Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 82 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:82 από 82
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
2.1 Η Έννοια της Παραγώγου
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #24756Έστω συνάρτηση f:R→R με f(0)=0, για την οποία ισχύει ότι x→0limxf(x)=2.
α)Να αποδείξετε ότι f′(0)=2.
β)Να βρείτε το x→0limf(x).
γ)Να βρείτε το x→0limημxf(x).
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #25234Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,+∞)→R και τη συνάρτηση g(x)=21x−21, με x∈R. Οι γραφικές παραστάσεις Cf, Cg των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Γνωρίζουμε ότι οι Cf, Cg τέμνονται στο σημείο A(1,0), ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ότι η Cf δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τον άξονα x΄x εκτός από τα σημεία Ο και Α.
α)Να υπολογίσετε το x→1−limg(x)1.
β)Αν είναι x→0limxf(x)=1, να υπολογίσετε το f′(0).
γ)Να υπολογίσετε το x→0−limf(x)g(x).
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36840Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις 2 παραγωγίσιμων συναρτήσεων, των f και h. Και οι 2 γραφικές παραστάσεις εφάπτονται του άξονα x΄x στο σημείο του A(6,0). Γνωρίζουμε ότι η f παίρνει θετικές τιμές κοντά στο 6, ενώ η h παίρνει αρνητικές τιμές αριστερά του 6 και θετικές τιμές δεξιά του 6.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού κάθε μίας από τις συναρτήσεις f και h.
β)Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια, δικαιολογώντας την απάντησή σας: i. x→6limf(x)1 ii. x→6limh(x)1 iii. x→6limx−6f(x)
2.2 Παράγωγος Συνάρτηση - Κανόνες Παραγώγισης
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #27315Δίνεται η συνάρτηση f(x)=⎩⎨⎧x−2x2−4,αx2−4,x<2x≥2 με α∈R.
α)Να βρείτε τα πλευρικά όρια της f στο x0=2, δηλαδή τα x→2−limf(x) και x→2+limf(x).
β)Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x0=2.
γ)Αν α=2, να βρείτε όπου ορίζεται την παράγωγο της συνάρτησης f.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #31743Δίνεται η συνάρτηση f:R→R με τύπο f(x)=xημx+4 για κάθε x∈R.
α)Να βρείτε την παράγωγο της f και να υπολογίσετε τις τιμές f′(0) και f′(2π).
β)Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση φ, με φ(x)=f′(x)−31, x∈R, ισχύουν φ(0)<0 και φ(2π)>0.
γ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση φ(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,2π).
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34437Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=lnx+2x, με x>0, και g(x)=ex+2, με x∈R.
α)Να ορίσετε τη συνάρτηση f∘g.
β)Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g και να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1.
γ)Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της g.
2.3 Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #24757Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της A(0,1) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45∘.
α)Να αποδείξετε ότι f′(0)=1.
β)Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A(0,1).
γ)Να αποδείξετε ότι x→0limxf(x)−1=1.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #25762Δίνεται η συνάρτηση f(x)={−x2+x,ημx,x≤0x>0
α)Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=0.
β)Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 και ότι f′(0)=1.
γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της O(0,0).
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26630Δίνεται η συνάρτηση f(x)=⎩⎨⎧ex,1,συνx,x<0x=0x>0
α)Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=0.
β)Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0.
γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x=2π.
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26712Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f τρίτου βαθμού, η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα [0,4], και της παραγώγου της f′.
α)Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης f στο x0=2.
β)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο x0=2.
γ)Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x΄x.
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #28302Έστω f:R→R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(0)=−2 και f′(0)=0. Έστω επίσης η συνάρτηση g:R→R με g(x)=−x, και η σύνθεσή τους g∘f:R→R.
α)Να βρείτε την τιμή (g∘f)(0).
β)Να βρείτε την παράγωγο g′(−2).
γ)Να βρείτε την παράγωγο της g∘f στο x0=0.
δ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g∘f στο σημείο με τετμημένη x0=0.
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #33816Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ex και g(x)=x2−x+2, με x∈R. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
α)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(0,1).
β)Να δείξετε ότι η ευθεία y=x+1 εφάπτεται της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της B(1,2).
γ)Αφού αντιγράψετε το σχήμα, να σχεδιάσετε πρόχειρα στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y=x+1.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #33632Δίνεται η συνάρτηση f(x)={ex,−x2+1,x≤0x>0
α)Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0=0 και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
β)Να εξετάσετε αν ορίζεται η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(0,f(0)).
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28340Έστω μια συνάρτηση f:(−∞,0)→R, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x0=−1, και η συνάρτηση g:R→R με g(x)=−x+1. Δίνεται ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(−1,f(−1)) έχει εξίσωση y=g(x).
α)Να βρείτε το f(−1) και το f′(−1).
β)i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f∘g και g∘f. ii. Να βρείτε τις παραγώγους (f∘g)′(2) και (g∘f)′(−1).
γ)Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf∘g στο σημείο της με τετμημένη x1=2 και η εφαπτομένη της Cg∘f στο σημείο της με τετμημένη x0=−1 ταυτίζονται.
2.4 Ρυθμός Μεταβολής
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #25257Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα παράθυρο, το οποίο αποτελείται από το ορθογώνιο ΒΓΔΕ και το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΕ. Είναι AP=0,8m και BE=1,6m. Ακόμη, AM=xm και BΓ=1m. Το ορατό κάτω μέρος ΚΛ μιας ηλεκτροκίνητης σίτας κατεβαίνει παράλληλα προς την αρχική της θέση ΗΖ, με σταθερό ρυθμό, ώστε το Μ να διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΝ (με AM=0). Αν E=E(x) είναι το εμβαδό του παραθύρου που καλύπτει η σίτα, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδό E, σε τετραγωνικά μέτρα, δίνεται κατά κλάδους: είναι E(x)=x2 όταν 0<x<54, και E(x)=58x−2516 όταν 54≤x≤59.
β)Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E ως προς x, όταν x=54m, είναι ίσος με E′(54)=58 τετραγωνικά μέτρα ανά μέτρο.
γ)Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού E ως προς τον χρόνο t, τη χρονική στιγμή για την οποία ισχύει x=54m, αν δίνεται επιπλέον ότι x′(t)=0,08 μέτρα ανά δευτερόλεπτο για κάθε t≥0.
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28685
α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex+xex=3e2, x∈(0,+∞) έχει μοναδική ρίζα την x=2.
β)Ένα κινητό M ξεκινά από το σημείο N(0,1) και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y=ex, x≥0, έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 2 cm ανά δευτερόλεπτο. i. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του τριγώνου OAM, όπου O(0,0), A(x,0) και M(x,y), είναι E(x)=21xex, x≥0. ii. Να βρείτε τη θέση του κινητού, τη χρονική στιγμή t0, κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E είναι 3e2 τετραγωνικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33577Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο απεικονίζεται μια αγροικία στην θέση Β του αρνητικού ημιάξονα Ox′. Δυτικά της αγροικίας, κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox, υπάρχει ένας λόφος, το ύψος του οποίου δίνεται από τη συνάρτηση f(x)=x για x≥0. Όλες οι συντεταγμένες μετρούνται σε μέτρα. Καθώς ο ήλιος αρχίζει να δύει, ο λόφος ρίχνει στην πεδιάδα την σκιά του ΟΣ, η οποία και μεγαλώνει με την πάροδο του χρόνου t, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θεωρούμε t=0 τη στιγμή που ο ήλιος ρίχνει κάθετα τις ακτίνες του στο σημείο Ο του λόφου, ενώ στη συνέχεια κινούμενος προς τα δυτικά, αρχίζει να δημιουργείται η σκιά. Ας είναι ω^=PΣO.
α)Αν το σημείο P έχει συντεταγμένες P(xP,yP), να αποδείξετε ότι η τετμημένη του σημείου Σ είναι xΣ=−xP.
β)Να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή t>0 ισχύει εφ(ω(t))=21(xP(t))−21.
γ)Να βρείτε πόσο γρήγορα μεγαλώνει η σκιά (ΟΣ) τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία οι ακτίνες του ήλιου σχηματίζουν γωνία ω=6π με τον οριζόντιο άξονα, ενώ αυτή τη χρονική στιγμή t0 η γωνία ω μειώνεται με ρυθμό 161 rad ανά λεπτό. Δίνεται ότι συν2ω1=1+εφ2ω.
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36815Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [−2,2], για την οποία ισχύει f2(x)+x2=4 για κάθε x∈[−2,2].
α)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x)=0.
β)Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,1), τότε να βρείτε τον τύπο της f.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
δ)Ένα κινητό κινείται κατά μήκος της καμπύλης της f. Καθώς περνάει από το σημείο B(−1,3), η τεταγμένη του y αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x του κινητού τη χρονική στιγμή που περνάει από το B.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36787Δίνεται η συνάρτηση f:R→R με f(x)=x3+41x.
α)Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(α,f(α)) έχει εξίσωση y=(3α2+41)x−2α3.
β)Ένα αυτοκίνητο κινείται τη νύχτα, κατά μήκος ενός επίπεδου δρόμου. Θεωρήστε το αυτοκίνητο ως σημείο στο επίπεδο Oxy και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, ως τον δρόμο που αυτό κινείται, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0, που το αυτοκίνητο βρίσκεται στο σημείο A0, οι προβολείς του φωτίζουν μια πινακίδα που βρίσκεται στο σημείο B(0,41). i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου A0. ii. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t0, είναι 2, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του αυτοκινήτου, τη χρονική στιγμή t0.
2.5 Θεώρημα Rolle - Θεώρημα Μέσης Τιμής
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #31643Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x4−3x3−x2+9x, x∈[1,2].
α)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [1,2].
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3−9x2−2x+9=0 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (1,2).
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36842Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις 3 παραγωγίσιμων συναρτήσεων των f, g και h, οι οποίες εφάπτονται του άξονα x′x στο σημείο του Α(6, 0).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού κάθε μίας από τις συναρτήσεις f, g και h.
β)Να εξετάσετε για ποια ή ποιες από τις παραπάνω συναρτήσεις: i. Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο πεδίο ορισμού τους. ii. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της παραγώγου της.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36851Δίνεται η συνάρτηση f που ορίζεται κατά κλάδους: είναι f(x)=−5x2−3x+1 για κάθε x≤0, και f(x)=x2−3x+1 για κάθε x>0.
α)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0.
β)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0.
γ)Να δικαιολογήσετε γιατί μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα [−1,1] και να βρείτε ένα τουλάχιστον x0∈(−1,1) για το οποίο ισχύει f′(x0)=0.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #24283Δίνεται η συνάρτηση f που ορίζεται κατά κλάδους: είναι f(x)=x2−3 για κάθε x∈[−1,2], και f(x)=x−1 για κάθε x∈(2,5].
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής.
β)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x0=2.
γ)Να εξετάσετε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, ικανοποιεί η συνάρτηση f στο διάστημα [−1,5].
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36827Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=lnx, x>0 και g(x)=e−x, x∈R.
α)Να δικαιολογήσετε ότι η συνάρτηση g έχει αντίστροφη και να αποδείξετε ότι g−1=−f.
β)Να αποδείξετε ότι (g∘f)(x)=x1, x∈(0,+∞).
γ)Έστω h(x)=(g∘f)(x). Να βρείτε τον μοναδικό αριθμό ξ ο οποίος ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την συνάρτηση h στο διάστημα [2,8].
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #29150Η συνάρτηση x(t)=(t−2)(t−1)2, σε μέτρα, για κάθε χρονική στιγμή t, σε δευτερόλεπτα, καθορίζει τη θέση ενός κινητού Α, που κινήθηκε πάνω στον άξονα x΄x στο χρονικό διάστημα από 0 έως 3 δευτερόλεπτα.
α)i. Να βρείτε πότε το κινητό Α είχε ταχύτητα μηδέν. ii. Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το κινητό Α κινήθηκε προς τα δεξιά και αυτά που κινήθηκε προς τα αριστερά.
β)Να βρείτε το συνολικό διάστημα S που διένυσε το κινητό Α.
γ)Να αποδείξετε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης του κινητού Α, από τη χρονική στιγμή 1 δευτερόλεπτο έως τη χρονική στιγμή 35 δευτερόλεπτα, υπάρχει τουλάχιστον μια χρονική στιγμή κατά την οποία η στιγμιαία ταχύτητα του Α ήταν ίση με τη μέση ταχύτητα που είχε το Α στο διάστημα αυτό.
2.6 Συνέπειες Θ.Μ.Τ. - Μονοτονία Συνάρτησης
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23199Έστω f:(1,+∞)→R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, ώστε για κάθε x>1 να ισχύει xf(x)f′(x)=21 και f(e)=1.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f2(x)−lnx, x>1 είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της f.
β)Έστω f(x)=lnx, x>1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(−e,0) και Β(e, 1) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο Β.
γ)Να αποδείξετε ότι για κάθε x>1 ισχύει x+11<f2(x+1)−f2(x) και f2(x+1)−f2(x)<x1.
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33999Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)→R για την οποία ισχύει x1≤f(x)≤1+x1, για κάθε x∈(0,+∞).
α)Να αποδείξετε ότι x→0+limf(x)=+∞.
β)Αν επιπλέον για κάθε x∈(0,+∞) το γινόμενο (x+1)f′(x)⋅ln(x+1) ισούται με −f(x), τότε: i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)⋅ln(x+1), x>0, είναι σταθερή. ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈(0,+∞) ισχύει xln(x+1)≤g(x) και g(x)≤ln(x+1)+xln(x+1), και έπειτα να βρείτε τον τύπο της f.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #23937Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+x−1,x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
β)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο σημείο της Α(1,f(1)).
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #25764Δίνεται η συνάρτηση f(x)={ln(x+1),x3,x≥0x<0
α)Να εξετάσετε αν είναι συνεχής στο x0=0.
β)Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #27082Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1)3−3x, x∈R.
α)Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
β)Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [2,+∞) είναι το διάστημα [−5,+∞).
γ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα στο διάστημα [2,+∞).
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #29211Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x)=1−x21, x<0.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
β)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ)i. Να αποδείξετε ότι η f είναι «1-1». ii. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f, την f−1.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #33633Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx+3x+2, x>0.
α)Να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.
β)i. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ii. Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση f(x)+2023=0 έχει θετική λύση.
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23375Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x2+1−x), όπου x∈R.
α)Να αποδειχθεί ότι f′(x)=−x2+11.
β)Αφού πρώτα δικαιολογήσετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται, να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το R.
γ)Να λυθεί η ανίσωση f−1(x+f(x))>x, όπου x∈R.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23376Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x2+1−x, με x∈R, και g(x)=lnx, με x∈(0,+∞). Αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x′x για κάθε x∈R, τότε:
α)Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h=g∘f.
β)Να αποδείξετε ότι: i. η συνάρτηση h είναι περιττή. ii. η συνάρτηση h είναι «1-1».
γ)Να λυθεί η εξίσωση h(x−1)+h(lnx1)=0, με x>0.
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #26605Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύουν f2(x)−5=x2 για κάθε x∈R και f(2)=3.
α)Να αποδείξετε ότι: i. f(x)=0 για κάθε x∈R. ii. f(x)=x2+5 για κάθε x∈R.
β)Δίνεται η συνάρτηση g με g(x)=x2−συνx, με x∈R. Να αποδείξετε ότι: i. Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−∞,0] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,+∞). ii. Η εξίσωση f2(x)=5+συνx έχει ακριβώς δυο ρίζες, αντίθετες μεταξύ τους, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα (−π,π).
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27319Δίνεται η συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το (0,+∞), όπου το f(x) ισούται με (x−2)ex+(x−1)lnx.
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x′x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0 στο διάστημα (1,2).
β)Να βρείτε την παράγωγο συνάρτηση f′ και να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη της είναι οριζόντια.
γ)Ένας μαθητής σχεδίασε σε ένα λογισμικό τη γραφική παράσταση της f και διαπίστωσε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον x′x στο σημείο x0 του α) ερωτήματος αλλά και σε ένα ακόμη σημείο. Βοηθήστε το μαθητή να αποδείξει ότι πράγματι η Cf τέμνει τον άξονα x′x σε δύο ακριβώς σημεία.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27455Δίνονται οι συναρτήσεις f:R→R και g:R−{2}→R. Η f ορίζεται κατά κλάδους: είναι f(x)=−1 για κάθε x<2, και f(x)=ex−2−2 για κάθε x≥2. Επίσης είναι g(x)=−21x2+2x−3.
α)Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία: i. τη συνάρτηση f και να αποδείξετε ότι f(x)≥−1 για κάθε x∈R. ii. τη συνάρτηση g και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β)Να δικαιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g για κάθε x=2.
γ)Δίνεται ο ισχυρισμός: «Αν f(x)>g(x) κοντά στο x0, τότε και x→x0limf(x)>x→x0limg(x).» Να εξετάσετε αν είναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #31793Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=lnx+1−x1, με x>0, και g(x)=ln(lnx), με x>1.
α)Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα την x=1.
β)Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Τ(e, g(e)). Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη της (ε).
γ)Υποθέτουμε ότι g(x)<f(x) για κάθε x>1. Ένα σημείο Μ(x, 0) κινείται με σταθερή ταχύτητα 2 εκατοστά ανά δευτερόλεπτο πάνω στον θετικό ημιάξονα, προς τα δεξιά. Θεωρούμε τα σημεία Β(x, f(x)) και Γ(x, g(x)). Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΒΓ τη χρονική στιγμή που το Μ βρίσκεται στη θέση (e2,0).
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #32524Έστω η συνάρτηση g:(0,+∞)→R με g(x)=xe−lnx.
α)Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία.
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e(1−x)=xlnx έχει ακριβώς μία λύση, την x=1.
γ)Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e−xlnx−exx2+x. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Να δείξετε ότι x→1+limf(x)=−∞.
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33388Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x+ημx για κάθε x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.
β)i. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A(2π,π+1). ii. Να δείξετε ότι η ευθεία y=2x+1 εφάπτεται της Cf σε άπειρα σημεία.
γ)Να δείξετε ότι: i. ∣f′(x)∣≤3 για κάθε x∈R. ii. ∣f(β)−f(α)∣≤3∣β−α∣.
2.7 Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #23197Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2−2x, x∈R.
α)Να βρείτε δύο διαφορετικούς αριθμούς α,β ώστε f(α)=f(β). Κατόπιν να αιτιολογήσετε γιατί η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται.
β)Να μελετήσετε τη συνάρτηση, με τη βοήθεια της παραγώγου ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Cf της f.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #25761Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x(lnx−1)+1, x>0.
α)Να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β)Να λύσετε την εξίσωση xlnx+1=x.
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26707Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f′ μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f τρίτου βαθμού η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα [0,5].
α)Ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσης f′(x)=0;
β)Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,3] και γνησίως αύξουσα στο [3,5].
γ)Να βρείτε το είδος ακροτάτου που παρουσιάζει η f στο x0=3. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #32390Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x4−4x+2, με x∈[0,2].
α)Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
β)Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34025Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx1, x∈(1,+∞).
α)i. Να δείξετε ότι f′(x)<0 με x∈(1,+∞). ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
β)i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε την αντίστροφη της f.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23311Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο με άθροισμα καθέτων πλευρών ίσο με 1. Αν η μία κάθετη πλευρά του έχει μήκος x, τότε:
α)Να βρείτε την συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του x και να την εξετάσετε ως προς τα ακρότατα.
β)Να βρείτε την συνάρτηση που εκφράζει την υποτείνουσα του τριγώνου συναρτήσει του x και να την εξετάσετε ως προς τα ακρότατα.
γ)Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή του ύψους υ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του τριγώνου είναι ίση με 42, όταν x=21.
δ)Αν θ η οξεία γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά x, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θ τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία x(t0)=21, δεδομένου ότι η πλευρά x αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,1 μέτρα ανά δευτερόλεπτο.
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23210Θεωρούμε συνάρτηση f:R→R δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης f′(x). Γνωρίζουμε ότι: · x→−∞limf(x)=+∞ και x→+∞limf(x)=−∞ · τα α, β είναι οι τετμημένες των μοναδικών δύο σημείων στα οποία τέμνει τον άξονα x′x η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης f′(x) · f(α)<0 και f(β)>0 · η γραφική παράσταση της f′(x) παρουσιάζει ολικό ακρότατο στη θέση x0.
α)Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα η f(x).
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες.
γ)Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈R ισχύει f(x+1)−f(x)≤2.
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23215Δίνεται συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει f′(x)=0 για κάθε x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
β)Δίνεται επιπλέον ότι η συνάρτηση f′ είναι συνεχής, f(0)=−1 και f(2)=1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x.
γ)i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x′x σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη x0∈(0,2).
δ)Αν g είναι μια συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι g′(x)=−f(x) για κάθε x∈R, να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0.
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #24579Δίνεται συνάρτηση f:(0,+∞)→R, με τύπο f(x)=2lnx−x.
α)i. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης.
β)Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=κ, κ∈R.
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #24587Δίνεται η συνάρτηση f:(0,+∞)→R με τύπο f(x)=2lnx−x και η ευθεία ε:y=x. Γνωρίζουμε ότι η απόσταση ενός σημείου M(x0,y0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f από την ευθεία ε είναι d(M,ε)=2∣x0−lnx0∣.
α)Να αποδείξετε ότι η απόσταση του σημείου M(x0,y0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f από την ευθεία ε:y=x είναι d(M,ε)=2(x0−lnx0).
β)i. Να βρείτε το σημείο της Cf, το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία ε. ii. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση.
γ)Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη με την ευθεία y=x και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης.
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #26633Με συρματόπλεγμα μήκους 400 μέτρων, έχουμε περιφράξει μια περιοχή σχήματος ορθογωνίου, από τις τρεις πλευρές της, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η τέταρτη πλευρά, με μήκος x μέτρα, είναι ευθυγραμμισμένη κατά μήκος της όχθης ενός ποταμού.
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδό της περιφραγμένης περιοχής συναρτήσει του μήκους x, δίνεται από τον τύπο: E(x)=200x−21x2 με 0<x<400.
β)Να υπολογίσετε την τιμή του x, για την οποία το εμβαδό E(x) της περιφραγμένης περιοχής γίνεται μέγιστο.
γ)Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού E(x) της περιφραγμένης περιοχής.
δ)Ο Ιάσωνας ισχυρίζεται ότι υπάρχει μοναδική τιμή του x, που ανήκει στο διάστημα (0,200) για την οποία το εμβαδό της περιφραγμένης περιοχής ισούται με 300π τετραγωνικά μέτρα. Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός του Ιάσωνα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27092Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f′ μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f τρίτου βαθμού.
α)Με τη βοήθεια του σχήματος, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
β)Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A(0,−1) και B(3,2), τότε να βρείτε τα ακρότατα της f.
γ)Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
δ)Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=α, α∈R, στο διάστημα (0,3).
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27650Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx, x>0 και τα σημεία A(0,1) και B(1,3).
α)i. Να βρείτε σημείο M0 της Cf τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη να είναι παράλληλη προς την ευθεία AB. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο M0.
β)Έστω E(x)=21(2x+1−lnx), x>0 η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ABM, όπου M ένα τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο όταν το σημείο M ταυτίζεται με το M0 του α) ερωτήματος.
γ)Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο M1 της Cf με τετμημένη x1∈(1,2) τέτοιο, ώστε το τρίγωνο ABM1 να είναι ορθογώνιο στην κορυφή A.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28337Έστω f:R→R μία παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η γραφική παράσταση C της παραγώγου f′ είναι οι δύο ημιευθείες που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Αυτές έχουν κοινή αρχή το σημείο A(0,−2) και διέρχονται η μία από το σημείο B(1,2) και η άλλη από το Γ(−1,2).
α)Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα x′x.
β)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
γ)Να προσδιορίσετε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της f.
δ)Έστω ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Δ(1,0). Να αποδείξετε ότι η ευθεία AΔ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f.
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28338Έστω f:R→R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία έχει τοπικό ελάχιστο το f(2)=−32. Οι γραφικές παραστάσεις της f και της παραγώγου f′ τέμνονται στο σημείο A(−2,0).
α)Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία με τετμημένες: i. x1=2, ii. x2=−2.
β)Δίνεται επιπλέον ότι η f′ είναι πολυωνυμική συνάρτηση 2ου βαθμού και η γραφική παράσταση της f′ διέρχεται από το σημείο B(0,−12). Να αποδείξετε ότι: i. f′(x)=3x2−12, ii. f(x)=x3−12x−16, iii. η εξίσωση f(x)=−20 έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28342Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει τις κορυφές Α και Δ πάνω στον άξονα x'x και τις κορυφές Β και Γ πάνω στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ex, x<1 και g(x)=xe, x>1, αντίστοιχα. Έστω A(α,0) με α<1.
α)Να αποδείξετε ότι: i. η τετμημένη της κορυφής Δ είναι xΔ=e1−α, ii. το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι E(α)=e−αeα, α<1.
β)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.
γ)Να εξετάσετε αν υπάρχουν και πόσες τιμές του α, για τις οποίες το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ γίνεται ίσο με 1.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28532Ένας άνδρας βρίσκεται στο σημείο A μιας κυκλικής λίμνης ακτίνας 1 χιλιομέτρου και θέλει να φτάσει στο σημείο B της λίμνης, ώστε η AB να είναι διάμετρος του κύκλου. Θέλει να τα καταφέρει συνδυάζοντας δύο είδη κινήσεων: να κωπηλατήσει αρχικά με βάρκα κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AP έχοντας ταχύτητα 3 χιλιόμετρα ανά ώρα και στη συνέχεια τρέχοντας πάνω στην κυκλική περιφέρεια κατά μήκος του τόξου PB με ταχύτητα 6 χιλιόμετρα ανά ώρα. Έστω ότι η μεταβλητή γωνία PAB είναι θ ακτίνια. Δίνονται: το μήκος S ενός τόξου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία x ακτινίων σε κύκλο ακτίνας R είναι S=x⋅R, και ότι η απόσταση ισούται με τον χρόνο επί την ταχύτητα.
α)Να αποδείξετε ότι (AP)=2συνθ και ότι ο συνολικός χρόνος που θα χρειαστεί ο άνδρας για να κάνει τη μετάβαση από το A στο B είναι f(θ)=31(2συνθ+θ), με 0<θ<2π.
β)Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ για την οποία ο συνολικός χρόνος μετάβασης γίνεται μέγιστος.
γ)Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f στο (0,2π) είναι το (6π,18π+63].
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #28534Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα παράθυρο σε μια εκκλησία, το οποίο να αποτελείται από έναν ημικυκλικό δίσκο και από ένα ορθογώνιο, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. Η συνολική περίμετρος του παραθύρου θέλουμε να είναι σταθερή ίση με 4 μέτρα, αλλά το συνολικό εμβαδό του παραθύρου να είναι το μεγαλύτερο δυνατό. Έστω ότι η ακτίνα του ημικυκλίου είναι (AK)=x μέτρα και το ύψος του ορθογωνίου είναι (AΔ)=y μέτρα. Ονομάζουμε E(x) το συνολικό εμβαδόν του παραθύρου.
α)Να αποδείξετε ότι y=−2π+2x+2 και E(x)=−2π+4x2+4x, με x∈(0,π+24).
β)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του συνολικού εμβαδού του παραθύρου.
γ)Ονομάζουμε x0 την τιμή του x που μεγιστοποιεί το εμβαδόν E(x) και E(x0) το μέγιστο εμβαδό. Να υπολογίσετε το x→x0limE(x)−E(x0)ln(E(x)).
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #29149Δίνεται η συνάρτηση g:[−96,96]→R με g(x)=e96x+e−96x.
α)Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β)Αν α>0 και f(x)=2α[g(96)−g(x)], με x∈[−96,96], να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε x∈(−96,96).
γ)Για την ίδια συνάρτηση f, να προσδιορίσετε τον αριθμό α όταν επιπλέον είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f παριστάνει την αψίδα του Σεντ Λούις, η οποία έχει την ιδιότητα το πλάτος της να ισούται με το ύψος της.
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #29644Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα [−3,2] η οποία παρουσιάζει μέγιστο στο 0 το 3 και τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία A και B. Έστω g η συνάρτηση με g(x)=f(x)+x, x∈[−3,2].
α)Να αποδείξετε ότι: i. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [−3,2]. ii. Η εξίσωση g(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
β)Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (−1,2), να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο που η f παρουσιάζει μέγιστο, έχει εξίσωση y=x+3.
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #29927Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=lnxx, με πεδίο ορισμού το σύνολο (0,1)∪(1,+∞) και τιμές στο R.
α)Να βρείτε τα όρια x→0limf(x), x→1−limf(x), x→1+limf(x) και x→+∞limf(x).
β)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ)Δίνεται η εξίσωση ex=xα (1), με x>0. Να αποδείξετε ότι η (1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=α και να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης αυτής, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α.
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #31680Ένα γαλλικό μπιλιάρδο έχει μήκος 3,1 μέτρα και πλάτος 1,7 μέτρα. Ένας παίκτης χτυπάει την άσπρη μπάλα με τέτοιο τρόπο ώστε αυτή να χτυπήσει πρώτα στο σημείο A, μετά να κινηθεί ευθύγραμμα μέχρι το σημείο B και από εκεί να συνεχίσει ευθύγραμμα μέχρι το σημείο Γ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίνονται τα μήκη ΔB=x, ΔE=1,7, AΔ=1,5, ΓE=α και L=AB+BΓ, που εκφράζονται σε μέτρα.
α)Να αποδείξετε ότι L=L(x)=x2+2,25+(1,7−x)2+α2, για κάθε x∈(0,1017).
β)Δίνεται ακόμη ότι το L γίνεται ελάχιστο μόνο όταν το B απέχει 1,02 μέτρα από το Δ. Αν L′(x)=x2+2,25x2−(1,7−x)2+α2(1,7−x)2, για x∈(0,1017), να δείξετε ότι α=1.
γ)Αν L′′(x)>0 για κάθε x∈(0,1017), να υπολογίσετε το όριο x→1,02limL′(x)1, εφόσον υπάρχει.
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33596Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx και το σημείο A(0,2). Αν K(x,lnx) με x>0 τυχαίο σημείο της Cf και M(x0,lnx0) με x0>0 το σημείο εκείνο της Cf που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A, να αποδείξετε ότι:
α)η απόσταση AK συναρτήσει του x>0 είναι d(x)=x2+ln2x−4lnx+4.
β)x02+lnx0−2=0.
γ)η εφαπτομένη της Cf στο M: i. είναι κάθετη στην AM, ii. τέμνει τον άξονα xx′ στο σημείο (x03−x0,0).
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33642Έστω f:R→R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία f(0)=1 και για κάθε x∈R ισχύει f(x)+2x=f′(x)+x2.
α)Να αποδείξετε ότι αν g(x)=f(x)−x2, τότε ισχύει g′(x)=g(x) για κάθε x∈R.
β)Να αποδείξετε ότι f(x)=ex+x2, x∈R.
γ)Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο M(x0,f(x0)), με x0∈(−1,0), στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι οριζόντια.
δ)Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 και ότι για την ελάχιστη τιμή m της συνάρτησης ισχύει e−1<m<2.
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34440Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή των αξόνων το O(0,0), δίνεται το σημείο M(1,1). Μια ευθεία (ε) που διέρχεται από το M τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy στα σημεία A(x,0), x>0 και B(0,y), y>0 αντιστοίχως, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.
α)Για x∈(1,+∞) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OAB συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο E(x)=2(x−1)x2.
β)Να αποδείξετε ότι για x=2 το εμβαδόν του τριγώνου OAB παίρνει την ελάχιστη τιμή, η οποία και να βρεθεί.
γ)Να βρείτε την εφαπτομένη (ζ) της γραφικής παράστασης της E στο σημείο (3,E(3)) και τα σημεία Γ, Δ στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες x′x και y′y αντίστοιχα.
δ)Ένα σημείο K(x,y) κινείται πάνω στην ευθεία (ζ) και η τεταγμένη του αυξάνεται με ρυθμό μεταβολής 3 μονάδες ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του.
66.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34441Μία βιοτεχνία που ράβει ρούχα πρόκειται να ετοιμάσει μία παραγγελία για 600 παντελόνια σε μία ημέρα. Για το λόγο αυτό θα απασχολήσει ράφτες (άνδρες και γυναίκες), από το εργατικό δυναμικό της, που ράβουν 6 παντελόνια την ώρα και θα αμείβονται με 12 ευρώ την ώρα. Για τον συντονισμό και την εποπτεία των ραφτών, οι ιδιοκτήτες της βιοτεχνίας θα απασχολήσουν και μία από τις γυναίκες μοδίστρους της βιοτεχνίας ως επιστάτρια, την οποία θα πληρώνουν 20 ευρώ την ώρα. Επιπλέον οι ιδιοκτήτες της βιοτεχνίας θα πληρώνουν ασφαλιστικές εισφορές, 20 ευρώ την ημέρα για κάθε εργαζόμενο, συμπεριλαμβανομένης και της γυναίκας επιστάτριας. Αν x είναι ο αριθμός των ραφτών (άνδρες και γυναίκες) που θα απασχολήσει η βιοτεχνία για τη διεκπεραίωση της παραγγελίας τότε:
α)Να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος για την εκτέλεση της παραγγελίας είναι K(x)=20x+x2000+1220 ευρώ, με x>0.
β)Να αποδείξετε ότι αν οι ιδιοκτήτες της βιοτεχνίας απασχολήσουν για την εν λόγω παραγγελία 10 ράφτες, η παραγγελία αυτή θα εκτελεστεί με το ελάχιστο κόστος.
γ)Να βρείτε το ελάχιστο κόστος.
δ)Πόσες ώρες θα απασχοληθούν οι ράφτες, πέραν του οκταώρου (υπερωρία), ώστε η παραγγελία να εκτελεστεί με το ελάχιστο κόστος;
67.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36814Ένας αγρότης θέλει να περιφράξει σε ένα χωράφι μια περιοχή σχήματος ορθογωνίου με μεταβλητές διαστάσεις x, y ώστε να έχει εμβαδόν 800 τετραγωνικά μέτρα. Η μία πλευρά της περιοχής, μήκους x, θα είναι πέτρινη, ενώ για τις υπόλοιπες πλευρές θα χρησιμοποιήσει συρμάτινο φράχτη. Αν το κόστος περίφραξης για την πέτρινη πλευρά είναι 6 ευρώ ανά μέτρο και για τον συρμάτινο φράχτη είναι 2 ευρώ ανά μέτρο, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος της περίφραξης, συναρτήσει του x, είναι K(x)=8x+x3200, x>0.
β)Να βρείτε ποιες θα πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κτήματος ώστε το συνολικό κόστος περίφραξης να είναι ελάχιστο, και να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του.
γ)Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους αυξάνεται για κάθε x>0.
68.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #34026Δίνεται η συνάρτηση f(x)=1−2lnx, με x>0.
α)Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f.
β)Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f.
γ)Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=x2lnx, με x>0, έχει μέγιστη τιμή την g(e)=2e1.
δ)Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g.
2.8 Κυρτότητα - Σημεία Καμπής
69.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26736Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f′ μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f τρίτου βαθμού, η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα [−1,5].
α)Αν η κορυφή της παραβολής της γραφικής παράστασης της παραγώγου f′ είναι το σημείο A(2,−1), με τη βοήθεια του σχήματος να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο [−1,2] και κυρτή στο [2,5].
β)Ποια είναι η κλίση της f στο x0=2;
γ)Αν επιπλέον ισχύει ότι 3f(2)−1=0, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x0=2.
70.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #31527Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x4+3x2−8, x∈R.
α)Να την μελετήσετε ως προς την κυρτότητα.
β)Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο A(1,f(1)). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε).
γ)Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της Cf, διαφορετικό από το A, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην (ε).
71.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #32799Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f:[−1,1]→R και η ευθεία y=2. Αν η γραφική παράσταση της f′ διέρχεται από τα σημεία A(−1,1), B(1,1) και Γ(0,2), τότε με βάση το παρακάτω σχήμα:
α)Να εξηγήσετε γιατί ισχύει 1≤f′(x)≤2, για κάθε x∈[−1,1].
β)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
γ)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
72.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34438Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x3−15x2+24x, x∈R.
α)Να βρείτε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f και να λύσετε τις εξισώσεις f′(x)=0 και f′′(x)=0.
β)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τις θέσεις των σημείων καμπής.
73.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35172Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=ln(1+x2).
α)Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της.
β)Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να βρείτε τα σημεία καμπής της.
74.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23312Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [−2,2] τέτοια ώστε: f συνεχής στο [−2,2], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (−2,2) και f2(x)−2f(x)+x2−3=0, για κάθε x∈[−2,2].
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει σημεία καμπής.
β)Αν f(0)=3, i. να αποδείξετε ότι (f(x)−1)2=4−x2, για κάθε x∈[−2,2] και κατόπιν ότι f(x)=1+4−x2, x∈[−2,2]. ii. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση f(x)=συνx.
75.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #23531Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex−lnx−3.
α)Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0,+∞).
β)Να αποδείξετε ότι η f(x) παρουσιάζει θέση ολικού ελαχίστου σε κάποιο x0∈(0,1) με f(x0)<0.
γ)Να υπολογίσετε το x→x0limf(x)−f(x0)(f(x))2023.
76.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #24760Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex−lnx−λx, x>0, όπου λ∈R. Αν ισχύει e−λ=ee−1−λe, να αποδείξετε ότι:
α)η f είναι κυρτή.
β)υπάρχει ακριβώς ένα x0∈(1,e) με f′(x0)=0.
γ)για την f′ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο [1,e].
δ)η f παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο x0 που είναι το ex0(1−x0)+1−lnx0.
77.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #25745Δίνεται συνάρτηση f:[0,2]→R η οποία είναι συνεχής στο [0,2], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,2), και ισχύουν f(1)=1, f′(1)=0, f(0)=f(2) και (f′(x))2+f(x)f′′(x)<0, για κάθε x∈(0,2).
α)Να αποδείξετε ότι: i. f(x)=0 για κάθε x∈(0,2), ii. f(x)>0 για κάθε x∈(0,2).
β)Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
γ)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των ακροτάτων.
78.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27320Στο παρακάτω σχήμα δίνεται στο (0,+∞) η γραφική παράσταση της παραγώγου f′ μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το (0,+∞). Δίνεται επίσης ότι η f′ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο (0,+∞) με x→+∞limf′(x)=+∞.
α)Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f.
β)Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι: 1ον: «Η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 1». 2ον: «Υπάρχει μοναδικό κ∈(0,+∞) τέτοιο, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο σημείο M(κ,f(κ)) να ισούται με 2». Ποιοι από τους παραπάνω ισχυρισμούς του μαθητή είναι σωστοί; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
γ)Τι μπορούμε να πούμε για την κυρτότητα της f στο πεδίο ορισμού της; Να δικαιολογήσετε την όποια απάντησή σας.
79.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #27667Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex+2x2+2023, x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι: i. η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R. ii. το σύνολο τιμών της f′ είναι το R.
β)Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η εξίσωση ex+x=α έχει μοναδική ρίζα ρ.
γ)Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η συνάρτηση g(x)=αx−f(x) με x∈R, έχει μέγιστη τιμή την ρf′(ρ)−f(ρ).
80.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #31549Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx, με x>0. Δίνεται ότι e≈2,71.
α)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β)Να αποδείξετε ότι 20222023>20232022.
γ)Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
δ)Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f σε καθένα από τα διαστήματα [2021,2022] και [2022,2023], να αποδείξετε ότι 2f(2022)<f(2021)+f(2023).
81.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #31550Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex−lnx. Να αποδείξετε ότι:
α)η f είναι κυρτή.
β)η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο x0∈(21,1) το οποίο είναι μοναδικό.
γ)το ολικό ελάχιστο είναι το x01+x0.
δ)η εξίσωση f(x)=2 είναι αδύνατη.
82.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #33994Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R→R τέτοια, ώστε x→0limημxf(x)=0.
α)Να αποδείξετε ότι f(0)=0.
β)Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 με f′(0)=0.
γ)Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)⋅ημx, x∈R. i. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο (0,g(0)). ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι κυρτή.