Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.2 Συναρτήσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.2 Συναρτήσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔗Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης

•
Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ. Πραγματική συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το Α είναι μια διαδικασία (κανόνας) που αντιστοιχίζει κάθε $x$ ∈ Α σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό $y$ .
•
Το $y$ λέγεται τιμή της $f$ στο $x$ και γράφεται $y = f (x)$ . Το $x$ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, το $y$ εξαρτημένη μεταβλητή.
•
Το πεδίο ορισμού της $f$ συμβολίζεται Df. Το σύνολο τιμών $f (A)$ είναι το σύνολο όλων των τιμών $f (x)$ για $x$ ∈ $A$ . $f (A) = {y ∣ y = f (x) για κ \overset{α}{ˊ} ποιο x \in A}$

🎯Πεδίο ορισμού από τον τύπο

•
Όταν μια συνάρτηση δίνεται μόνο με τον τύπο της, ως πεδίο ορισμού εννοούμε όλα τα $x$ ∈ ℝ για τα οποία το $f (x)$ έχει νόημα.
❓ Γιατί:Υπόρριζο πρέπει να είναι $\geq 0$ , παρονομαστής $\neq = 0$ , και το όρισμα λογαρίθμου $> 0$ . Αυτοί οι περιορισμοί καθορίζουν το πεδίο ορισμού.
•
Συνηθισμένοι περιορισμοί: παρονομαστής $\neq = 0$ , υπόρριζο $\geq 0$ , όρισμα λογαρίθμου $> 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x - 1 ορ \overset{ι}{ˊ} ζεται \overset{ο}{ˊ} ταν x - 1 \geq 0, δηλαδ \overset{η}{ˊ} D f = [1, + \infty) .$

📈Γραφική παράσταση — η κατακόρυφη ευθεία

•
Γραφική παράσταση Cf της $f$ είναι το σύνολο των σημείων M(x, $f (x)$ ) με $x$ ∈ $A$ . Η εξίσωσή της είναι $y = f (x)$ .
•
Κάθε $x$ αντιστοιχεί σε ΕΝΑ μόνο $y$ , άρα κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη Cf το πολύ σε ένα σημείο.
❓ Γιατί:Αν μια κατακόρυφη ευθεία $x = x_{0}$ έτεμνε τη Cf σε δύο σημεία, το $x_{0}$ θα είχε δύο εικόνες — αδύνατο για συνάρτηση. Γι’ αυτό ο κύκλος ΔΕΝ είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.
•
Από τη Cf διαβάζουμε: το πεδίο ορισμού = οι τετμημένες των σημείων της, το σύνολο τιμών = οι τεταγμένες, και η τιμή $f (x_{0}) =$ η τεταγμένη του σημείου τομής με την ευθεία $x = x_{0}$ .

🪞Οι γραφικές παραστάσεις −f και |f|

•
Η γραφική παράσταση της − $f$ είναι συμμετρική της Cf ως προς τον άξονα $x$ ′ $x$ .
•
Η γραφική παράσταση της | $f$ |: τα τμήματα της Cf πάνω από τον άξονα $x$ ′ $x$ μένουν ίδια, ενώ τα τμήματα κάτω από τον άξονα αναδιπλώνονται προς τα πάνω (συμμετρικά ως προς τον $x$ ′ $x$ ).
▶️ Διάλεξε συνάρτηση και δες πώς προκύπτουν οι −f και |f|.
f−f
δείξε −fδείξε |f|
α = 1
Σύρε το α ή διάλεξε συνάρτηση — η γραφική ανανεώνεται ζωντανά.

📚Μερικές βασικές συναρτήσεις

•
Πολυωνυμικές: $f (x) = α x + β$ (ευθεία), $f (x) = α x^{2}$ με $α \neq = 0$ (παραβολή), $f (x) = α x^{3}$ με $α \neq = 0$ .
•
Ρητή $f (x) = \frac{α}{x}$ με $α \neq = 0$ : υπερβολή με ασύμπτωτες τους δύο άξονες.
•
$f (x) = x$ (ορίζεται για $x$ ≥ 0) και $f (x) =$ | $x$ | (δύο κλάδοι, συμμετρικοί ως προς τον άξονα $y$ ′ $y$ ).
•
Τριγωνομετρικές : ημx και συνx (περιοδικές με περίοδο 2π), εφx (περιοδική με περίοδο π).
•
Εκθετική $f (x) = α^{x}$ και λογαριθμική $f (x) = lo g α x$ , με $0 < α \neq = 1$ . Είναι αντίστροφες μεταξύ τους .
▶️ Περιηγήσου στις βασικές συναρτήσεις — σύρε το α και δες πώς αλλάζει η γραφική.
α = 1
Σύρε το α ή διάλεξε συνάρτηση — η γραφική ανανεώνεται ζωντανά.

🟰Ισότητα συναρτήσεων

•
Δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ λέγονται ίσες $(f = g)$ όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, και $f (x) = g (x)$ για κάθε $x$ ∈ $A$ .
•
Αν τα πεδία ορισμού διαφέρουν, οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες — μπορεί όμως να είναι ίσες σε ένα κοινό υποσύνολο Γ.
💡 Παράδειγμα:
Οι $f (x) = \frac{x ^{3} + x}{x ^{2} + 1}$ και $g (x) = x$ είναι ίσες, αφού $\frac{x ^{3} + x}{x ^{2} + 1} = x \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} = x$ , με κοινό πεδίο ορισμού το ℝ.
▶️ Πάτα f / g — ίδιος τύπος (x+1), αλλά η f έχει «τρύπα» στο x=1 → ίσες μόνο στο ℝ−{1}.
Η f απλοποιείται σε x+1, αλλά δεν ορίζεται στο x = 1 (τρύπα) → πεδίο ℝ − {1}.
Ίδιος τύπος, διαφορετικό πεδίο ορισμού → ίσες μόνο στο ℝ − {1}, όχι παντού. (Πάτα f / g.)

🧩Πράξεις & σύνθεση συναρτήσεων

•
Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο: $(f + g) (x) = f (x) + g (x), (f - g) (x) = f (x) - g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (\frac{f}{g}) (x) = f \frac{x}{g} (x)$ .
•
Πεδίο ορισμού των $f + g, f - g, f g$ : η τομή $A$ ∩ $B$ . Για το πηλίκο $\frac{f}{g}$ : η τομή $A$ ∩ $B$ εξαιρώντας τα $x$ με $g (x) = 0$ .
❓ Γιατί:Για να οριστεί μια πράξη σε ένα $x$ , πρέπει να ορίζονται ΚΑΙ οι δύο συναρτήσεις εκεί — άρα $x$ ∈ $A$ ∩ $B$ . Στο πηλίκο, επιπλέον, ο παρονομαστής $g (x)$ δεν επιτρέπεται να μηδενίζεται.
•
Σύνθεση της $f$ με την $g$ : (g∘ $f$ )(x) = g(f(x)) — πρώτα εφαρμόζουμε την $f$ και μετά την $g$ .
▶️ Διάγραμμα συνόλων A → B → g(B): δες πώς το x περνά πρώτα από την f και μετά από την g.
(g∘f)(x) = g(f(x))
Πρώτα η f (x → f(x)), μετά η g. Η g∘f πάει κατευθείαν x → g(f(x)). Ορίζεται όταν f(x) ∈ B.
•
Πεδίο ορισμού της $g$ ∘ $f$ : $A_{1} = {x$ ∈ $A$ | $f (x)$ ∈ B}, δηλαδή τα $x$ του πεδίου ορισμού της $f$ για τα οποία το $f (x)$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $g$ .
💡 Παράδειγμα:
$Αν f (x) = x^{2} και g (x) = x + 1, τ \overset{ο}{ˊ} τε (g \circ f) (x) = f (x) + 1 = x^{2} + 1, εν \overset{ω}{ˊ} (f \circ g) (x) = (x + 1)^{2} \neq = x^{2} + 1.$
❓ Γιατί:Γενικά $g$ ∘ $f \neq = f$ ∘ $g$ (η σειρά εφαρμογής μετράει). Ισχύει όμως η προσεταιριστική: $h$ ∘(g∘ $f) = (h$ ∘ $g$ )∘ $f$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

2Σωστό / Λάθος

Ο κύκλος είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της

f (x) = x - 2

;

4Πολλαπλής επιλογής

Αν

f (x) = x^{2}

και

g (x) = x + 1

, πόσο είναι το (g∘

f

)(x);

5Σωστό / Λάθος

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις ισχύει πάντα

g

∘

f = f

∘

g

6Πολλαπλής επιλογής

Οι

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

και

g (x) = x + 1

είναι ίσες;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοlg-1.2-e2
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = ln (x - 2)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι $> 0$ : $x - 2 > 0$ , δηλαδή $x > 2$ .
2. 2
  Άρα Df = (2, +∞).
2Μεσαίοlg-1.2-m1
Δίνονται $f (x) = x^{2} + 1$ και $g (x) = x - 2$ . Να βρείτε τις $g$ ∘ $f$ και $f$ ∘ $g$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Είναι (g∘ $f$ )(x) = g(f(x)) = $f (x)$ − 2 = $x^{2}$ + 1 − 2 = $x^{2}$ − 1.
2. 2
  Επίσης (f∘ $g$ )(x) = f(g(x)) = $g (x)$ ² + 1 = (x − 2)² + 1 = $x^{2}$ − $4 x$ + 5.
3Μεσαίοlg-1.2-m3
Δίνονται $f (x) = x + 1$ και $g (x) = \frac{1}{x}$ . Να βρείτε $την f + g$ και το πεδίο ορισμού της.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Είναι $(f + g) (x) = f (x) + g (x) = x + 1 + \frac{1}{x}$ .
2. 2
  Πεδίο ορισμού: η τομή των $D f =$ ℝ και $D g =$ ℝ*, δηλαδή ℝ* = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
4Μεσαίοlg-1.2-m2
Είναι ίσες οι συναρτήσεις $f (x) = x^{2}$ και $g (x) = x$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ισχύει $x^{2} =$ | $x$ |.
2. 2
  Για $x < 0$ είναι | $x$ | $= - x \neq = x$ , άρα $f (x) \neq = g (x)$ .
3. 3
  Επομένως ΔΕΝ είναι ίσες — συμπίπτουν μόνο στο [0, +∞), όπου | $x$ | $= x$ .
5Εύκολοlg-1.2-e3
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = 1 - x^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Το υπόρριζο πρέπει να είναι $\geq 0$ : $1 - x^{2} \geq 0$ , δηλαδή $x^{2} \leq 1$ .
2. 2
  Άρα $- 1 \leq x \leq 1$ , οπότε $D f = [- 1, 1]$ .
6Εύκολοlg-1.2-e1
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η συνάρτηση ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι $\neq = 0$ : $x - 3 \neq = 0$ , δηλαδή $x \neq = 3$ .
2. 2
  Άρα Df = (−∞, 3) ∪ (3, +∞).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlg-1.2-m1
Δίνονται $f (x) = x^{2} + 1$ και $g (x) = x - 2$ . Να βρείτε τις $g$ ∘ $f$ και $f$ ∘ $g$ .
2Μεσαίοlg-1.2-m2
Είναι ίσες οι συναρτήσεις $f (x) = x^{2}$ και $g (x) = x$ ;
3Μεσαίοlg-1.2-m3
Δίνονται $f (x) = x + 1$ και $g (x) = \frac{1}{x}$ . Να βρείτε $την f + g$ και το πεδίο ορισμού της.
4Δύσκολοlg-1.2-h1
Δίνονται $f (x) = ln x$ και $g (x) = x$ . Να βρείτε την $g$ ∘ $f$ και το πεδίο ορισμού της.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται το πεδίο ορισμού

D_{f}

μιας συνάρτησης που δίνεται μόνο με τον τύπο της.

Βήματα

1Παρονομαστής: θέσε τον $\neq = 0$ .
2Υπόρριζο (άρτια ρίζα): θέσε το $\geq 0$ .
3Όρισμα λογαρίθμου: θέσε το $> 0$ .
4Πάρε την τομή όλων των περιορισμών — αυτό είναι το $D_{f}$ .

Παράδειγμα

Για

f (x) = \frac{1}{x - 2} + x

χρειάζεται

x - 2 \neq = 0

και

x \geq 0

, άρα

D_{f} = [0, 2) \cup (2, + \infty)

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = x - 3$ .
2
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 4}$ .
3
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .
4
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{4} - x^{2}$ είναι άρτια ή περιττή.
5
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{3} - x$ είναι άρτια ή περιττή.
6
Είναι ίσες οι $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ και $g (x) = x + 2$ ;
7
Αν $f (x) = 2 x - 1$ και $g (x) = x^{2}$ , να βρείτε την $(g \circ f) (x)$ .
8
Με τις ίδιες $f$ , $g$ , να βρείτε την $(f \circ g) (x)$ .
9
Αν $f (x) = x^{2}$ και $g (x) = x + 3$ , να υπολογίσετε την τιμή $(f + g) (2)$ .
10
Αν $f (x - 2) = x^{2} + 1$ , να βρείτε τον τύπο της $f (x)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f (x) = x - 1 + \frac{1}{x - 3}

Δίνονται

f (x) = x

και

g (x) = x - 2

. Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισμού της

f \circ g

Για ποιες τιμές του

x

είναι ίσες οι

f (x) = x^{2}

και

g (x) = x

;

Αν

f (x + 1) = x^{2} + 2 x

, να βρείτε τον τύπο της

f (x)

Δίνεται

f (x) = x^{3} - 3 x

. Να δείξετε ότι είναι περιττή και να υπολογίσετε το

f (- 2)

αξιοποιώντας το

f (2)

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Συνάρτηση

f

ορισμένη για

x \neq = 0

ικανοποιεί

f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x

για κάθε

x \neq = 0

. Να βρείτε τον τύπο της

f

Συνάρτηση

f : R \to R

ικανοποιεί

f (x + y) = f (x) + f (y)

για κάθε

x, y

και

f (1) = 4

. Να βρείτε τα

f (0)

f (2)

f (3)

και να δείξετε ότι η

f

είναι περιττή.

Δίνεται

f (x) = \frac{x}{x + 1}

, με

x \neq = - 1

. Να βρείτε τον τύπο της

f \circ f

και τους περιορισμούς του.

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}

Δίνεται

f (x) = 2 x - 1

. Να βρείτε συνάρτηση

g

ώστε

(f \circ g) (x) = x^{2} + 1

για κάθε

x

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) = x + 3

και

g (x) = x^{2} - 1

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των

f

και

g

β) Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισμού της

f \circ g

γ) Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισμού της

g \circ f

δ) Να λύσετε την εξίσωση

(g \circ f) (x) = 0

ε) Να εξετάσετε αν η

g

είναι άρτια.

Θ2

Συνάρτηση

f : R \to R

ικανοποιεί

f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y

για κάθε

x, y

και

f (1) = 3

α) Να βρείτε το

f (0)

β) Να δείξετε ότι

f (2) = 8

και

f (3) = 15

γ) Να βρείτε και να επαληθεύσετε τον τύπο της

f

δ) Να δείξετε ότι

f (x) + f (- x) = 2 x^{2}

ε) Να υπολογίσετε το

f (- 1)

Θ3

Δίνεται συνάρτηση

f

με

f (x + 1) = x^{2} + 3 x + 2

για κάθε

x

α) Να βρείτε τον τύπο της

f (x)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τα

f (0)

f (2)

γ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 0

δ) Να δείξετε ότι

f (x) + f (- x) = 2 x^{2}

ε) Να εξετάσετε αν η

f

είναι άρτια ή περιττή.

Θ4

Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) = ∣ x - 1∣

και

g (x) = 2 x + 1

α) Να υπολογίσετε την

(f \circ g) (x)

β) Να υπολογίσετε την

(g \circ f) (x)

γ) Να λύσετε την εξίσωση

(f \circ g) (x) = 3

δ) Να γράψετε την

(f \circ g) (x)

χωρίς απόλυτη τιμή.

ε) Να εξετάσετε αν η

f \circ g

είναι άρτια.

Θ5

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

, με

x \neq = 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f

β) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 3

γ) Να δείξετε ότι

f (x) = 2 + \frac{3}{x - 1}

δ) Να βρείτε για ποια

x

ισχύει

f (x) > 2

ε) Να εξηγήσετε γιατί η

f

δεν παίρνει ποτέ την τιμή 2.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.2 Συναρτήσεις

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

β) Πότε δύο συναρτήσεις

f

και

g

είναι ίσες;

ΘΕΜΑ Β

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f (x) = x - 3

β) Αν

f (x) = x^{2}

και

g (x) = x + 1

, να βρείτε την

(g \circ f) (x)

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

ƒ Quiz · Συναρτήσεις στην Ανάλυση

← Προηγούμενο

1.1 Πραγματικοί Αριθμοί

Επόμενο →

1.3 Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση