Μελέτη

Γ΄ Λυκείου

🧠 Γενική εξάσκηση

Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης Κεφ. 2 - Διαφορικός Λογισμός Κεφ. 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

✨Premium Modules — Γ΄ Λυκείου

Διαδραστικά, αυτόνομα

Ειδικές Περιπτώσεις

🎯

Ισχυρισμοί & Αντιπαραδείγματα

Σωστό/Λάθος με αναλυτικές απαντήσεις

Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

Θεωρία Ασκήσεις Τράπεζας48 Κουίζ59

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 48 προς λύση

Τι θα τυπωθεί:Κενό για λύση:48 από 48

Ονοματεπώνυμο	Τμήμα	Ημερομηνία

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.

1.2 Συναρτήσεις

1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26603Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$ .
β)Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ .
γ)Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Γ;
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #26637Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = x$ και $g (x) = ln x$ .
α)Να ορίσετε τη συνάρτηση $f c d o t g$ .
β)Να ορίσετε τη συνάρτηση $\frac{f}{g}$ .
γ)Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f c d o t g$ και $\frac{f}{g}$ , που ορίσατε στα ερωτήματα α) και β).
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #29830Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = 9 - x^{2}$ και $g (x) = \frac{4 - x ^{2}}{x}$ .
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να ορίσετε τις συναρτήσεις: i. $f c d o t g$ ii. $\frac{f}{g}$
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #26604Δύο εταιρείες Ε1 και Ε2 δραστηριοποιούνται στον χώρο της γεώτρησης νερού. Η πολιτική των χρεώσεων προς τους πελάτες τους είναι διαφορετική. Η εταιρεία Ε1 χρεώνει 1500 ευρώ για την εκπόνηση της αρχικής μελέτης και 200 ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα 15 πρώτα μέτρα. Αν δεν βρεθεί νερό μέχρι τα 15 μέτρα, τότε αλλάζει τη χρέωση από 200 σε 250 ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μετά τα 15 πρώτα. Η Ε2 χρεώνει 300 ευρώ για κάθε μέτρο βάθους.
α)Αν $f (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία Ε1 για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, να βρείτε: i. Τον τύπο της συνάρτησης $f$ . ii. Το ποσό που θα χρεώσει η εταιρεία Ε1 σε πελάτη που χρειάστηκε να φτάσει σε βάθος 12 μέτρων μέχρι να βρει νερό. iii. Αν κάποιος πελάτης ξόδεψε για τη γεώτρησή του 5050 ευρώ, σε ποιο βάθος έφτασε;
β)Αν $g (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία Ε2 για γεώτρηση $x$ μέτρων βάθους, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $g$ .
γ)Σε ποιο βάθος σταμάτησαν τη γεώτρησή τους δύο γείτονες που συνεργάστηκαν με διαφορετική εταιρεία ο καθένας τους, βρήκαν νερό στο ίδιο βάθος και πλήρωσαν ακριβώς το ίδιο ποσό;
δ)Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής $x$ , δηλαδή για ποια μέτρα βάθους, συμφέρει η επιλογή της εταιρείας Ε1.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #28304Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης $f : R \to R$ διέρχεται από τα σημεία $A (2, 2), B (- 2, 2)$ και $Γ (0, - 2)$ και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Έστω επίσης η συνάρτηση $g : R \to R$ με $g (x) = ∣ x ∣$ .
α)Να βρείτε τις τιμές $f (2), f (- 2)$ και $f (0)$ .
β)Να βρείτε τις τιμές $(g \circ f) (2)$ , $(g \circ f) (- 2)$ και $(g \circ f) (0)$ .
γ)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ φαίνεται στο σχήμα. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g \circ f$ .
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #29831Δίνεται η συνάρτηση $f : R^{*} \to R$ και η συνάρτηση $g (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ .
α)Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$ είναι το διάστημα (−1, 1).
β)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f \circ g$ .
γ)Δίνεται ότι η συνάρτηση $f (x) = \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 1}$ , με $x \in R^{*}$ . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $(f \circ g) (x)$ .
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #29832Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 1}$ και $g (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ .
α)Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ είναι το $R^{*}$ και της $g$ το διάστημα (−1, 1).
β)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f \circ g$ .
γ)Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $(f \circ g) (x)$ .
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35168Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ και $h$ με $f (x) = ln (1 + e^{x})$ , $g (x) = 2 ln x$ και $h (x) = ln (1 + x^{2})$ .
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να ορίσετε τη συνάρτηση $f \circ g$ .
γ)Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις $f \circ g$ και $h$ είναι ίσες.

1.5 Ιδιότητες των Ορίων

31.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #24768Θεωρούμε τις συναρτήσεις με τύπους $f (x) = x^{2} - x + 1$ και $g (x) = 4 x - 3$ .
α)Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει $f (x) \geq \frac{3}{4}$ .
β)Να βρείτε τη συνάρτηση $h = g \circ f$ .
γ)Αν $h (x) = ∣2 x - 1∣$ είναι η σύνθεση του ερωτήματος β), να υπολογίσετε το όριο $x \to 0 lim \frac{h ( x ) - 1}{x + 1 - 1}$ .
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #28477Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = e^{3 x + 2}$ , $x \in R$ , και $g (x) = ln x^{2}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $g$ .
β)Να βρείτε τη συνάρτηση $g \circ f$ .
γ)Αν $(g \circ f) (x) = 6 x + 4$ , $x \in R$ , να υπολογίσετε το όριο $x \to 0 lim \frac{( g \circ f ) ( x ) - ημ ^{2} x - 4}{x}$ .

1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο x₀

33.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #23217Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = ln (x - 1)$ και $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .
α)Να εξετάσετε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια, αιτιολογώντας την απάντησή σας. i. $x \to 1^{+} lim f (x)$ ii. $x \to 1 lim g (x)$
β)Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της $f \cdot g$ ii. το $x \to 1 lim (f (x) \cdot g (x))$ .
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #23314Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ , για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και ότι τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ σε ένα μόνο σημείο, με τετμημένη −2, και τον άξονα $y$ ΄ $y$ σε ένα μόνο σημείο, με τεταγμένη 2.
α)Από τη γραφική παράσταση ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να προσδιορίσετε τα όρια: i. $x \to 0 lim f (x)$ ii. $x \to - 2^{+} lim f (x)$ iii. $x \to - 2^{-} lim f (x)$
β)Να βρείτε τα όρια: i. $x \to - 2^{+} lim \frac{1}{f ( x )}$ ii. $x \to - 2^{-} lim ln (f (x))$ , και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο

35.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #23641Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f : R \to R$ .
α)Να λύσετε την ανίσωση $f (x^{2}) < f (x)$ .
β)Αν $α^{2} < α$ , τότε να αποδείξετε ότι $x \to + \infty lim ([f (α^{2} - α) - f (0)] x) = - \infty$ .
γ)Να λύσετε την εξίσωση $f (e^{x} - 1) = f (0)$ .
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34439Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , με $x \neq = 1$ , και $g (x) = \frac{1}{e ^{x}}$ , με $x \in R$ .
α)i. Να ορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $h (x) = (f \circ g) (x)$ . ii. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $h (x) = (f \circ g) (x)$ .
β)Αν $h (x) = \frac{e ^{x}}{1 - e ^{x}}$ , με $x \in R^{*}$ , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ είναι «1-1».
γ)Για την ίδια συνάρτηση $h$ , να υπολογίσετε το όριο $x \to + \infty lim h (x)$ .