Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.1 Πραγματικοί Αριθμοί

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.1 Πραγματικοί Αριθμοί

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔢Το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών

•
Το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα — του άξονα των πραγματικών αριθμών.
•
Ρητοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) τη μορφή $\frac{α}{β}$ , όπου α, β ακέραιοι με $β \neq = 0$ . Το σύνολό τους συμβολίζεται με ℚ.
•
Για τα σύνολα ℕ, ℤ, ℚ και ℝ ισχύει η αλυσίδα εγκλεισμών: $N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R$
•
Θυμήσου: ℕ $= {0, 1, 2, 3$ , …} (φυσικοί), ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} (ακέραιοι). Τα σύνολα χωρίς το 0 τα γράφουμε ℕ*, ℤ*, ℚ*, ℝ*.

⚖️Πράξεις και διάταξη στο ℝ

•
Στο ℝ ορίζονται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός (και μέσω αυτών η αφαίρεση και η διαίρεση), με τις γνωστές ιδιότητες. Ορίζεται επίσης η διάταξη , με βασικές ιδιότητες:
•
1) Αν $α \geq β$ και $β \geq γ$ , τότε $α \geq γ$ (μεταβατική ιδιότητα).
•
2) α ≥ β ⇔ $α + γ \geq β + γ$ .
•
3) Αν $γ > 0$ , τότε $α \geq β$ ⇔ $α γ \geq β γ$ . Αν $γ < 0$ , τότε $α \geq β$ ⇔ $α γ \leq β γ$ .
❓ Γιατί:Όταν πολλαπλασιάζεις ανίσωση με αρνητικό αριθμό, η φορά της ανισότητας ΑΛΛΑΖΕΙ. Είναι το λάθος που ξεχνιέται πιο συχνά.
•
4) Αν $α \geq β$ και $γ \geq δ$ , τότε $α + γ \geq β + δ$ (πρόσθεση ανισοτήτων ίδιας φοράς).
•
5) Αν $α, β \geq 0$ και ν ∈ ℕ*, τότε $α \geq β$ ⇔ $α^{ν} \geq β^{ν}$ .
$α \geq β$ $⟺ α^{ν} \geq β^{ν}$

📏Διαστήματα πραγματικών αριθμών

•
Αν α, β ∈ ℝ με $α < β$ , ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β τα παρακάτω σύνολα:
•
Ανοικτό διάστημα: $(α, β) = {x$ ∈ ℝ | $α < x < β}$ — τα άκρα ΔΕΝ περιλαμβάνονται.
•
Κλειστό διάστημα: $[α, β] = {x$ ∈ ℝ | $α \leq x \leq β}$ — τα άκρα περιλαμβάνονται.
•
Μικτά: [α, β) (κλειστό-ανοικτό) και (α, β] (ανοικτό-κλειστό).
•
Μη φραγμένα διαστήματα με ένα άκρο: (α, +∞), [α, +∞), (−∞, α), (−∞, α]. Το ίδιο το ℝ γράφεται (−∞, +∞).
•
Τα σημεία ενός διαστήματος Δ που είναι διαφορετικά από τα άκρα του λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ.

📐Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

•
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού α, που συμβολίζεται με |α|, ορίζεται ως εξής: $∣ α ∣ = α, αν α \geq 0 και ∣ α ∣ = - α, αν α < 0$
•
Γεωμετρικά: το |α| είναι η απόσταση του α από το 0, ενώ το |α − β| είναι η απόσταση των α και β πάνω στον άξονα.
•
Ιδιότητες: |α| $² = α^{2}$ και $α^{2} =$ |α|. $α^{2} = ∣ α ∣$
•
Για τις πράξεις: |αβ| = |α||β| και | $\frac{α}{β}$ | = |α|/|β| $(β \neq = 0)$ .
•
Τριγωνική ανισότητα: |α| − |β| ≤ |α + β| ≤ |α| + |β|.
•
Πολύ χρήσιμη ισοδυναμία: | $x - x_{0}$ | $< δ$ ⇔ $x_{0} - δ < x < x_{0} + δ$ (με δ > 0).
❓ Γιατί:Εκφράζει αλγεβρικά το «ο $x$ είναι κοντά στο $x_{0}$ ». Είναι ο πυρήνας του ορισμού του ορίου που έρχεται στη §1.4.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Κάθε ακέραιος είναι και ρητός αριθμός.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

α^{2} = α

για κάθε πραγματικό α.

3Σωστό / Λάθος

Αν

α \geq β

και

γ < 0

, τότε

α γ \leq β γ

4Πολλαπλής επιλογής

Το σύνολο {x ∈ ℝ |

- 2 \leq x < 5}

γράφεται ως διάστημα:

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο κάνει |3 − 8|;

6Πολλαπλής επιλογής

Η ανισότητα |

x - 4

< 2

ισοδυναμεί με:

7Πολλαπλής επιλογής

Γιατί η ισοδυναμία |

x - x_{0}

< δ

⇔

x_{0} - δ < x < x_{0} + δ

είναι τόσο σημαντική για τη συνέχεια του κεφαλαίου;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlg-1.1-m4
Αν $1 < x < 4$ , μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση $2 x - 3$ ;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Από $1 < x < 4$ πολλαπλασιάζουμε με 2 (θετικό, η φορά μένει): $2 < 2 x < 8$ .
2. 2
  Αφαιρούμε 3 σε όλα τα μέλη: $- 1 < 2 x - 3 < 5$ .
2Μεσαίοlg-1.1-m2
Να απλοποιήσετε την παράσταση $Π = x^{2} +$ | $x$ |, για $x < 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Ισχύει $x^{2} =$ | $x$ |, άρα $Π =$ | $x$ | + | $x$ | $= 2$ | $x$ |.
2. 2
  Αφού $x < 0$ , είναι | $x$ | $= - x$ .
3. 3
  Επομένως $Π = 2 (- x) = - 2 x$ .
3Εύκολοlg-1.1-e3
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της παράστασης $\frac{1}{x - 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός: $x - 3 \neq = 0$ .
2. 2
  Άρα $x \neq = 3$ .
3. 3
  Σε μορφή ένωσης διαστημάτων: (−∞, 3) ∪ (3, +∞).
4Μεσαίοlg-1.1-m3
Να αποδείξετε ότι, αν $2 \leq x \leq 6$ , τότε | $x - 4$ | $\leq 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το κέντρο του διαστήματος [2, 6] είναι το 4.
2. 2
  Από $2 \leq x \leq 6$ αφαιρούμε 4 σε όλα τα μέλη: $- 2 \leq x - 4 \leq 2$ .
3. 3
  Αυτό ισοδυναμεί με | $x - 4$ | $\leq 2$ .
5Μεσαίοlg-1.1-m1
Να λύσετε την ανίσωση | $x - 2$ | $\leq 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία | $x - x_{0}$ | $\leq δ$
2. 2
  $x_{0} - δ \leq x \leq x_{0} + δ$ , με $x_{0} = 2$ και $δ = 5$ . Άρα $2 - 5 \leq x \leq 2 + 5$ . Δηλαδή $- 3 \leq x \leq 7$ , οπότε $x$ ∈ [−3, 7].
6Μεσαίοlg-1.1-m5
Να γράψετε ως διάστημα το σύνολο $B = {x$ ∈ ℝ | $x \geq - 2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το −2 περιλαμβάνεται (≥) και το σύνολο εκτείνεται δεξιά ως το +∞.
2. 2
  Άρα $B$ = [−2, +∞).
7Εύκολοlg-1.1-e2
Να υπολογίσετε την παράσταση $K =$ |−7| + |2 − 5| − |3|.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Είναι |−7| $= 7$ .
2. 2
  Επίσης |2 − 5| = |−3| $= 3$ και |3| $= 3$ .
3. 3
  Άρα $K = 7 + 3 - 3 = 7$ .
8Εύκολοlg-1.1-e1
Να γράψετε ως διάστημα το σύνολο $A = {x$ ∈ ℝ | $- 1 \leq x < 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το −1 ικανοποιεί τη σχέση με ≤, άρα είναι κλειστό άκρο.
2. 2
  Το 3 δεν περιλαμβάνεται (ισχύει $x$ < 3), άρα είναι ανοικτό άκρο.
3. 3
  Επομένως $A = [- 1, 3)$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlg-1.1-h2
Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση $A =$ | $x - 1$ | + | $x - 4$ |, για $1 \leq x \leq 4$ .
2Μεσαίοlg-1.1-m5
Να γράψετε ως διάστημα το σύνολο $B = {x$ ∈ ℝ | $x \geq - 2}$ .
3Δύσκολοlg-1.1-h1
Να λύσετε την ανίσωση | $2 x - 1$ | $< 3$ .
4Μεσαίοlg-1.1-m1
Να λύσετε την ανίσωση | $x - 2$ | $\leq 5$ .
5Μεσαίοlg-1.1-m4
Αν $1 < x < 4$ , μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση $2 x - 3$ ;
6Μεσαίοlg-1.1-m3
Να αποδείξετε ότι, αν $2 \leq x \leq 6$ , τότε | $x - 4$ | $\leq 2$ .
7Μεσαίοlg-1.1-m2
Να απλοποιήσετε την παράσταση $Π = x^{2} +$ | $x$ |, για $x < 0$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν δίνεται σύνολο πραγματικών με ανισότητες και ζητείται να γραφεί ως διάστημα.

Βήματα

1Εντόπισε τα άκρα από τις ανισότητες.
2Κλειστό άκρο για $\leq$ ή $\geq$ , ανοικτό για $<$ ή $>$ .
3Γράψε το διάστημα· αν λείπει σημείο στη μέση, χρησιμοποίησε ένωση.

Παράδειγμα

Οι

x

με

- 1 \leq x < 3

δίνουν το

[- 1, 3)

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να γράψετε ως διάστημα τους πραγματικούς $x$ με $2 < x \leq 7$ .
2
Να γράψετε ως διάστημα τους πραγματικούς $x$ με $x \leq 0$ .
3
Να υπολογίσετε την παράσταση $∣ - 3∣ + ∣5 - 9∣ - ∣ - 2∣$ .
4
Να λύσετε την ανίσωση $∣ x - 1∣ \leq 4$ .
5
Να λύσετε την ανίσωση $∣2 x - 6∣ < 4$ .
6
Αν $- 2 < x < 3$ , μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το $3 x + 1$ ;
7
Να απλοποιήσετε την $x^{2} - ∣ x ∣$ για $x \geq 0$ .
8
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\frac{1}{x + 2}$ .
9
Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιμή την $∣ x - 3∣$ για $x \geq 3$ .
10
Να αποδείξετε ότι αν $1 \leq x \leq 5$ , τότε $∣ x - 3∣ \leq 2$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να λύσετε την ανίσωση

∣ x - 2∣ < 3

και να γράψετε τη λύση ως διάστημα.

Αν

- 1 < x < 2

, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση

4 - 2 x

Να απλοποιήσετε την παράσταση

x^{2} + ∣ x - 1∣

για

x \in [0, 1]

Να λύσετε την ανίσωση

∣2 x + 1∣ \geq 3

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι για κάθε

α, β, γ \in R

ισχύει

α^{2} + β^{2} + γ^{2} \geq α β + β γ + γ α

Να αποδείξετε ότι για κάθε

x \in {R}

ισχύει

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ \geq 2

Αν

∣ x - 2∣ < 1

και

∣ y - 3∣ < 2

, να αποδείξετε ότι

∣ x + y - 5∣ < 3

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί

x

με

2 \leq x \leq 5

α) Να γράψετε το σύνολο των τιμών του

x

ως διάστημα.

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιμή την παράσταση

∣ x - 2∣

γ) Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιμή την παράσταση

∣ x - 5∣

δ) Να υπολογίσετε την παράσταση

∣ x - 2∣ + ∣ x - 5∣

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.1 Πραγματικοί αριθμοί

Ύλη: §1.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε ισχύει

x^{2} = x

;

β) Σωστό ή Λάθος: για κάθε

α, β \in R

ισχύει

∣ α + β ∣ \leq ∣ α ∣ + ∣ β ∣

ΘΕΜΑ Β

α) Να λύσετε την ανίσωση

∣ x - 3∣ < 2

β) Αν

0 < x < 4

, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση

2 x - 1

ΘΕΜΑ Γ

Να αποδείξετε ότι για κάθε

x \in {R}

ισχύει

∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣ \geq 2

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

ƒ Quiz · Συναρτήσεις στην Ανάλυση

Επόμενο →

1.2 Συναρτήσεις