Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 92 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:92 από 92
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
5.1 Εκθετική Συνάρτηση
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15393Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=2x,x ∈ ℝ και δύο άλλων συναρτήσεων g(x) και h(x), x∈R που προέκυψαν από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f(x).
α)Να εξηγήσετε με τι είδους μετατοπίσεις προέκυψαν οι γραφικές παραστάσεις των g(x) και h(x) από την γραφική παράσταση της f(x).
β)Να γράψετε τους τύπους των συναρτήσεων g(x) και h(x).
γ)Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Α της γραφικής παράστασης της f του οποίου η τεταγμένη είναι 16.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21451Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=3x,x ∈ ℝ.
α)Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g(x)=3x+1 και h(x)=3x−1, μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
β)Ποια είναι η ασύμπτωτη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g και ποια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h;
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #18866Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=2x,x ∈ ℝ.
α)Να λύσετε την εξίσωση 2x−1=0.
β)i. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=2x−1,x ∈ ℝ. ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g με τους άξονες συντεταγμένων.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20855Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(21)x. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f και της ευθείας ε: y=81.
α)Να λύσετε την εξίσωση (21)x=81.
β)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία ε.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την ευθεία ε.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21091Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης f, με πεδίο ορισμού το σύνολο ℝ.
α)i. Με βάση την γραφική της παράσταση, να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης f για τις τιμές x=−1,x=0,x=1,x=2 και x=3. ii. Να βρείτε τον τύπο της εκθετικής συνάρτησης f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=32.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21163Δίνεται το σημείο A(1,21) το οποίο ανήκει στη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f.
α)Αν η συνάρτηση f είναι εκθετική συνάρτηση αx, με 0<α<1, να βρείτε το α.
β)Για α=21: i. να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f(x)=αx. ii. να συγκρίνετε τους αριθμούς α2 και α3.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21993Στα παρακάτω δύο συστήματα αξόνων δίνονται γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων. Το πάνω σύστημα αφορά το ερώτημα α) και το κάτω το ερώτημα β).
α)Ποια από τις δύο καμπύλες C1 (συνεχής γραμμή) και C2 (διακεκομμένη γραμμή) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=2x και ποια της συνάρτησης g(x)=3x; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Ποια από τις δύο καμπύλες C3 (συνεχής γραμμή) και C4 (διακεκομμένη γραμμή) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ(x)=4x και ποια της συνάρτησης ψ(x)=4−x; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21994Η καμπύλη που φαίνεται στο παρακάτω σύστημα αξόνων δείχνει την εκθετική απόσβεση ενός ραδιενεργού υλικού σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ειδικότερα, ο οριζόντιος άξονας δηλώνει τον χρόνο t σε ημέρες (π.χ. η 1η ημέρα αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα από t=0 μέχρι t=1, η 2η ημέρα στο χρονικό διάστημα από t=1 μέχρι t=2κ.λπ.) και ο κατακόρυφος άξονας δηλώνει την ποσότητα του υλικού σε γραμμάρια (gr). Σε όλα τα ερωτήματα, να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
α)Πόσα γραμμάρια ήταν η αρχική (t=0) ποσότητα του ραδιενεργού υλικού;
β)Πόση είναι η ημιζωή (ή χρόνος υποδιπλασιασμού) του ραδιενεργού υλικού;
γ)Κατά τη διάρκεια ποιας ημέρας θα έχει απομείνει ποσότητα ραδιενεργού υλικού μικρότερη από 1 gr;
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15269Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διπλού τύπου.
α)Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση αντιστοιχεί σε μια ακριβώς από τις παρακάτω συναρτήσεις, να επιλέξετε ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Α. f(x)=ex για x<0 και f(x)=e−x για x≥0. Β. f(x)=e−x για x<0 και f(x)=ex για x≥0.
β)Να βρείτε τη μονοτονία και την μέγιστη τιμή της.
γ)Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του α, το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης Cf της f με την ευθεία y=α,α ∈ ℝ.
δ)Να αιτιολογήσετε γιατί το μοναδικό κοινό σημείο της γραφικής παράστασης Cf της f με την παραβολή y=x2+1,x ∈ ℝ είναι το σημείο (0, 1).
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18693Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=(42−λ)x.
α)Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η f είναι εκθετική συνάρτηση.
β)Για ποιες τιμές του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα;
γ)Για λ=0: i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. ii. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(x+1)=6.
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20642Έστω f: ℝ → ℝ μια γνησίως μονότονη και περιττή συνάρτηση και g(x)=ex−1,x ∈ ℝ. Αν η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από το σημείο A(−1,2), τότε:
α)Να βρείτε το f(1) και να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β)Να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από το σημείο Ο(0, 0).
γ)Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f και να αιτιολογήσετε γιατί οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Ο.
δ)Έστω f(x)=−2x3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης h της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από την Cf αν την μετατοπίσουμε 2 μονάδες αριστερά και μια μονάδα πάνω.
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20689Δίνεται η ανίσωση x+1x−2>0 και η συνάρτηση f(x)=(α+1α−2)x, με x∈R και α∈R.
α)Να λυθεί η ανίσωση x+1x−2>0.
β)Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(α+1α−2)x, με x∈R. i. Να βρεθούν οι τιμές του α∈R, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι καλώς ορισμένη. ii. Για ποιες τιμές του α∈R η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα; iii. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τιμές του πραγματικού αριθμού α για τις οποίες η συνάρτηση f είναι σταθερή.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20854Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e∣x∣, x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια.
β)Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=0 και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της.
γ)Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f.
δ)Αν g(x)=συνx,x ∈ [−2π,2π], τότε να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21444Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: ℝ → ℝ με τύπους f(x)=4x και g(x)=2x−41.
α)Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο Α, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.
β)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, με εξαίρεση το σημείο Α.
γ)Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g στο ίδιο σύστημα αξόνων.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21448Όταν ένας ασθενής παίρνει μια δόση ενός φαρμάκου τη χρονική στιγμή t=0, τότε ο οργανισμός του το μεταβολίζει έτσι ώστε η ποσότητά του f(t) (σε mg) να μειώνεται μετά από t ημέρες σύμφωνα με τη συνάρτηση f(t)=q0⋅αt,t≥0, όπου οι αριθμοί α, q0 είναι κατάλληλες θετικές σταθερές.
α)Να εξηγήσετε τι παριστάνει η σταθερά q0 στο πλαίσιο του προβλήματος και να αιτιολογήσετε γιατί ισχύει 0<α<1.
β)Υποθέτουμε τώρα ότι μία ημέρα μετά τη λήψη του φαρμάκου, η ποσότητά του στον οργανισμό του ασθενούς έχει υποδιπλασιαστεί. i. Να αποδείξετε ότι α=21. ii. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης f για t=0,1,2,3,4,5 και 6, εκφράζοντας τις τιμές f(t) ως συνάρτηση της αρχικής τιμής q0. Στον πίνακα δίνονται ήδη συμπληρωμένες οι δύο πρώτες τιμές: για t=0 είναι q0 και για t=1 είναι 2q0.
γ)Υποθέτουμε τώρα ότι α=21 και ότι η ποσότητα του φαρμάκου που παραμένει στον οργανισμό στο τέλος της 4ης ημέρας είναι 25 mg. i. Να υπολογίσετε την ποσότητα της δόσης που πήρε ο ασθενής. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0, 6].
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21471Δίνεται η συνάρτηση f(x)=α⋅2x+β για κάθε x∈R και α, β∈R. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(1, 3) και Β(2, 13).
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
β)Αν α=5 και β=−7, να βρείτε το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y΄y.
γ)Για α=5 και β=−7, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.
δ)Για α=5 και β=−7, να λύσετε την ανίσωση f(x)>4x−3.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21677Είναι γνωστό ότι όταν κάποιος μελετάει για να συμμετάσχει σε κάποιες εξετάσεις, με την πάροδο του χρόνου δεν συγκρατεί στη μνήμη του το σύνολο όσων μελέτησε. Ένα μοντέλο που δείχνει το ποσοστό P(t) της γνώσης που παραμένει στην μνήμη του t εβδομάδες μετά το τέλος της μελέτης είναι το μοντέλο Ebbinghaus και περιγράφεται από τον τύπο P(t)=Q+(100−Q)e−ct, με t∈[0,40], όπου Q είναι το ποσοστό της γνώσης που θυμάται πάντα και c μια σταθερά που εξαρτάται από το μάθημα. Δίνονται Q=40 και c=0,7. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Θεωρήστε ότι ln6=1,79.
α)Τι δείχνει το P(0) στα πλαίσια του προβλήματος;
β)Μετά από πόσες εβδομάδες θα έχει παραμείνει στην μνήμη του το 50% της γνώσης που απέκτησε;
γ)Να εκτιμήσετε, με βάση τη γραφική παράσταση, αν μετά από τρεις εβδομάδες θα θυμάται πάνω ή κάτω από το 50% του υλικού που μελέτησε. Η εκτίμησή σας συμφωνεί με το αποτέλεσμα του προηγούμενου ερωτήματος;
δ)Πως αιτιολογείται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, για μεγάλες τιμές του t, φαίνεται να προσεγγίζει πάρα πολύ την ευθεία y=40; Γιατί δεν μπορεί να κατέβει κάτω από την ευθεία αυτή;
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21854Ένα δοχείο περιέχει υγρό το οποίο εξατμίζεται. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η ποσότητα Q, σε λίτρα, του υγρού που έχει απομείνει στο δοχείο μετά από t ημέρες. Η ποσότητα του υγρού στο δοχείο μειώνεται εκθετικά και μετά από t ημέρες δίνεται από τη σχέση Q(t)=Q0⋅2−ct, με c∈R, όπου Q0 η αρχική ποσότητα του υγρού.
α)Με βάση το διάγραμμα: i. να συμπληρώσετε τον πίνακα με την ποσότητα Q(t) του υγρού σε λίτρα για t=0,t=2,t=4 και t=6ημέρες. ii. να βρείτε την αρχική ποσότητα Q0 του υγρού. iii. να βρείτε τον χρόνο που χρειάζεται για να εξατμιστεί η μισή ποσότητα του υγρού που υπήρχε τη χρονική στιγμή t=0 στο δοχείο.
β)Αν Q0=8 και Q(2)=4, να δείξετε ότι c=2.
γ)Αν Q(t)=8⋅2−2t, να δείξετε ότι χρειάζεται να περάσουν δύο ημέρες για να εξατμιστεί η μισή ποσότητα Q(t) του υγρού που υπάρχει στο δοχείο οποιαδήποτε χρονική στιγμή t.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #15023Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [−1, 1], η οποία είναι περιττή και γνησίως φθίνουσα.
α)Από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις μόνο μία μπορεί να είναι η γραφική παράσταση της f. Να βρείτε ποια είναι, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=f(x)+2.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x)=f(x−1).
δ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης s(x)=ex−1 και να αποδείξετε, αλγεβρικά ή γραφικά, ότι η εξίσωση s(x)=f(x) έχει μοναδική λύση τηx=0.
5.2 Λογάριθμοι
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15687Δίνεται η παράσταση A=log43+log4α−log4β, όπου α, β θετικοί αριθμοί.
α)Να αποδείξετε ότι A=log4(β3α).
β)Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει 3α=16β, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α.
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15816Δίνονται οι αριθμοί α=ln2,β=ln4 και γ=ln8.
α)Να αποδείξετε ότι 2β=α+γ.
β)Να αποδείξετε ότι β+γ=5α.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15817Δίνονται οι αριθμοί α=ln2 και β=ln3. Δίνεται ότι e≈2,71.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί 0<α<β.
β)Να αποδείξετε ότι β−α<1.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #19903Αν α=log100+log5+log2−log1, τότε:
α)Να δείξετε ότι α=3.
β)Να λύσετε την εξίσωση 9⋅2x=4⋅αx.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20663Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=(log28)⋅x3+(4log22)⋅x2−(4log21)⋅x+1990.
α)Να αποδείξετε ότι log28+2log22−log21=4.
β)Να υπολογίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x−2).
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20710Δίνονται οι αριθμοί α=log20 και β=log50. Δίνεται ότι e≈2,71.
α)Να αποδείξετε ότι β+α=3.
β)Να αποδείξετε ότι ln(β+α)>1.
γ)Να αποδείξετε ότι 10β−10α=10⋅(β+α).
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20711Δίνονται οι αριθμοί α=log3 και β=log4.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί 0<α<β.
β)Να αποδείξετε ότι: i. β+α>1 ii. ln(βα)<0
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21676Είναι γνωστό ότι ln4=1,386 και ln5=1,609.
α)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=ln(5e)−ln(e4).
β)Με τη βοήθεια της ισότητας 80=5⋅42, να αποδείξετε ότι ln80=4,381.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21858Δίνεται η παράσταση A=2log5+2log2.
α)Να αποδείξετε ότι A=2.
β)Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία ισχύει eλ=A.
γ)Για την τιμή του λ που βρήκατε στο β), να αποδείξετε ότι lnλ<0.
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15251Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−9x2+(α−2)x−6, το οποίο έχει παράγοντα το x−1.
α)Να βρείτε τον αριθμό α.
β)Για α=15: i. να κάνετε τη διαίρεση P(x) : (x2−3x+2) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. ii. αν P(x)=(x2−3x+2)(2x−3), να λύσετε την ανίσωση P(x)<0. iii. να αποδείξετε ότι P(ln2)<0.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15474Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση P(x)=elne⋅x3+4x2⋅lne+2.
α)Να δείξετε ότι P(x)=ex3+2x2+2.
β)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της P με την ευθεία ε: y=ex+4.
γ)Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της P είναι πάνω από την ευθεία ε.
δ)Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης P(e)−e2−4.
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15591Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(α+5α)x.
α)Να βρείτε τις τιμές του α∈R για τις οποίες η f είναι εκθετική και ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς.
β)Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ)Για τη μεγαλύτερη τιμή του α∈Z για την οποία η f είναι γνησίως αύξουσα εκθετική με βάση ακέραιο αριθμό, να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(x+1)=14.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15822Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx3+βx2+x, με α, β∈Z και α=0, το οποίο έχει 3 ακέραιες ρίζες διαφορετικές ανά δύο.
α)Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες του P(x).
β)Να αποδείξετε ότι α=−1 και β=0.
γ)Με α=−1 και β=0: i. να λύσετε την ανίσωση P(x)>0. ii. να αποδείξετε ότι P(log10)>0.
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15823Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο 4x2−1 δίνει πηλίκο 3x−2 και υπόλοιπο 1.
α)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=1.
β)Να αποδείξετε ότι P(log5)=1.
γ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση P(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (−1, 0).
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18110Δίνεται η παράσταση x(ex−1), με x∈R.
α)i. Να λύσετε την εξίσωση x(ex−1)=0. ii. Να βρεθεί, για τις διάφορες τιμές του x∈R, το πρόσημο του γινομένου x(ex−1).
β)Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xex−x. i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii. Να υπολογίσετε τις τιμές f(0), f(ln2) και f(−ln2). iii. Να εξετάσετε αν είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός «η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της».
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18429Η μονάδα μέτρησης της έντασης του ήχου είναι το ένα Watt ανά τετραγωνικό μέτρο. Στο ανθρώπινο αυτί, η ελάχιστη ένταση που γίνεται αντιληπτή είναι 10−12 (Watt ανά τετραγωνικό μέτρο). Για να μετρήσουμε τη στάθμη της έντασης ενός ήχου, χρησιμοποιούμε την κλίμακα Decibel (Db). Το επίπεδο της στάθμης σε Db δίνεται από τη σχέση D=10⋅log(I0I), όπου I0 η ελάχιστη αντιληπτή ένταση και I η ένταση του ήχου.
α)Να βρείτε το επίπεδο των Db που παράγει ένα μαχητικό αεροσκάφος, αν γνωρίζουμε ότι η ένταση του ήχου του είναι 100 Watt ανά τετραγωνικό μέτρο.
β)Να αποδείξετε ότι μια αύξηση του επιπέδου στάθμης οποιουδήποτε ήχου κατά 20 Db αντιστοιχεί σε ήχο έντασης 100 φορές μεγαλύτερης.
γ)Το όριο πόνου του ανθρώπινου αυτιού λόγω έντασης ήχου είναι 120 Db. Η έκθεση σε ήχους πάνω από 120 Db μπορεί να οδηγήσει σε προβλήματα ακοής ή κώφωση. Ποια είναι η αντίστοιχη ένταση ήχου στο όριο του πόνου για τον άνθρωπο;
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18434Ο Νόμος των Bouguer–Lambert στη φωτομετρία λέει ότι η ένταση I μιας ακτινοβολίας (ηλιακό φως, ακτίνες Χ, κ.λπ.) που εισχωρεί κατακόρυφα σε ένα διαφανές μέσο (νερό λιμνών, θαλάσσης, γυαλί, κ.λπ.) μειώνεται εκθετικά, απορροφούμενη από το μέσο, συναρτήσει του βάθους (πάχους) h του μέσου, σύμφωνα με τη συνάρτηση I=I0⋅e−λh, όπου λ>0 σταθερά και I0 η αρχική ένταση.
α)Να εξετάσετε αν υπάρχει κάποιο βάθος h στο οποίο η ένταση της ακτινοβολίας να είναι μηδέν.
β)Γνωρίζουμε ότι για καθαρό νερό θαλάσσης είναι λ=1,4m−1 (το m παριστάνει μέτρα) και ότι μια συγκεκριμένη μορφή φυτικής ζωής δεν μπορεί να υπάρξει, όταν η ένταση του ηλιακού φωτός γίνει μικρότερη ή ίση από το 41 της αρχικής έντασης. Να βρείτε για ποιες τιμές του βάθους h συμβαίνει αυτό. (Δίνεται ότι ln2=0,7.)
γ)Σε κάποιο άλλο διαφανές μέσο, γνωρίζουμε ότι σε βάθος 10 m η ένταση μιας ακτινοβολίας μειώνεται στο μισό της έντασης της αρχικής ακτινοβολίας. Να αποδείξετε ότι στη συγκεκριμένη κατάσταση ισχύει I=I0⋅2−10h.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20657Σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, η θερμοκρασία θ, σε βαθμούς Κελσίου, ενός αντικειμένου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου t, σε λεπτά, σύμφωνα με τη συνάρτηση θ(t)=T+(θ0−T)ekt, όπου k μια σταθερά με k<0,θ0 η αρχική θερμοκρασία του αντικειμένου, ενώ T είναι η σταθερή θερμοκρασία του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο τοποθετείται το αντικείμενο, με θ0>T. Ένα αντικείμενο έχει θερμανθεί στους 100 βαθμούς Κελσίου και στη συνέχεια αφήνεται να κρυώσει σε ένα δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία 30 βαθμών Κελσίου. Γνωρίζουμε ότι 5 λεπτά μετά την τοποθέτηση του αντικειμένου στο δωμάτιο, η θερμοκρασία του αντικειμένου είναι 80 βαθμοί Κελσίου. Δίνεται ότι ln(75)=−0,336 (προσεγγιστικά) και (75)10≈0,034.
α)Να αποδείξετε ότι k=−0,0672.
β)Να αποδείξετε ότι θ(t)=30+70⋅(75)5t.
γ)Να βρείτε, με προσέγγιση εκατοστού, τη θερμοκρασία του αντικειμένου μετά από 1 ώρα και 40 λεπτά.
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20669Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2+1−x, με πεδίο ορισμού το ℝ.
α)i. Να αποδείξετε ότι x2+1−x>0, για κάθε x∈(−∞,0). ii. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
β)Δίνεται η συνάρτηση g(x)=ln(x2+1+x), με πεδίο ορισμού το ℝ. i. Να αποδείξετε ότι g(−x)+g(x)=0, για κάθε x∈R. ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο.
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20847Αν I είναι η ένταση του ήχου (σε Watt ανά τετραγωνικό μέτρο), τότε η αντίστοιχη ηχοστάθμη D (σε ντεσιμπέλ) δίνεται από τον τύπο D=10⋅log(1012⋅I). Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα ηχοστάθμης: όριο ακοής 0 ντεσιμπέλ, θρόισμα φύλλων 10 ντεσιμπέλ, συνήθης ψίθυρος 20 ντεσιμπέλ, αθόρυβο αυτοκίνητο 50 ντεσιμπέλ, συνήθης ομιλία 65 ντεσιμπέλ, κυκλοφοριακή κίνηση 80 ντεσιμπέλ, αεροσυμπιεστής (κομπρεσέρ) σε απόσταση 3 μέτρων 90 ντεσιμπέλ, όριο πόνου 120 ντεσιμπέλ, αεριωθούμενο 140 ντεσιμπέλ.
α)Να βρείτε την ένταση του ήχου που δημιουργεί το θρόισμα των φύλλων.
β)Αν η ένταση του ήχου σε μία ροκ συναυλία είναι 1 Watt ανά τετραγωνικό μέτρο, να ελέγξετε αν η ηχοστάθμη στην οποία εκτίθεται το κοινό αγγίζει το όριο του πόνου.
γ)Αν διπλασιάσουμε την ένταση του ενισχυτή ενός στερεοφωνικού συστήματος, τότε να υπολογίσετε πόσα ντεσιμπέλ θα αυξηθεί η στάθμη του εξερχόμενου ήχου. (Δίνεται ότι log2≈0,3.)
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18235Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x)=∣ex−1∣, με x∈R.
α)Να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να περιγράψετε πώς αυτή μπορεί να προκύψει από τη γνωστή γραφική παράσταση της g(x)=ex, με x∈R.
β)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να συμπεράνετε τη μονοτονία και την ελάχιστη τιμή της f.
γ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=21.
δ)Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του α, το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης Cf με την ευθεία y=α.
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18437Ένα από τα επιβλητικότερα μνημεία του κόσμου είναι η αψίδα Gateway Arch στην πόλη Saint−Louis των Η.Π.Α. Θεωρώντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, όπως στο παρακάτω σχήμα, η πρόσοψη της αψίδας προσεγγίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=−192(e100x+e−100x)+576, με f(x)≥0, όπου οι αριθμοί x και f(x) μετρούνται σε μέτρα. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης λέγεται αλυσοειδής καμπύλη.
α)Να αποδείξετε ότι το μέγιστο ύψος ΟΚ της αψίδας είναι 192 μέτρα.
β)Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Α στο οποίο η καμπύλη τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οx. Δίνεται ότι ln(23+5)≈0,96.
γ)Αν γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α και Β έχουν αντίθετες τετμημένες, να αποδείξετε ότι το πλάτος ΑΒ της αψίδας είναι ίσο με το μέγιστο ύψος της ΟΚ.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18863Δίνονται οι συναρτήσεις φ(x)=x, με x≥0,f(x)=x−1, με x≥1, και g(x)=3x+1, με x∈R.
α)Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.
β)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ. i. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της φ, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. ii. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, να σχεδιάσετε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
γ)Με τη βοήθεια του σχήματος ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g.
δ)Να αποδείξετε ότι ln10−1>31+ln10.
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20845Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x)=eκx, όπου κ≥0.
α)Να αποδείξετε ότι f(1)−f(0)≥f(0)−f(−1). Πότε ισχύει η ισότητα;
β)Να αποδείξετε ότι αν κ>0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
γ)i. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει e2x>2ex. ii. Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα, να αντιστοιχίσετε τις C1 και C2 με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ(x)=2ex και k(x)=e2x. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του κοινού τους σημείου Α;
5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15267Δίνεται η εξίσωση log(x2+1)=1+log3−log6.
α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γράφεται log(x2+1)=log5.
β)Να λύσετε την εξίσωση.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15675Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex−1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #17318Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x2−2x+3), με x∈R.
α)Να βρείτε το f(3).
β)Να δείξετε ότι ln3+3ln2−f(3)=ln4.
γ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=ln4.
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #19908Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x1−x).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20635Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x+1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β)Να εξετάσετε αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Ο(0, 0).
γ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=2.
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20692Δίνεται η συνάρτηση f(x)=logx, με x>0.
α)Να υπολογίσετε τους αριθμούς f(100) και f(10).
β)Για x>1, να επιλύσετε την εξίσωση f(x+1)+f(x−1)=log10−log5.
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20725Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=logx και g(x)=log(x+2).
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.
β)Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. f(x)=2. ii. g(x)=2f(x).
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20727Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=logx και g(x)=ln(x−1).
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.
β)Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. logx=3. ii. ln(x−1)=1.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20729Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x−1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x΄x.
γ)Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20730Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(1−x).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να λυθεί η εξίσωση ln(1−x)=ln(x2+1).
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20851Δίνονται οι παραστάσεις A=2log6−log12 και B=log5+log2.
α)Να αποδείξετε ότι A=log3 και B=1.
β)Να αποδείξετε ότι A<B.
γ)Να λύσετε την ανίσωση logx<1.
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21174Δίνεται η εξίσωση log(x+1)=−log2−log(1−x).
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του x∈R ορίζεται η εξίσωση.
β)Να λύσετε την εξίσωση log(x+1)=log(21)−log(1−x).
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15617Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln∣x∣1.
α)Να αποδείξετε ότι f(x)=−ln∣x∣, για κάθε πραγματικό x με x=0.
β)i. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x)=ln∣x∣. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. ii. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g, με g(x)=lnx και x>0, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, για x=1.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15808Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x+2).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.
γ)Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=lnx. Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας και να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g.
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20853Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x−1). Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=lnx, με x>0.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της g, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
γ)Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21449Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(x+1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να βρείτε τα σημεία τομής, αν υπάρχουν, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x΄x και y΄y.
γ)Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της y=lnx.
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21450Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ln(x2+4) και g(x)=lnx+ln4.
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x).
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21472Δίνονται η εξίσωση ln(x+1)=ln(2x) και η ανίσωση ln(x+1)>ln(2x).
α)Να λύσετε την εξίσωση ln(x+1)=ln(2x).
β)Να λύσετε την ανίσωση ln(x+1)>ln(2x).
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21473Δίνεται η παράσταση A=lnx+ln(x+6).
α)Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α.
β)Να λύσετε την εξίσωση lnx+ln(x+6)=ln7.
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21675Δίνεται η εξίσωση log(x2+1)=1−log2.
α)Να αποδείξετε ότι 1−log2=log5.
β)Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21952Δίνεται η παράσταση A=lne+log3100. Δίνεται ότι e≈2,71.
α)Να αποδείξετε ότι A=67.
β)Να αποδείξετε ότι 0<lnA<1.
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21953Δίνεται η παράσταση A=eln2+102log5.
α)Να αποδείξετε ότι A=7.
β)Να αποδείξετε ότι 0<logA<1.
66.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21954Δίνεται η παράσταση A=ln(lne)+log(log1010).
α)Να αποδείξετε ότι: i. log1010=10. ii. A=1.
β)Να λυθεί η εξίσωση log(x2+1)=A.
67.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21956Δίνεται η παράσταση A=2log5+3log2−log20.
α)Να αποδείξετε ότι A=1.
β)Να λυθεί η εξίσωση ln(ex−1)=A.
68.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15015Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−x2−2x. Στα ερωτήματα β) και γ) ο συμβολισμός ln3x σημαίνει την τρίτη δύναμη του ln x, δηλαδή ln3x=(lnx)3, και όμοια για το ln2x.
α)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
β)Να λύσετε την εξίσωση ln3x−ln2x−2lnx=0.
γ)Να λύσετε την ανίσωση ln3x−ln2x−2lnx>0.
69.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15021Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xx2+1.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β)Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0, 0).
γ)Να υπολογίσετε την παράσταση f(ln2)+f(ln(21)).
δ)Να αποδείξετε ότι f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0, για κάθε πραγματικό θ με ημθ =0.
70.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15093Δίνεται η συνάρτηση f(x)=log(10x−1).
α)Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα (0,+∞).
β)Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
γ)Να αποδείξετε ότι f(x)+x=log(102x−10x), για κάθε x>0.
δ)Να βρείτε τις συντεταγμένες του μοναδικού κοινού σημείου της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας y=−x.
71.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15679Δίνεται η παράσταση A=ln(ex−3e2x−1).
α)Να λύσετε την ανίσωση ω−3ω2−1>0.
β)Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α.
γ)Να λύσετε την εξίσωση A=−ln3.
72.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15678Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=−x3−4x2−x+6.
α)Να λύσετε την ανίσωση P(x)<0.
β)Από τα σχήματα που δίνονται, ένα μόνο μπορεί να αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P(x). Να βρείτε ποιο, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
γ)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση P(x)=lnx έχει μοναδική λύση, το x=1.
73.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15688Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex−1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το σημείο τομής της γραφικής της παράστασης με τον άξονα x΄x.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=x−1.
γ)Να αποδείξετε ότι αν α>0, τότε η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία y=x+α.
74.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15690Δίνεται η συνάρτηση f(x)=21⋅lnx2, με x=0.
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y΄y.
β)Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει f(x)=lnx.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
δ)Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική της παράσταση είναι κάτω από την ευθεία y=2.
75.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15694Στην Αστρονομία οι αστέρες ταξινομούνται ανάλογα με τη λαμπρότητά τους με βάση τη σχέση m−M=5log(10d), όπου d η απόσταση του αστέρα από τον παρατηρητή, m το φαινόμενο μέγεθός του, δηλαδή το πόσο λαμπρός φαίνεται, και M το απόλυτο μέγεθός του. Το απόλυτο μέγεθος ορίζεται ως το φαινόμενο μέγεθος σε απόσταση 10 parsec από τον παρατηρητή, όπου το parsec είναι η μονάδα μέτρησης της απόστασης d και ισούται με 3,26 έτη φωτός.
α)Για ποιες τιμές της απόστασης d το φαινόμενο μέγεθος ενός αστέρα είναι μικρότερο από το απόλυτο μέγεθός του;
β)Ένας αστέρας έχει φαινόμενο μέγεθος m=1,157 και βρίσκεται σε απόσταση d=100parsec από έναν παρατηρητή. Ποιο είναι το απόλυτο μέγεθος αυτού του αστέρα;
γ)Να επιλύσετε τη σχέση m−M=5log(10d) ως προς d.
δ)Ο αστέρας Betelgeuse έχει φαινόμενο μέγεθος 0,46 και απόλυτο μέγεθος −5,14. Ποια είναι η απόστασή του από τον παρατηρητή; Δίνεται ότι 251053≈131.
76.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #16001Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=xlnx και g(x)=lnx. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f.
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους.
β)Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση της f είναι από τη γραφική παράσταση της g και πάνω.
γ)i. Να βρείτε τη μονοτονία της f. ii. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(35) και f(57).
δ)Να σχεδιάσετε την ευθεία y=1−x και να βρείτε γραφικά τη λύση της εξίσωσης f(x)=1−x.
77.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18865Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln∣x∣.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να προσδιορίσετε το είδος της συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f.
γ)Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
δ)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση E(x)=21⋅(x−1)⋅lnx, με x στο (0,1)∪(1,+∞), μπορεί να περιγράψει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Α(1, 0), Β(x, 0) και Γ(x, ln x).
78.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20857Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−αx2+7x−β, με α και β πραγματικούς αριθμούς. Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το x−3, και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x+1) είναι υ=−16.
α)Να υπολογιστούν οι τιμές των α και β.
β)Αν είναι α=5 και β=3, να λυθεί η εξίσωση P(x)=0.
γ)Αν είναι α=5 και β=3, να λυθεί η ανίσωση P(x)<0.
δ)Αν P(lnκ)<0, τότε να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού κ.
79.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21445Δίνεται η συνάρτηση f(x)=log(2x+54x−1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=log3−log7.
γ)Να λύσετε την ανίσωση f(x)>log3−log7.
80.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21446Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex−2).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)+x=3ln2.
γ)Να λύσετε την ανίσωση f(x)+x≥3ln2.
81.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21447Σε ένα πείραμα εργαστηρίου ο αριθμός των βακτηρίων δίνεται από τον τύπο P(t)=200ect, όπου t ο χρόνος σε ώρες από την αρχή του πειράματος. Σε μία ώρα ο αριθμός των βακτηρίων ήταν 328. Δίνεται ότι ln1,64≈0,5 και ln10≈2,3.
α)Να βρείτε τον αριθμό των βακτηρίων όταν ξεκίνησε το πείραμα.
β)Να αποδείξετε ότι c=21.
γ)Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο ο αριθμός των βακτηρίων είναι μεγαλύτερος από το δεκαπλάσιο και μικρότερος από το εκατονταπλάσιο της αρχικής του τιμής.
82.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21470Μια ποσότητα Q ραδιενεργού υλικού, μετρημένη σε κιλά, θάβεται και με την πάροδο του χρόνου t, μετρημένου σε έτη, μειώνεται ακολουθώντας τον νόμο της εκθετικής μεταβολής Q(t)=Q0ect. Γνωρίζουμε ότι μετά από δύο χρόνια έχει απομείνει το 31 της αρχικής ποσότητας και μετά από τέσσερα χρόνια έχει απομείνει 1 κιλό.
α)Να δείξετε ότι Q(t)=Q0⋅(31)t.
β)Να βρείτε την αρχική ποσότητα που θάφτηκε, δηλαδή για t=0.
γ)Να βρείτε μετά από πόσα χρόνια η ποσότητα που θα έχει απομείνει θα είναι 811 του κιλού.
83.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21474Σε ένα ανοιχτό δοχείο υπάρχουν 10 λίτρα ενός υγρού. Το υγρό εξατμίζεται έτσι ώστε ο όγκος του να μειώνεται κατά 15% ανά εβδομάδα.
α)Να βρείτε την ποσότητα του υγρού που υπάρχει στο δοχείο στο τέλος της 1ης και στο τέλος της 2ης εβδομάδας.
β)Ο όγκος V του υγρού μετά από t εβδομάδες δίνεται από τη συνάρτηση V(t)=V0⋅αt, όπου V0 και α σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς V0 και α.
γ)Αν ο όγκος του υγρού μετά από t εβδομάδες δίνεται από τη σχέση V(t)=10⋅(0,85)t, να βρείτε πότε ο όγκος του υγρού που υπάρχει στο δοχείο είναι μικρότερος από το μισό της αρχικής του τιμής. Δίνεται ότι log0,5=−0,3 και log0,85=−0,07.
84.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21678Ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού λέμε τον χρόνο που απαιτείται για να διασπαστεί η μισή από την αρχική του ποσότητα, οπότε να απομείνει το 50% από αυτή. Αν Q0 είναι η αρχική ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού, τότε η ποσότητα Q(t) που απομένει t χρόνια μετά δίνεται από τον τύπο Q(t)=Q0ect, όπου c μια σταθερά που εξαρτάται από το υλικό.
α)Να αποδείξετε ότι ο χρόνος ημιζωής t΄ δίνεται από τον τύπο t΄ =−cln2.
β)Το ραδιοϊσότοπο του άνθρακα, ο άνθρακας-14, έχει χρόνο ημιζωής 5730 χρόνια. Να αποδείξετε ότι η ποσότητα του άνθρακα-14, όταν έχουν περάσει t χρόνια, δίνεται από τον τύπο Q(t)=Q0e−5730ln2t.
γ)Κατά την εξέταση ενός οστού που ανακάλυψαν οι παλαιοντολόγοι διαπιστώθηκε ότι έχει απομείνει σε αυτό το 25% της αρχικής ποσότητας του άνθρακα-14. Να βρείτε την ηλικία του οστού.
85.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21680Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1)⋅lnx, με x>0, και η ευθεία ε με εξίσωση y=2x−2.
α)Να αποδείξετε ότι f(2)+f(4)=31⋅f(8).
β)Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση Cf της f είναι από τον άξονα x΄x και πάνω.
γ)Να βρείτε: i. Τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία ε. ii. Για ποιες τιμές του x η Cf είναι κάτω από την ευθεία ε.
86.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21679Ένα ζεστό ρόφημα, τη στιγμή που σερβίρεται σε περιβάλλον με σταθερή θερμοκρασία Tα=25 °C, έχει θερμοκρασία T0=73 °C. Η θερμοκρασία του ροφήματος μετά από t λεπτά δίνεται, σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, από τη συνάρτηση T(t)=Tα+c⋅e−κt, όπου c, κ κατάλληλες σταθερές και t∈[0,60]. Είναι γνωστό ότι η θερμοκρασία του ροφήματος μετά από 10 λεπτά είναι 61 °C. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης T(t) φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να αποδείξετε ότι c=48.
β)Να βρείτε τη σταθερά κ. Δίνεται ότι ln0,75=−0,3.
γ)Να βρείτε τη θερμοκρασία του ροφήματος 40 λεπτά μετά το σερβίρισμα. Δίνεται ότι e−1,2=0,3.
δ)Αν θεωρήσουμε ότι ο καταναλωτής έχει την αίσθηση του ζεστού όταν η θερμοκρασία του ροφήματος είναι μεγαλύτερη από 40 °C, να αιτιολογήσετε, με βάση τη γραφική παράσταση και το αποτέλεσμα του ερωτήματος γ), γιατί πριν περάσουν 40 λεπτά ο καταναλωτής έχει την αίσθηση ότι το ρόφημα δεν είναι πλέον ζεστό.
87.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21950Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lne2x+4ex−12e3x−8.
α)Να αποδείξετε ότι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης ω2+4ω−12ω3−8>0 είναι το (−6,2)∪(2,+∞).
β)Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το A=R−{ln2}.
γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και του άξονα x΄x.
88.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #25463Ένας ερευνητής πραγματοποίησε μια στατιστική μελέτη για τη μεταβολή του βάρους των Ελληνοπαίδων. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, όπου παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g. Στον οριζόντιο άξονα x΄x καταγράφεται η ηλικία σε μήνες και στον κατακόρυφο άξονα y΄y το βάρος σε κιλά. Η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει τις ελάχιστες φυσιολογικές τιμές και η γραφική παράσταση της g τις μέγιστες φυσιολογικές τιμές που μπορεί να έχει ένα παιδί κατά τη διάρκεια του πρώτου έτους της ηλικίας του. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f έχει τύπο f(x)=αln(x+1)+ln(x+1)+β, για x≥0, όπου α και β πραγματικοί αριθμοί, ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(0,2) και B(e2−1,22+4), και ότι η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f μετατοπισμένη κατά 3 μονάδες προς τα πάνω.
α)Να αποδείξετε ότι α=2 και β=2. Στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g.
β)Να προσδιορίσετε γραφικά (κατά προσέγγιση) την ηλικία κατά την οποία η ελάχιστη φυσιολογική τιμή του βάρους ενός παιδιού είναι τα 5 κιλά. Στη συνέχεια, με αλγεβρικό τρόπο, να βρείτε με ακρίβεια την ηλικία.
γ)Το βάρος ενός παιδιού στο τέλος του 12ου μήνα βρέθηκε 13 κιλά. Πώς θα το χαρακτηρίζατε: υπέρβαρο, φυσιολογικό ή λιποβαρές; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας με αλγεβρικό τρόπο.
89.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21674Δίνεται η συνάρτηση f(x)=log10x−2.
α)Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A = (log2,+∞).
β)Δίνεται η συνάρτηση g(x)=log310x, x∈R. i. Να λυθεί η εξίσωση 310x=10x−2 με x∈(log2,+∞). ii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.
90.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #37476Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−2x2−x+2.
α)Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα το x−1 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x−1).
β)Να αποδείξετε ότι P(x)<0 για κάθε x ∈ (−∞,−1)∪(1,2).
γ)Να αποδείξετε ότι 1<log20<2.
δ)Να αποδείξετε ότι P(log20)<0.
91.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #15392Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=2x και g(x)=51−x,x ∈ ℝ. Μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x΄x τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Η(0,51).
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.
β)Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Σ.
γ)Αν xB και xΣ είναι οι τετμημένες των σημείων Β και Σ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι xB−xΣ=log20.
92.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #15676Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex−1).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα x΄x.