📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 5 - Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση

§5.3 Λογαριθμική συνάρτηση

•
Μέθοδος 1: φέρνουμε σε μορφή $α^{x} = α^{y}$ → $x = y$ .
💡 Παράδειγμα:
$3^{2 x - 1} = 27 \to 3^{2 x - 1} = 3^{3} \to 2 x - 1 = 3 \to x = 2.$
•
Μέθοδος 2: λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη (όταν δεν γίνεται κοινή βάση).
💡 Παράδειγμα:
$2^{x} = 7 \to x \cdot lo g 2 = lo g 7 \to x = lo g \frac{7}{lo g} 2.$
•
Μέθοδος 3: αλλαγή μεταβλητής. Αν εμφανίζεται $a$ ˣ και $a^{2}$ ˣ, θέτω $t = a^{x} (t > 0)$ .
💡 Παράδειγμα:
$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0.$
$(2^{x})^{2} - 5 (2^{x}) + 4 = 0.$
$t = 2^{x} : t^{2} - 5 t + 4 = 0 \to t = 1 \overset{η}{ˊ} 4 \to 2^{x} = 1 \overset{η}{ˊ} 2^{x} = 4 \to x = 0 \overset{η}{ˊ} x = 2.$

•
Βήμα 0 (κρίσιμο): περιορισμοί ορισμού — κάθε λογάριθμος απαιτεί το όρισμά του $> 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$lo g (x - 1) \overset{ε}{ˊ} χει ν \overset{ο}{ˊ} ημα μ \overset{ο}{ˊ} νο \overset{ο}{ˊ} ταν x > 1.$
❓ Γιατί:Ο λογάριθμος ορίζεται μόνο σε θετικούς. Στο τέλος πρέπει να επαληθεύσουμε ότι κάθε λύση δέχεται όλους τους περιορισμούς.
•
Μέθοδος 1: log_α $A = lo g$ _α $B ⟺ A = B$ (με $A, B > 0$ ).
💡 Παράδειγμα:
$lo g (x + 1) = lo g (2 x - 3) \to x + 1 = 2 x - 3 \to x = 4.$
$Έλεγχος : x + 1 = 5 > 0 και 2 x - 3 = 5 > 0 ✓ .$
•
Μέθοδος 2: log_α $A = c ⟺ A = α^{c}$ .
💡 Παράδειγμα:
$lo g_{2} (x - 1) = 3 \to x - 1 = 2^{3} = 8 \to x = 9 (μ \overset{ε}{ˊ} σα στο πεδ \overset{ι}{ˊ} ο) .$
•
Μέθοδος 3: αξιοποίηση ιδιοτήτων για να φέρουμε σε ενιαία λογαριθμική μορφή.
💡 Παράδειγμα:
$lo g x + lo g (x - 3) = 1 \to lo g (x (x - 3)) = lo g 10 \to x^{2} - 3 x = 10 \to x = 5 \overset{η}{ˊ} - 2.$
$Δεκτ \overset{η}{ˊ} μ \overset{ο}{ˊ} νο η x = 5 (αφο \overset{υ}{ˊ} x > 3) .$

1Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

3^{2 x - 1} = 27

έχει λύση:

2Σωστό / Λάθος

Για

α > 0

α \neq = 1

ισχύει:

α^{x} = α^{y} \Leftrightarrow x = y

3Σωστό / Λάθος

Στην εξίσωση

lo g (x - 1) = lo g (2 - x)

οι περιορισμοί ορισμού δίνουν

1 < x < 2

4Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

2^{x} = 7

έχει λύση:

5Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0

έχει λύσεις:

6Σωστό / Λάθος

Ισχύει:

lo g_{α} A = c \Leftrightarrow A = c^{α}

7Σωστό / Λάθος

Σε μια λογαριθμική εξίσωση, κάθε ρίζα της αλγεβρικής εξίσωσης που προκύπτει είναι αυτόματα δεκτή λύση.

8Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

lo g x + lo g (x - 3) = 1

έχει:

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-5.3-h1
Ο νόμος $B o ug u er - L amb er t$ : $I = I_{0} \cdot e^{- λh}$ . Αν $λ = 1, 4 m$ ⁻¹ και $ln 2 = 0, 7$ , βρες σε ποιο βάθος $h$ η ένταση γίνεται $\frac{1}{4}$ της αρχικής.
2Μεσαίοlb-5.3-m1
Λύσε: $9 \cdot 2^{x} = 4 \cdot 3^{x}$ .
3Μεσαίοlb-ep-m2
Λύσε: $lo g (x^{2} - 1) = lo g (3 x + 3)$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.