Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

♾️Όριο στο +∞ και −∞

•
$x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ : καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα, οι τιμές $f (x)$ προσεγγίζουν τον αριθμό ℓ (η $f$ ορισμένη σε διάστημα $(α, + \infty)$ ).
•
Ομοίως ορίζεται το $x \to - \infty lim f (x)$ (για $f$ ορισμένη σε $(- \infty, β)$ ). Τα όρια στο άπειρο μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός ℓ, ή $+ \infty$ , ή $- \infty$ .

📈Βασικά όρια στο άπειρο

•
$x \to + \infty lim x^{ν} = + \infty$ και $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{ν}} = 0$ , για $ν \in N$ *.
▶️ Σύρε το x μακριά (μεγάλες τιμές) — δες την f να προσεγγίζει την οριζόντια ασύμπτωτη.
x = 8.40 · f(x) = 0.12 · σύρε το σημείο
Καθώς x → ±∞, η 1/x → 0 (ασύμπτωτη y = 0).
•
$x \to - \infty lim x^{ν} = + \infty$ αν ν άρτιος, $- \infty$ αν ν περιττός. Επίσης $x \to - \infty lim \frac{1}{x ^{ν}} = 0$ . Π.χ. $x \to - \infty lim x^{3} = - \infty$ , $x \to + \infty lim x^{2} = + \infty$ , $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0$ .

🧮Πολυώνυμα & ρητές στο άπειρο

•
Πολυώνυμο: $x \to \pm \infty lim P (x) = x \to \pm \infty lim (α_{ν} x^{ν})$ — μετράει ΜΟΝΟ ο μεγιστοβάθμιος όρος. Π.χ. $x \to - \infty lim (4 x^{5} - 3 x^{3} + 6 x^{2} - x + 7) = x \to - \infty lim 4 x^{5} = - \infty$ .
•
Ρητή: παίρνουμε τον λόγο των μεγιστοβάθμιων όρων αριθμητή και παρονομαστή. Π.χ. $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} = 2$ .
❓ Γιατί:Συγκρίνουμε τους βαθμούς: αν ο βαθμός του $P$ είναι μικρότερος από του $Q$ , το όριο είναι 0. Αν είναι ίσοι, το όριο είναι ο λόγος των συντελεστών. Αν είναι μεγαλύτερος, το όριο είναι +∞ ή −∞.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{3}}

;

2Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to - \infty lim x^{3}

;

3Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to + \infty lim (3 x^{2} - x + 1)

;

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3}

;

5Σωστό / Λάθος

Για το όριο πολυωνύμου στο

\pm \infty

μετράει μόνο ο μεγιστοβάθμιος όρος.

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to - \infty lim (- 2 x^{3} + x - 1)

;

7Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to + \infty lim \frac{x + 5}{x ^{3} + 1}

;

8Σωστό / Λάθος

Ισχύει

x \to + \infty lim \frac{ημ x}{x} = 0

9Σωστό / Λάθος

Ισχύει

x \to - \infty lim x^{4} = - \infty

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlg-1.7-gen3
Να υπολογίσετε το lim(x→+∞) $\frac{5 x + η μx}{x}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Χωρίζουμε το κλάσμα: $\frac{5 x + η μx}{x} = 5 + \frac{η μx}{x}$ . Η ημx είναι φραγμένη: $- 1 \leq η μx \leq 1$ , άρα $- \frac{1}{x} \leq \frac{η μx}{x} \leq \frac{1}{x}$ για $x > 0$ . Επειδή $\frac{1}{x}$
2. 2
  0 και $- \frac{1}{x}$
3. 3
  0, με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει $\frac{η μx}{x}$
4. 4
  0 (φραγμένο επί μηδενικό). Άρα το όριο ισούται με 5 + 0 lim(x→+∞) $\frac{5 x + η μx}{x} = 5$
2Μεσαίοlg-1.7-m1
Να βρείτε το $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x}{x ^{2} + 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ίδιος βαθμός αριθμητή και παρονομαστή.
2. 2
  Το όριο ισούται με τον λόγο των κυρίαρχων όρων: $\frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3$ .
3. 3
  Άρα $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x}{x ^{2} + 1} = 3$ .
3Εύκολοlg-1.7-gen2
Να υπολογίσετε το lim(x→+∞) $\frac{2 x + 5}{x ^{3} + 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κρατάμε τους μεγιστοβάθμιους όρους: $2 x$ στον αριθμητή, $x^{3}$ στον παρονομαστή. Ο λόγος τους είναι $\frac{2 x}{x}^{3} = \frac{2}{x ^{2}}$ . Ο βαθμός του αριθμητή (1) είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή (3), και ισχύει $\frac{1}{x ^{2}}$
2. 2
  0. lim(x→+∞) $\frac{2 x + 5}{x ^{3} + 1} = 0$
4Μεσαίοlg-1.7-m2
Να βρείτε το $x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} - x}{x ^{2} + 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Λόγος κυρίαρχων όρων: $\frac{2 x ^{3}}{x ^{2}} = 2 x$ .
2. 2
  Καθώς $x \to - \infty$ , το $2 x \to - \infty$ .
3. 3
  Άρα $x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} - x}{x ^{2} + 1} = - \infty$ .
5Εύκολοlg-1.7-gen1
Να υπολογίσετε το lim(x→+∞) $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} + x}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε ρητή συνάρτηση στο άπειρο κρατάμε μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους αριθμητή και παρονομαστή.
2. 2
  Μεγιστοβάθμιος αριθμητή: $3 x^{2}$ .
3. 3
  Μεγιστοβάθμιος παρονομαστή: $x^{2}$ .
4. 4
  Οι βαθμοί είναι ίσοι $(2 = 2)$ , άρα το όριο είναι ο λόγος των συντελεστών: $3 \frac{x ^{2}}{x ^{2}} = 3$ .
5. 5
  lim(x→+∞) $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} + x} = 3$
6Εύκολοlg-1.7-e2
Να βρείτε το $x \to + \infty lim (x^{3} + 2 x)$ .
Λύση βήμα-βήμα
Μετράει ο κυρίαρχος όρος: $x \to + \infty lim (x^{3} + 2 x) = x \to + \infty lim x^{3} = + \infty$ .
7Εύκολοlg-1.7-e1
Να βρείτε το $x \to + \infty lim (5 - \frac{2}{x})$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Καθώς $x \to + \infty$ , το $\frac{2}{x} \to 0$ .
2. 2
  Άρα $5 - \frac{2}{x} \to 5$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlg-1.7-gen4
Να υπολογίσετε το lim(x→+∞) $(x^{2} + 4 x - x)$ .
2Μεσαίοlg-1.7-gen3
Να υπολογίσετε το lim(x→+∞) $\frac{5 x + η μx}{x}$ .
3Μεσαίοlg-1.7-m2
Να βρείτε το $x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3} - x}{x ^{2} + 1}$ .
4Μεσαίοlg-1.7-m1
Να βρείτε το $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x}{x ^{2} + 1}$ .
5Δύσκολοlg-1.7-h1
Να βρείτε το $x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} + 3}$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όριο πολυωνύμου στο

+ \infty

- \infty

Βήματα

1Κράτησε ΜΟΝΟ τον μεγιστοβάθμιο όρο: $x \to \pm \infty lim P (x) = x \to \pm \infty lim (α_{ν} x^{ν})$ .
2Βρες το πρόσημο του $x^{ν}$ : στο $+ \infty$ είναι $+ \infty$ · στο $- \infty$ εξαρτάται από το αν ν άρτιος/περιττός.
3Συνδύασε με το πρόσημο του συντελεστή $α_{ν}$ .

Παράδειγμα

x \to - \infty lim (4 x^{5} - 3 x^{3} + 7) = x \to - \infty lim 4 x^{5} = - \infty

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}}$ .
2
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim x^{3}$ .
3
Να υπολογίσετε το $x \to - \infty lim x^{4}$ .
4
Να υπολογίσετε το $x \to - \infty lim x^{5}$ .
5
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim (2 x^{3} - 5 x + 1)$ .
6
Να υπολογίσετε το $x \to - \infty lim (- 3 x^{2} + x)$ .
7
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2} + x}$ .
8
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} + 2}$ .
9
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} + 1}$ .
10
Να υπολογίσετε το $x \to + \infty lim \frac{συν x}{x}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim (2 x^{3} - 5 x + 1)

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2} + x}

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} + 2}

Να υπολογίσετε το

x \to - \infty lim x^{5}

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{συν x}{x}

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1}

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{x}{x ^{2} + 1}

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{x + ημ x}{x}

Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{x}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{2 x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + 3}

α) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim f (x)

β) Να υπολογίσετε το

x \to - \infty lim f (x)

γ) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{1}{f ( x )}

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 2

ε) Να υπολογίσετε το

f (0)

Θ2

Δίνεται το πολυώνυμο

P (x) = x^{3} - 3 x

α) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim P (x)

β) Να υπολογίσετε το

x \to - \infty lim P (x)

γ) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{P ( x )}{x ^{3}}

δ) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{1}{P ( x )}

ε) Να λύσετε την εξίσωση

P (x) = 0

Θ3

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{2} + x - x

, με

x \geq 0

α) Να δείξετε ότι

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + x + x}

για

x > 0

β) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim f (x)

γ) Να υπολογίσετε το

f (0)

δ) Να δείξετε ότι

f (x) > 0

για κάθε

x > 0

ε) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim 2 f (x)

Θ4

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ρητών συναρτήσεων στο άπειρο.

α)

x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} + 1}

β)

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + x}

γ)

x \to + \infty lim \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1}

δ)

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 5}

ε)

x \to - \infty lim \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1}

Θ5

Μελετάμε όρια με φραγμένες τριγωνομετρικές συναρτήσεις στο

+ \infty

α) Να φράξετε την

\frac{ημ x}{x}

για

x > 0

β) Να υπολογίσετε τα

x \to + \infty lim (\pm \frac{1}{x})

γ) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{ημ x}{x}

δ) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{x + συν x}{x}

ε) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{2 x + ημ x}{x}

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.7 Όρια στο Άπειρο

Ύλη: §1.7Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Για το όριο πολυωνύμου στο

\pm \infty

, ποιος όρος μετράει;

β) Σωστό ή Λάθος:

x \to + \infty lim \frac{συν x}{x} = 0

ΘΕΜΑ Β

α) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3}

β) Να υπολογίσετε το

x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} + 2}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∞ Quiz · Όρια

← Προηγούμενο

1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο x₀

Επόμενο →

1.8 Συνέχεια Συνάρτησης