λεπτά · 100 μονάδες · Επιλέγεις 1 από τα Θ1-Θ2 (30μ) και 2 από τα Θ3-Θ5 (35μ έκαστο)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 130 μ.
α) Δώστε τον ορισμό του άρρητου αριθμού και αναφέρετε 3 παραδείγματα. (15 μ.)
β) Σωστό ή Λάθος; (15 μ.)
  1. Ο αριθμός $\sqrt{16}$ είναι άρρητος.
  2. Ισχύει $\sqrt{α^2} = α$ για κάθε πραγματικό α.
  3. Το γινόμενο $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1$.
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 230 μ.
α) Γράψτε τη γενική μορφή της γραμμικής συνάρτησης και περιγράψτε τον ρόλο των συντελεστών α και β. (15 μ.)
β) Πότε δύο ευθείες $y = α_1 x + β_1$ και $y = α_2 x + β_2$ είναι παράλληλες, πότε τέμνονται; (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 335 μ.
Να υπολογιστούν:
  1. $A = \sqrt{50} - \sqrt{8} + 3\sqrt{2}$ (15 μ.)
  2. $B = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{5})^2$ (10 μ.)
  3. $Γ = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$ (Προσοχή στο πρόσημο!) (10 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 435 μ.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 3x - 6$.
  1. Να υπολογιστούν τα $f(0), f(2), f(-1)$. (10 μ.)
  2. Να βρεθεί το x ώστε $f(x) = 0$. (10 μ.)
  3. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες και να σχεδιαστεί. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 535 μ.
Δύο εταιρείες ενοικίασης ποδηλάτων χρεώνουν: Α: πάγιο 20€ + 5€ ανά ώρα · Β: μόνο 8€ ανά ώρα.
  1. Να εκφράσετε το κόστος κάθε εταιρείας ως γραμμική συνάρτηση του χρόνου x (σε ώρες). (10 μ.)
  2. Για πόσες ώρες το κόστος είναι το ίδιο και στις δύο εταιρείες; (15 μ.)
  3. Πότε συμφέρει η εταιρεία Α; (10 μ.)

Διαγώνισμα 3ο — Πυθαγόρειο · Τριγωνομετρία

90 λεπτά · 100 μονάδες · Επιλέγεις 1 από τα Θ1-Θ2 (30μ) και 2 από τα Θ3-Θ5 (35μ έκαστο)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 130 μ.
α) Δώστε τους ορισμούς ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. (18 μ.)
β) Να αποδείξετε ότι $εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$. (12 μ.)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 230 μ.
α) Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (10 μ.)
β) Σωστό ή Λάθος; (20 μ.)
  1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά.
  2. Στους αριθμούς (5, 12, 13) ισχύει το Πυθαγόρειο.
  3. Για κάθε οξεία γωνία ω ισχύει $ημω > 1$.
  4. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης προς την υποτείνουσα.
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 335 μ.
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 8 και 15.
  1. Να βρεθεί η υποτείνουσα. (12 μ.)
  2. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου. (8 μ.)
  3. Να βρεθεί η περίμετρός του. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 435 μ.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ορθή στο Α), ΑΒ = 15 cm και ΑΓ = 20 cm.
  1. Να βρεθεί η υποτείνουσα ΒΓ. (10 μ.)
  2. Να υπολογιστούν τα $ημ\widehat{B}, συν\widehat{B}, εφ\widehat{B}$. (15 μ.)
  3. Να επαληθεύσετε τη σχέση $εφ\widehat{B} = \dfrac{ημ\widehat{B}}{συν\widehat{B}}$. (10 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 535 μ.
Ένας δρόμος ανηφορίζει 4 m σε οριζόντια απόσταση 30 m.
  1. Να βρεθεί η κλίση (εφαπτομένη) της γωνίας ανύψωσης ω. (10 μ.)
  2. Να βρεθεί το πραγματικό (κεκλιμένο) μήκος του δρόμου. (15 μ.)
  3. Να βρεθεί το ημίτονο της γωνίας ω. (10 μ.)

Διαγώνισμα 4ο — Μέτρηση Κύκλου

90 λεπτά · 100 μονάδες · Επιλέγεις 1 από τα Θ1-Θ2 (30μ) και 2 από τα Θ3-Θ5 (35μ έκαστο)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 130 μ.
α) Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη και τι επίκεντρη γωνία; (12 μ.)
β) Ποια σχέση συνδέει εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο; (10 μ.)
γ) Πόσο είναι η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο; (8 μ.)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 230 μ.
α) Γράψτε τους τύπους μήκους κύκλου και εμβαδού κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ. (10 μ.)
β) Τι ορίζει τον αριθμό π; (10 μ.)
γ) Γράψτε τον τύπο για τη γωνία κανονικού ν-γώνου. (10 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 335 μ.
Σε κύκλο με κέντρο Ο, η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ είναι 120°.
  1. Να βρεθεί η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ που βαίνει στο ίδιο τόξο ΑΒ. (10 μ.)
  2. Να βρεθεί η γωνία κανονικού πενταγώνου. (10 μ.)
  3. Να βρεθεί η γωνία κανονικού δωδεκαγώνου. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 435 μ.
Κύκλος έχει ακτίνα ρ = 7 cm.
  1. Να υπολογιστεί το μήκος του. (10 μ.)
  2. Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. (10 μ.)
  3. Κυκλικός δακτύλιος έχει εξωτερική ακτίνα R = 10 cm και εσωτερική ρ = 6 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν του. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 535 μ.
Τροχός αυτοκινήτου έχει ακτίνα ρ = 0,4 m.
  1. Να βρεθεί η περίμετρος του τροχού. (8 μ.)
  2. Πόση απόσταση διανύει σε μία πλήρη στροφή; (7 μ.)
  3. Πόση απόσταση διανύει σε 50 στροφές; (10 μ.)
  4. Πόσες στροφές χρειάζονται για να διανύσει $80π$ m; (10 μ.)

Διαγώνισμα 5ο — Προαγωγικό (Όλη η Ύλη)

90 λεπτά · 100 μονάδες · Επιλέγεις 1 από τα Θ1-Θ2 (30μ) και 2 από τα Θ3-Θ5 (35μ έκαστο)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 130 μ.
α) Γράψτε τους τύπους εμβαδού: τριγώνου, παραλληλογράμμου, ρόμβου, τραπεζίου. (16 μ.)
β) Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (8 μ.)
γ) Γράψτε τον τύπο εμβαδού κυκλικού δίσκου. (6 μ.)
ΘΕΩΡΙΑ — ΘΕΜΑ 230 μ.
α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα; Γράψτε τις σχέσεις. (15 μ.)
β) Δώστε τους ορισμούς ημιτόνου και συνημιτόνου οξείας γωνίας. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 335 μ.
α) Να υπολογιστεί: $A = (\sqrt{8}+\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{16}$ (15 μ.)
β) Να λυθεί η εξίσωση: $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-5}{6}$ (20 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 435 μ.
Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ορθή στο Α) έχει ΑΒ = 9 και υποτείνουσα ΒΓ = 15.
  1. Να βρεθεί η κάθετη ΑΓ. (10 μ.)
  2. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου. (10 μ.)
  3. Να υπολογιστούν τα $ημ\widehat{B}, συν\widehat{B}, εφ\widehat{B}$. (15 μ.)
ΑΣΚΗΣΗ — ΘΕΜΑ 535 μ.
Σε κυκλικό πάρκο ακτίνας R = 20 m χτίζεται κυκλική πισίνα ακτίνας ρ = 8 m στο κέντρο. Στον υπόλοιπο χώρο (δακτύλιο) φυτεύεται γρασίδι.
  1. Να βρεθεί η περίμετρος του κύκλου του πάρκου. (8 μ.)
  2. Να βρεθεί το εμβαδό του πάρκου. (8 μ.)
  3. Να βρεθεί το εμβαδό της πισίνας. (8 μ.)
  4. Να υπολογιστεί η επιφάνεια του γρασιδιού. (11 μ.)
Αναλυτικές Λύσεις

Απαντήσεις Διαγωνισμάτων

Πλήρεις λύσεις βήμα-βήμα για όλα τα θέματα κάθε διαγωνίσματος (και τα 2 θέματα θεωρίας και τις 3 ασκήσεις) — με σχόλια, επαληθεύσεις και μεθοδολογία.

Λύσεις Διαγωνίσματος 1ου

ΘΕΜΑ 1 (Θεωρία)
α) Μία εξίσωση είναι αδύνατη όταν καταλήγει σε σχέση $0x = α$ με $α \neq 0$ — δεν έχει καμία λύση.
Μία εξίσωση είναι ταυτότητα όταν καταλήγει σε $0x = 0$ — αληθεύει για κάθε τιμή του x.

β)
  1. $2(x+3) = 2x+6 \Rightarrow 2x+6 = 2x+6 \Rightarrow 0x = 0$ → ταυτότητα.
  2. $3x+5 = 3x-2 \Rightarrow 0x = -7$ → αδύνατη.
  3. $5x-8 = 2x+7 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow \boxed{x = 5}$ → μοναδική λύση.
ΘΕΜΑ 2 (Θεωρία)
α) Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών:
$α^2 = β^2 + γ^2$ (α: υποτείνουσα)

β) Πυθαγόρειες τριάδες: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).

γ)
  1. Λ — ισχύει μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα.
  2. Λ — υποτείνουσα είναι η 10 (η μεγαλύτερη πλευρά).
  3. Σ — από Πυθαγόρειο: $δ^2 = α^2 + α^2 = 2α^2$.
ΘΕΜΑ 3 (Άσκηση)
α) $6x-2-3x+12 = 5x+10 \Rightarrow 3x+10 = 5x+10 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow \boxed{x = 0}$

β) ΕΚΠ=4: $2(x+3) - (x-1) = 12 \Rightarrow 2x+6-x+1 = 12 \Rightarrow x+7 = 12 \Rightarrow \boxed{x = 5}$
ΘΕΜΑ 4 (Άσκηση)
α) $E = \dfrac{δ_1 \cdot δ_2}{2} = \dfrac{20 \cdot 16}{2} = \boxed{160}$ cm²

β) Οι διαγώνιοι διχοτομούνται κάθετα, σχηματίζοντας ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες $\dfrac{δ_1}{2} = 10$ και $\dfrac{δ_2}{2} = 8$. Από Πυθαγόρειο:
$α^2 = 10^2 + 8^2 = 100 + 64 = 164 \Rightarrow α = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \approx \boxed{12{,}81}$ cm

γ) Περίμετρος = $4α = 8\sqrt{41} \approx \boxed{51{,}26}$ cm.
ΘΕΜΑ 5 (Άσκηση)
α) Πυθαγόρειο: $AB^2 = AΓ^2 + BΓ^2 \Rightarrow 17^2 = 8^2 + BΓ^2 \Rightarrow BΓ^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow \boxed{BΓ = 15}$

β) $E = \dfrac{AΓ \cdot BΓ}{2} = \dfrac{8 \cdot 15}{2} = \boxed{60}$ τ.μ.

γ) Η κλίμακα + τοίχος + έδαφος σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο: υποτείνουσα = 17 m, μία κάθετη (απόσταση από τοίχο) = 8 m. Άρα ύψος (άλλη κάθετη) = $\sqrt{289 - 64} = \boxed{15\text{ m}}$.

Λύσεις Διαγωνίσματος 2ου

ΘΕΜΑ 1 (Θεωρία)
α) Άρρητος: αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα $\dfrac{μ}{ν}$ με μ, ν ακέραιους και $ν \neq 0$. Παραδείγματα: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, π$.

β)
  1. Λ — $\sqrt{16} = 4$, που είναι ρητός (φυσικός).
  2. Λ — ισχύει $\sqrt{α^2} = |α|$ (πάντα μη αρνητικό).
  3. Σ — $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$.
ΘΕΜΑ 2 (Θεωρία)
α) Γραμμική συνάρτηση: $f(x) = αx + β$ με $α \neq 0$. Το γράφημά της είναι ευθεία γραμμή.
• α: κλίση — $α > 0$: ανερχόμενη/αύξουσα, $α < 0$: φθίνουσα
• β: τεταγμένη στην αρχή — σημείο τομής με τον $y'y$

β)
  • Παράλληλες: $α_1 = α_2$ και $β_1 \neq β_2$
  • Ταυτίζονται: $α_1 = α_2$ και $β_1 = β_2$
  • Τέμνονται: $α_1 \neq α_2$
ΘΕΜΑ 3 (Άσκηση)
α) $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $A = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \boxed{6\sqrt{2}}$

β) $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1$. $(\sqrt{5})^2 = 5$. $B = 1 + 5 = \boxed{6}$

γ) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Επειδή $\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2$, $2-\sqrt{5} < 0$, άρα $|2-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-2 = \boxed{\sqrt{5}-2}$.
ΘΕΜΑ 4 (Άσκηση)
α) $f(0) = -6$, $f(2) = 0$, $f(-1) = -9$

β) $3x - 6 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 2}$

γ) Με τον $x'x$ (y=0): $(2, 0)$. Με τον $y'y$ (x=0): $(0, -6)$.
Η ευθεία διέρχεται από τα δύο αυτά σημεία.
ΘΕΜΑ 5 (Άσκηση)
α) $f_A(x) = 5x + 20$, $f_B(x) = 8x$

β) $5x + 20 = 8x \Rightarrow 3x = 20 \Rightarrow x = \dfrac{20}{3} \approx \boxed{6{,}67}$ ώρες

γ) Για x μεγαλύτερο από 6,67 ώρες, ισχύει $f_A(x) < f_B(x)$, δηλαδή συμφέρει η Α.

Λύσεις Διαγωνίσματος 3ου

ΘΕΜΑ 1 (Θεωρία)
α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω:
$ημω = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$, $συνω = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$, $εφω = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}$

β) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΔ (ορθή στο Δ) με οξεία ω στο Ο.
$\dfrac{ημω}{συνω} = \dfrac{\dfrac{AΔ}{OA}}{\dfrac{OΔ}{OA}} = \dfrac{AΔ}{OA} \cdot \dfrac{OA}{OΔ} = \dfrac{AΔ}{OΔ} = εφω$ ✓
ΘΕΜΑ 2 (Θεωρία)
α) Πυθαγόρειο Θεώρημα: σε ορθογώνιο τρίγωνο, $α^2 = β^2 + γ^2$ (α = υποτείνουσα, β, γ = κάθετες).

β)
  1. Σ — η υποτείνουσα είναι απέναντι από την ορθή γωνία (μεγαλύτερη).
  2. Σ — $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
  3. Λ — για οξεία γωνία ισχύει $0 < ημω < 1$.
  4. Λ — η εφαπτομένη είναι ο λόγος απέναντι/προσκείμενη, όχι /υποτείνουσα.
ΘΕΜΑ 3 (Άσκηση)
α) $α^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \Rightarrow \boxed{α = 17}$

β) $E = \dfrac{8 \cdot 15}{2} = \boxed{60}$ τ.μ.

γ) $Π = 8 + 15 + 17 = \boxed{40}$.
ΘΕΜΑ 4 (Άσκηση)
α) $BΓ^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow \boxed{BΓ = 25}$ cm

β) Για γωνία Β: απέναντι ΑΓ = 20, προσκείμενη ΑΒ = 15, υποτείνουσα ΒΓ = 25.
$ημ\widehat{B} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$, $συν\widehat{B} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$, $εφ\widehat{B} = \dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}$

γ) $\dfrac{ημ\widehat{B}}{συν\widehat{B}} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} = εφ\widehat{B}$ ✓
ΘΕΜΑ 5 (Άσκηση)
α) $εφω = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15} \approx \boxed{0{,}133}$

β) Πραγματικό μήκος = υποτείνουσα: $\sqrt{30^2 + 4^2} = \sqrt{900 + 16} = \sqrt{916} \approx \boxed{30{,}27}$ m

γ) $ημω = \dfrac{4}{\sqrt{916}} \approx \dfrac{4}{30{,}27} \approx \boxed{0{,}132}$

Λύσεις Διαγωνίσματος 4ου

ΘΕΜΑ 1 (Θεωρία)
α) Εγγεγραμμένη γωνία: γωνία με κορυφή πάνω στον κύκλο και πλευρές χορδές του.
Επίκεντρη γωνία: γωνία με κορυφή το κέντρο του κύκλου.

β) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο: $\text{εγγεγρ.} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{επίκεντρη}$.

γ) Η εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι 90° (αφού η επίκεντρη = 180°).
ΘΕΜΑ 2 (Θεωρία)
α) Μήκος κύκλου: $L = 2πρ$ · Εμβαδό κυκλικού δίσκου: $E = πρ^2$.

β) Ο αριθμός π ορίζεται ως ο σταθερός λόγος του μήκους κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του: $π = \dfrac{L}{δ} \approx 3{,}14$.

γ) Γωνία κανονικού ν-γώνου: $φ_ν = \dfrac{(ν-2) \cdot 180°}{ν}$.
ΘΕΜΑ 3 (Άσκηση)
α) $\widehat{AΓB} = \dfrac{1}{2} \cdot 120° = \boxed{60°}$

β) Κανονικό πεντάγωνο (ν=5): $φ_5 = \dfrac{3 \cdot 180°}{5} = \boxed{108°}$

γ) Κανονικό δωδεκάγωνο (ν=12): $φ_{12} = \dfrac{10 \cdot 180°}{12} = \boxed{150°}$.
ΘΕΜΑ 4 (Άσκηση)
α) $L = 2π \cdot 7 = \boxed{14π}$ cm $\approx 43{,}98$ cm

β) $E = π \cdot 7^2 = \boxed{49π}$ cm² $\approx 153{,}94$ cm²

γ) Εμβαδό δακτυλίου = $π(R^2 - ρ^2) = π(100 - 36) = \boxed{64π}$ cm² $\approx 201{,}06$ cm².
ΘΕΜΑ 5 (Άσκηση)
α) $L = 2π \cdot 0{,}4 = \boxed{0{,}8π}$ m $\approx 2{,}51$ m

β) Σε μία στροφή ο τροχός διανύει την περίμετρό του = $\boxed{0{,}8π}$ m

γ) $50 \cdot 0{,}8π = \boxed{40π}$ m $\approx 125{,}66$ m

δ) $\dfrac{80π}{0{,}8π} = \boxed{100}$ στροφές.

Λύσεις Διαγωνίσματος 5ου

ΘΕΜΑ 1 (Θεωρία)
α)
• Τρίγωνο: $E = \dfrac{β \cdot υ}{2}$
• Παραλληλόγραμμο: $E = β \cdot υ$
• Ρόμβος: $E = \dfrac{δ_1 \cdot δ_2}{2}$
• Τραπέζιο: $E = \dfrac{(Β + β) \cdot υ}{2}$

β) Πυθαγόρειο: Σε ορθογώνιο τρίγωνο, $α^2 = β^2 + γ^2$ (α = υποτείνουσα).

γ) Εμβαδόν κυκλικού δίσκου: $E = πρ^2$.
ΘΕΜΑ 2 (Θεωρία)
α) Ανάλογα: ο λόγος τους είναι σταθερός — $\dfrac{y}{x} = α$ ή $y = αx$.
Αντιστρόφως ανάλογα: το γινόμενό τους είναι σταθερό — $x \cdot y = α$ ή $y = \dfrac{α}{x}$.

β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο:
$ημω = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$, $συνω = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$.
ΘΕΜΑ 3 (Άσκηση)
α) $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. $(3\sqrt{2})^2 = 18$. $2\sqrt{16} = 8$. $A = 18 - 8 = \boxed{10}$

β) ΕΚΠ=6: $2(2x-1) - 3(x+1) = x-5$
$4x - 2 - 3x - 3 = x - 5$
$x - 5 = x - 5 \Rightarrow 0x = 0$
→ Ταυτότητα (αληθεύει για κάθε x).
ΘΕΜΑ 4 (Άσκηση)
α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο (ορθή στο Α): $BΓ^2 = AB^2 + AΓ^2$
$15^2 = 9^2 + AΓ^2 \Rightarrow AΓ^2 = 225 - 81 = 144 \Rightarrow \boxed{AΓ = 12}$

β) $E = \dfrac{AB \cdot AΓ}{2} = \dfrac{9 \cdot 12}{2} = \boxed{54}$ τ.μ.

γ) Για γωνία Β: απέναντι ΑΓ = 12, προσκείμενη ΑΒ = 9, υποτείνουσα ΒΓ = 15.
$ημ\widehat{B} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$, $συν\widehat{B} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$, $εφ\widehat{B} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$.
ΘΕΜΑ 5 (Άσκηση)
α) $L = 2π \cdot 20 = \boxed{40π}$ m $\approx 125{,}66$ m

β) Εμβαδό πάρκου: $E_1 = π \cdot 20^2 = \boxed{400π}$ τ.μ. $\approx 1256{,}64$ τ.μ.

γ) Εμβαδό πισίνας: $E_2 = π \cdot 8^2 = \boxed{64π}$ τ.μ. $\approx 201{,}06$ τ.μ.

δ) Εμβαδό γρασιδιού (δακτύλιος): $E = E_1 - E_2 = 400π - 64π = \boxed{336π}$ τ.μ. $\approx 1055{,}58$ τ.μ.