Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο x₀

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο x₀

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🚀Όριο +∞ και −∞

•
$x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ : καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_{0}$ , οι τιμές $f (x)$ αυξάνονται απεριόριστα (ξεπερνούν κάθε θετικό αριθμό $M$ ).
•
$x \to x_{0} lim f (x) = - \infty$ : οι τιμές $f (x)$ μειώνονται απεριόριστα (πέφτουν κάτω από κάθε αρνητικό $- M$ ).
•
Όπως και στα πεπερασμένα όρια: $x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι και τα δύο $+ \infty$ (αντίστοιχα για $- \infty$ ).

📊Βασικά άπειρα όρια

•
$x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ , και γενικά $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2 ν}} = + \infty$ .
▶️ Σύρε το x προς την κατακόρυφη ασύμπτωτη — δες την f να εκτοξεύεται στο ±∞.
x = -1.20 · f(x) = 0.69 · σύρε το σημείο
Καθώς x → 0, η 1/x² → +∞ (και από τις δύο πλευρές).
•
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , ενώ $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ . Άρα το $\frac{1}{x}$ ΔΕΝ έχει όριο στο 0 (τα πλευρικά διαφέρουν).
•
Αν $x \to x_{0} lim f (x) = 0$ και $f (x) > 0$ κοντά στο $x_{0}$ , τότε $x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )} = + \infty$ . Αν $f (x) < 0$ κοντά, τότε $x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )} = - \infty$ .

⚠️Ιδιότητες & απροσδιόριστες μορφές

•
Αν $x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ ή $- \infty$ , τότε $x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )} = 0$ και $x \to x_{0} lim ∣ f (x) ∣ = + \infty$ .
•
Όριο αθροίσματος: $(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty$ , $(- \infty) + (- \infty) = - \infty$ , $α + (\pm \infty) = \pm \infty$ . Όριο γινομένου: (θετικό) $\cdot (+ \infty) = + \infty$ , (αρνητικό) $\cdot (+ \infty) = - \infty$ .
•
Προσοχή — απροσδιόριστες μορφές: οι $(+ \infty) + (- \infty)$ και $0 \cdot (\pm \infty)$ ΔΕΝ προκύπτουν από τα θεωρήματα.
❓ Γιατί:Σε αυτές τις μορφές το αποτέλεσμα εξαρτάται από τις συγκεκριμένες συναρτήσεις — χρειάζεται ξεχωριστή επεξεργασία (π.χ. παραγοντοποίηση μεγιστοβάθμιου όρου), όχι μηχανική εφαρμογή κανόνα.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}}

;

2Πολλαπλής επιλογής

Το

\frac{1}{x}

στο

x_{0} = 0

3Σωστό / Λάθος

Η μορφή

(+ \infty) + (- \infty)

δίνει πάντα αποτέλεσμα 0.

4Πολλαπλής επιλογής

Αν

x \to x_{0} lim f (x) = + \infty

, τότε

x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )} =

5Σωστό / Λάθος

Αν

lim f (x) = 0

και

f (x) > 0

κοντά στο

x_{0}

, τότε

lim \frac{1}{f ( x )} = + \infty

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 3^{-} lim \frac{1}{x - 3}

;

7Σωστό / Λάθος

Αν

x \to x_{0} lim f (x) = - 5

και

x \to x_{0} lim g (x) = + \infty

, τότε

x \to x_{0} lim (f (x) \cdot g (x)) = - \infty

8Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 1 lim \frac{x - 2}{( x - 1 ) ^{2}}

;

9Σωστό / Λάθος

Η μορφή

0 \cdot (+ \infty)

δίνει πάντα αποτέλεσμα 0.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlg-1.6-gen3
Δίνεται ότι lim(x→ $x_{0}$ ) $f (x)$ = +∞ και lim(x→ $x_{0}$ ) $g (x)$ = 4. Πόσο ισούται το lim(x→ $x_{0}$ ) [ $2 g$ (x) − 1 + $\frac{5}{f}$ (x)];
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Υπολογίζουμε κάθε κομμάτι χωριστά. $2 g$ (x)
2. 2
  $2 \cdot 4 = 8$ . Η σταθερά −1 παραμένει −1. Επειδή $f (x)$
3. 3
  +∞, ισχύει $\frac{1}{f} (x)$
4. 4
  0, άρα $\frac{5}{f} (x)$
5. 5
  $5 \cdot 0 = 0$ . Με την ιδιότητα του αθροίσματος: 8 − 1 + 0 lim(x→ $x_{0}$ ) [ $2 g$ (x) − 1 + $\frac{5}{f}$ (x)] = 7
2Μεσαίοlg-1.6-m1
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο παρονομαστής $(x - 1)^{2} \to 0$ και είναι πάντα θετικός (τετράγωνο).
2. 2
  Άρα από κάθε πλευρά $\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} \to + \infty$ .
3. 3
  Επομένως $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty$ .
3Εύκολοlg-1.6-gen2
Να υπολογίσετε το lim(x→0) $\frac{1}{\frac{1}{x ^{2}} + 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρώτα ο παρονομαστής: καθώς $x$ →0 είναι $x^{2}$
2. 2
  0⁺, άρα $\frac{1}{x ^{2}}$
3. 3
  +∞. Προσθέτοντας τη σταθερά 3: $\frac{1}{x ^{2}} + 3$
4. 4
  +∞. Όταν ο παρονομαστής τείνει στο +∞, το κλάσμα $\frac{1}{παρονομαστ η ˊ ς}$ τείνει στο 0. lim(x→0) $\frac{1}{\frac{1}{x ^{2}} + 3}$ = 0
4Μεσαίοlg-1.6-m2
Να βρείτε το $x \to 3^{-} lim \frac{1}{x - 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Καθώς $x \to 3^{-}$ (δηλαδή $x < 3$ ), ο παρονομαστής $x - 3 \to 0^{-}$ (αρνητικός).
2. 2
  Άρα $\frac{1}{x - 3} \to - \infty$ .
5Εύκολοlg-1.6-gen1
Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = \frac{x + 4}{x - 1}^{2}$ , με $x \neq = 1$ . Να βρείτε το lim(x→1) $f (x)$ και να απαντήσετε με έναν αριθμό ως εξής: γράψτε 1 αν το όριο είναι +∞, γράψτε −1 αν είναι −∞, γράψτε 0 αν το όριο δεν υπάρχει.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αριθμητής: $x + 4$
2. 2
  $1 + 4 = 5 > 0$ (θετικός κοντά στο 1). Παρονομαστής: $(x - 1)^{2} > 0$ για κάθε $x \neq = 1$ και $(x - 1)^{2}$
3. 3
  0⁺. Θετικός αριθμητής προς παρονομαστή που τείνει στο 0⁺ δίνει +∞ (και από τις δύο πλευρές, άρα το όριο υπάρχει). lim(x→1) $f (x)$ = +∞, οπότε η ζητούμενη απάντηση $= 1$
6Εύκολοlg-1.6-e2
Να βρείτε το $x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Καθώς $x \to 2^{+}$ (δηλαδή $x > 2$ ), ο παρονομαστής $x - 2 \to 0^{+}$ .
2. 2
  Άρα $\frac{1}{x - 2} \to + \infty$ .
7Εύκολοlg-1.6-e1
Να βρείτε το $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{4}}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Καθώς $x \to 0$ , ο παρονομαστής $x^{4} \to 0^{+}$ (θετικός, άρτια δύναμη).
2. 2
  Άρα $\frac{1}{x ^{4}} \to + \infty$ .
3. 3
  Δηλαδή $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{4}} = + \infty$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlg-1.6-m2
Να βρείτε το $x \to 3^{-} lim \frac{1}{x - 3}$ .
2Μεσαίοlg-1.6-m1
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
3Μεσαίοlg-1.6-gen3
Δίνεται ότι lim(x→ $x_{0}$ ) $f (x)$ = +∞ και lim(x→ $x_{0}$ ) $g (x)$ = 4. Πόσο ισούται το lim(x→ $x_{0}$ ) [ $2 g$ (x) − 1 + $\frac{5}{f}$ (x)];

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Κλάσμα όπου ο παρονομαστής τείνει στο 0 (και ο αριθμητής σε μη μηδενικό) — το πρόσημο του παρονομαστή δίνει

\pm \infty

Βήματα

1Βρες πού τείνει ο αριθμητής και ο παρονομαστής.
2Καθόρισε το ΠΡΟΣΗΜΟ του παρονομαστή κοντά στο $x_{0}$ .
3Παρονομαστής $\to 0^{+}$ με θετικό αριθμητή δίνει $+ \infty$ · $\to 0^{-}$ δίνει $- \infty$ .

Παράδειγμα

x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty

, αφού

(x - 1)^{2} \to 0^{+}

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}}$ .
2
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{4}}$ .
3
Να υπολογίσετε το $x \to 2 lim \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
4
Να βρείτε τα πλευρικά όρια του $\frac{1}{x}$ στο $0$ .
5
Να υπολογίσετε το $x \to 3^{+} lim \frac{1}{x - 3}$ .
6
Να υπολογίσετε το $x \to 3^{-} lim \frac{1}{x - 3}$ .
7
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim (\frac{1}{x ^{2}} - 7)$ .
8
Σωστό ή Λάθος: η μορφή $(+ \infty) + (- \infty)$ δίνει πάντα $0$ .
9
Αν $f (x) \to - \infty$ , πόσο είναι το $lim \frac{1}{f ( x )}$ ;
10
Να υπολογίσετε το $x \to 1 lim \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim (\frac{1}{x ^{2}} + 3)

Αν

x \to x_{0} lim f (x) = + \infty

, πόσο είναι το

x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )}

;

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim (- \frac{1}{x ^{4}})

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{x + 1}{( x - 1 ) ^{2}}

Να υπολογίσετε το

x \to 2 lim \frac{x - 3}{( x - 2 ) ^{2}}

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 1 lim \frac{2}{x - 1}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{1 - x}{x ^{2}}

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 3 lim \frac{x}{x - 3}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{1}{x - 1}

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f

β) Να βρείτε το

x \to 1^{+} lim f (x)

γ) Να βρείτε το

x \to 1^{-} lim f (x)

δ) Υπάρχει το

x \to 1 lim f (x)

;

ε) Να βρείτε το

x \to 3 lim f (x)

Θ2

Δίνεται η συνάρτηση

g (x) = \frac{x + 2}{( x - 1 ) ^{2}}

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

g

β) Να βρείτε το πρόσημο του παρονομαστή κοντά στο

1

γ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμητή κοντά στο

1

δ) Να βρείτε το

x \to 1 lim g (x)

ε) Να βρείτε το

x \to 0 lim g (x)

Θ3

Δίνεται η συνάρτηση

h (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}

, με

x \neq = 0

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

h

β) Να δείξετε ότι

h (x) = \frac{x - 1}{x ^{2}}

γ) Να βρείτε το πρόσημο αριθμητή και παρονομαστή κοντά στο

0

δ) Να βρείτε το

x \to 0 lim h (x)

ε) Να βρείτε το

x \to 1 lim h (x)

Θ4

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{x + 3}{( x - 2 ) ^{2}}

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f

β) Να βρείτε το πρόσημο του παρονομαστή κοντά στο

2

γ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμητή κοντά στο

2

δ) Να βρείτε το

x \to 2 lim f (x)

ε) Να βρείτε το

x \to 2 lim \frac{1}{f ( x )}

Θ5

Έστω

x \to x_{0} lim f (x) = + \infty

και

x \to x_{0} lim g (x) = 5

α) Να βρείτε το

x \to x_{0} lim (f (x) + g (x))

β) Να βρείτε το

x \to x_{0} lim (g (x) - f (x))

γ) Να βρείτε το

x \to x_{0} lim (g (x) \cdot f (x))

δ) Να βρείτε το

x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )}

ε) Αν επιπλέον

h (x) \to + \infty

, μπορούμε να βρούμε το

x \to x_{0} lim (f (x) - h (x))

;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο

Ύλη: §1.6Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: η μορφή

(+ \infty) + (- \infty)

δίνει πάντα

0

β) Αν

x \to x_{0} lim f (x) = + \infty

, πόσο είναι το

x \to x_{0} lim \frac{1}{f ( x )}

;

ΘΕΜΑ Β

α) Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∞ Quiz · Όρια

← Προηγούμενο

1.5 Ιδιότητες των Ορίων

Επόμενο →

1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο