Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.5 Ιδιότητες των Ορίων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.5 Ιδιότητες των Ορίων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

⚖️Όριο και διάταξη

•
Αν $x \to x_{0} lim f (x) > 0$ , τότε $f (x) > 0$ κοντά στο $x_{0}$ . Αν $x \to x_{0} lim f (x) < 0$ , τότε $f (x) < 0$ κοντά στο $x_{0}$ .
•
Αν οι $f$ , $g$ έχουν όριο στο $x_{0}$ και ισχύει $f (x) \leq g (x)$ κοντά στο $x_{0}$ , τότε $x \to x_{0} lim f (x) \leq x \to x_{0} lim g (x)$ .

➕Όρια και πράξεις

•
Αν υπάρχουν τα όρια των $f$ , $g$ στο $x_{0}$ , τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
•
Άθροισμα / διαφορά: $x \to x_{0} lim (f (x) \pm g (x)) = x \to x_{0} lim f (x) \pm x \to x_{0} lim g (x)$ .
•
Σταθερό πολλαπλάσιο: $x \to x_{0} lim (κ \cdot f (x)) = κ \cdot x \to x_{0} lim f (x)$ , για κάθε σταθερά κ.
•
Γινόμενο: $x \to x_{0} lim (f (x) \cdot g (x)) = x \to x_{0} lim f (x) \cdot x \to x_{0} lim g (x)$ .
•
Πηλίκο: $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{x \to x _{0} l i m f ( x )}{x \to x _{0} l i m g ( x )}$ , εφόσον $x \to x_{0} lim g (x) \neq = 0$ .
•
Απόλυτη τιμή & ρίζα: $x \to x_{0} lim ∣ f (x) ∣ = ∣ x \to x_{0} lim f (x) ∣$ και $x \to x_{0} lim k f (x) = k x \to x_{0} lim f (x)$ (εφόσον $f (x) \geq 0$ κοντά στο $x_{0}$ ).
•
Δύναμη: $x \to x_{0} lim [f (x)]^{ν} = (x \to x_{0} lim f (x))^{ν}$ . Ειδικά $x \to x_{0} lim x^{ν} = x_{0}^{ν}$ .

🧮Όριο πολυωνύμου & ρητής συνάρτησης

•
Για κάθε πολυώνυμο $P$ ισχύει $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})$ — απλώς αντικαθιστούμε το $x_{0}$ . Π.χ. $x \to 2 lim (x^{3} - 6 x^{2} + 7 x - 2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 2 = - 4$ .
•
Για ρητή συνάρτηση $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ με $Q (x_{0}) \neq = 0$ ισχύει $x \to x_{0} lim \frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{P ( x _{0} )}{Q ( x _{0} )}$ . Π.χ. $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{4 + 4}{4 + 4 + 1} = \frac{8}{9}$ .
❓ Γιατί:Επειδή και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, το όριο καθενός είναι η τιμή του στο $x_{0}$ . Αρκεί ο παρονομαστής να μη μηδενίζεται.

⚠️Η απροσδιόριστη μορφή 0/0

•
Όταν $P (x_{0}) = 0$ και $Q (x_{0}) = 0$ , δεν εφαρμόζεται ο κανόνας του πηλίκου — έχουμε απροσδιόριστη μορφή $\frac{0}{0}$ .
•
Τεχνική: παραγοντοποιούμε (ή πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση) ώστε να απλοποιηθεί ο κοινός παράγοντας $(x - x_{0})$ που μηδενίζει αριθμητή και παρονομαστή. Π.χ. $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{2 - 3}{2 + 2} = - \frac{1}{4}$ .
❓ Γιατί:Αφού $P (x_{0}) = Q (x_{0}) = 0$ , το $(x - x_{0})$ διαιρεί ΚΑΙ τα δύο. Απλοποιώντας το, μένει μια έκφραση που υπολογίζεται με απλή αντικατάσταση.

🥪Κριτήριο παρεμβολής

•
Αν $h (x) \leq f (x) \leq g (x)$ κοντά στο $x_{0}$ και $x \to x_{0} lim h (x) = x \to x_{0} lim g (x) = ℓ$ , τότε $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ .
•
Η $f$ «εγκλωβίζεται» ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις με κοινό όριο, άρα αναγκάζεται να έχει το ίδιο όριο. Π.χ. $x \to 0 lim x \cdot ημ \frac{1}{x} = 0$ , αφού $- ∣ x ∣ \leq x \cdot ημ \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣$ και $x \to 0 lim (\pm ∣ x ∣) = 0$ .
▶️ Σύρε το x προς το 0 — η x·ημ(1/x) μένει παγιδευμένη ανάμεσα στα ±|x| που κλείνουν στο 0.
−|x| ≤ x·ημ(1/x) ≤ |x|
x = 0.900 · -0.900 ≤ f = 0.807 ≤ 0.900 · σύρε το x → 0
Καθώς x → 0 οι φάκελοι ±|x| «κλείνουν» στο 0· η f είναι παγιδευμένη ανάμεσά τους → lim(x→0) x·ημ(1/x) = 0.

📐Τριγωνομετρικά όρια

•
Ισχύει $∣ ημ x ∣ \leq ∣ x ∣$ για κάθε $x$ ∈ ℝ (η ισότητα μόνο στο 0).
•
$x \to x_{0} lim ημ x = ημ x_{0}$ και $x \to x_{0} lim συν x = συν x_{0}$ (συνεχείς συναρτήσεις).
•
Δύο θεμελιώδη όρια: $x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} = 1$ και $x \to 0 lim \frac{συν x - 1}{x} = 0$ . $x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} = 1$
❓ Γιατί:Αποδεικνύονται με το κριτήριο παρεμβολής (από την ανισότητα $συν x < \frac{ημ x}{x} < 1$ ). Είναι το «κλειδί» για όρια με τριγωνομετρικές παραστάσεις.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 2 lim (x^{2} + 3 x)

;

2Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

;

3Σωστό / Λάθος

Αν

x \to x_{0} lim g (x) = 0

, μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθείας τον κανόνα

lim \frac{f}{g} = \frac{l i m f}{l i m g}

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 0 lim \frac{ημ x}{x}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Με το κριτήριο παρεμβολής: αν

h (x) \leq f (x) \leq g (x)

κοντά στο

x_{0}

και

lim h = lim g = 5

, τότε

lim f =

6Σωστό / Λάθος

Για κάθε πολυώνυμο

P

ισχύει

x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοlg-1.5-e1
Να βρείτε το $x \to 2 lim (x^{2} + 3 x - 1)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Είναι πολυώνυμο, άρα αντικαθιστούμε το $x_{0} = 2$ .
2. 2
  $x \to 2 lim (x^{2} + 3 x - 1) = 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 9$ .
2Μεσαίοlg-1.5-m2
Να βρείτε το $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Απροσδιόριστη μορφή $\frac{0}{0}$ στο 2.
2. 2
  Παραγοντοποιούμε: $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{x + 2}$ .
3. 3
  Άρα το όριο είναι $\frac{2 - 3}{2 + 2} = - \frac{1}{4}$ .
3Μεσαίοlg-1.5-m1
Να βρείτε το $x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Απροσδιόριστη μορφή $\frac{0}{0}$ στο 4.
2. 2
  Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο: $\frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 4} = \frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x - 4} = x - 1$ .
3. 3
  Άρα $x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 4} = 3$ .
4Μεσαίοlg-1.5-m3
Να βρείτε το $x \to 0 lim \frac{ημ 3 x}{x}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με 3, ώστε να εμφανιστεί η μορφή $η μ \frac{u}{u}$ : $\frac{ημ 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{ημ 3 x}{3 x}$ .
2. 2
  Καθώς $x \to 0$ είναι και $3 x \to 0$ , οπότε $\frac{ημ 3 x}{3 x} \to 1$ .
3. 3
  Άρα $x \to 0 lim \frac{ημ 3 x}{x} = 3$ .
5Μεσαίοlg-1.5-m4
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{x - 1}{x - 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Απροσδιόριστη μορφή $\frac{0}{0}$ .
2. 2
  Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή $x + 1$ : $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1$ .
3. 3
  Άρα το όριο είναι $1 + 1 = 2$ .
6Εύκολοlg-1.5-e2
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 4}{x + 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ρητή συνάρτηση με παρονομαστή $Q (1) = 2 \neq = 0$ .
2. 2
  Άρα αντικαθιστούμε: $\frac{1 ^{2} + 4}{1 + 1} = \frac{5}{2}$ .
7Εύκολοlg-1.5-e3
Να βρείτε το $x \to 0 lim \frac{ημ x}{x}$ .
Λύση βήμα-βήμα
Είναι ένα από τα δύο θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια: $x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} = 1$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlg-1.5-m2
Να βρείτε το $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$ .
2Μεσαίοlg-1.5-m4
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{x - 1}{x - 1}$ .
3Μεσαίοlg-1.5-m1
Να βρείτε το $x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 4}$ .
4Δύσκολοlg-1.5-h1
Να βρείτε το $x \to 0 lim \frac{1 - συν x}{x ^{2}}$ .
5Μεσαίοlg-1.5-m3
Να βρείτε το $x \to 0 lim \frac{ημ 3 x}{x}$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όριο πολυωνύμου, ή ρητής

\frac{P ( x )}{Q ( x )}

όταν

Q (x_{0}) \neq = 0

Βήματα

1Πολυώνυμο: αντικατέστησε απευθείας το $x_{0}$ — ισχύει $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})$ .
2Ρητή με $Q (x_{0}) \neq = 0$ : $x \to x_{0} lim \frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{P ( x _{0} )}{Q ( x _{0} )}$ .
3Κάνε τις πράξεις για το τελικό αποτέλεσμα.

Παράδειγμα

x \to 2 lim (x^{2} + 3 x) = 2^{2} + 3 \cdot 2 = 10

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσετε το $x \to 1 lim (x^{2} - 3 x + 5)$ .
2
Να υπολογίσετε το $x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 4}$ .
3
Να υπολογίσετε το $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .
4
Να υπολογίσετε το $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - x}$ .
5
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}$ .
6
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim \frac{ημ x}{3 x}$ .
7
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim \frac{ημ 4 x}{x}$ .
8
Να υπολογίσετε το $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 2 x - 3}$ .
9
Να υπολογίσετε το $x \to 0 lim x^{2} συν \frac{1}{x}$ .
10
Να υπολογίσετε το $x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 2}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{x + 9 - 3}{x}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{ημ 3 x}{5 x}

Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim (x^{3} - 2 x + 5)

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim x^{2} ημ \frac{1}{x}

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1 - x}{x}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{1 - συν x}{x ^{2}}

Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{3 x - 1}{x - 1}

Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{ημ 5 x}{ημ 2 x}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται η συνάρτηση

g (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - 1}

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

g

β) Για

x \neq = 1

, να απλοποιήσετε την

g

γ) Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim g (x)

δ) Να υπολογίσετε το

x \to 2 lim g (x)

ε) Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim g (x)

Θ2

Δίνεται η συνάρτηση

h (x) = \frac{x + 1 - 1}{x}

, με

x \geq - 1

και

x \neq = 0

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

h

β) Να δείξετε ότι

h (x) = \frac{1}{x + 1 + 1}

γ) Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim h (x)

δ) Να υπολογίσετε το

h (3)

ε) Να υπολογίσετε το

x \to 8 lim h (x)

Θ3

Να υπολογίσετε τα παρακάτω τριγωνομετρικά όρια.

α)

x \to 0 lim \frac{ημ x}{x}

β)

x \to 0 lim \frac{ημ 4 x}{x}

γ)

x \to 0 lim \frac{ημ 4 x}{ημ 3 x}

δ)

x \to 0 lim \frac{1 - συν x}{x}

ε)

x \to 0 lim \frac{ημ ^{2} x}{x ^{2}}

Θ4

Δίνεται η συνάρτηση

p (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}

, με

x \neq = 2

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

p

β) Να παραγοντοποιήσετε το

x^{3} - 8

γ) Να απλοποιήσετε την

p (x)

δ) Να υπολογίσετε το

x \to 2 lim p (x)

ε) Να λύσετε την εξίσωση

p (x) = 4

(για

x \neq = 2

Θ5

Δίνεται ότι

- x^{2} \leq f (x) \leq x^{2}

για κάθε

x

κοντά στο

0

α) Να βρείτε τα

x \to 0 lim (- x^{2})

και

x \to 0 lim x^{2}

β) Να βρείτε το

x \to 0 lim f (x)

γ) Αν

g (x) = f (x) + 3

, να βρείτε το

x \to 0 lim g (x)

δ) Να βρείτε το

x \to 0 lim (f (x) + 2 x^{2})

ε) Μπορούμε να βρούμε το

f (0)

;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.5 Ιδιότητες των Ορίων

Ύλη: §1.5Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: η μορφή

\frac{0}{0}

δίνει πάντα όριο

0

β) Να συμπληρώσετε:

x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} =

...

ΘΕΜΑ Β

α) Να υπολογίσετε το

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

β) Να υπολογίσετε το

x \to 0 lim \frac{ημ 2 x}{x}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∞ Quiz · Όρια

← Προηγούμενο

1.4 Όριο Συνάρτησης στο x₀

Επόμενο →

1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο x₀