📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 5 - Εκθετικές & Λογαριθμικές συναρτήσεις

§5.2 Λογαριθμική συνάρτηση

•
Για $α > 0, α \neq = 1$ και $θ > 0$ : log_α θ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α για να πάρουμε το θ.
$lo g_{α} θ = x$ $⟺ α^{x} = θ$
💡 Παράδειγμα:
$lo g_{2} 8 = 3 γιατ \overset{ι}{ˊ} 2^{3} = 8.$
$lo g_{1} 0100 = 2 γιατ \overset{ι}{ˊ} 1 0^{2} = 100.$
•
Ειδικές βάσεις: lo $g_{10}$ $x$ γράφεται log $x$ (δεκαδικός). log_e $x$ γράφεται ln $x$ (φυσικός λογάριθμος, βάση $e$ ≈ 2,718).
•
Άμεση ιδιότητα — ο λογάριθμος του 1 είναι 0 (αφού α⁰ = 1): $lo g_{α} 1 = 0$
•
Ο λογάριθμος της βάσης είναι 1 (αφού α¹ = α): $lo g_{α} α = 1$
•
Ο λογάριθμος δύναμης της βάσης ισούται με τον εκθέτη: $lo g_{α} α^{x} = x$
•
Η εκθετική και η λογαριθμική είναι αντίστροφες συναρτήσεις: $α^{l o g_{α} x} = x$

•
Γινόμενο: $lo g_{α} (x \cdot y) = lo g_{α} x + lo g_{α} y$
•
Πηλίκο: $lo g_{α} (\frac{x}{y}) = lo g_{α} x - lo g_{α} y$
•
Δύναμη: $lo g_{α} (x^{n}) = n \cdot lo g_{α} x$
❓ Γιατί:Όλες προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων. Π.χ. αν $α^{x} = u, α^{y} = v$ , τότε $u \cdot v = α^{x + y}$ , δηλαδή log_α $(uv) = x + y = lo g$ _α $u + lo g$ _α $v$ .
•
Αλλαγή βάσης: $lo g_{α} x = \frac{l o g _{β} x}{l o g _{β} α}$
💡 Παράδειγμα:
$lo g_{2} 5 = lo g \frac{5}{l o g} 2 (υπολογ \overset{ι}{ˊ} ζεται μ ε απλ \overset{ο}{ˊ} υπολογιστ \overset{η}{ˊ} τσ \overset{ε}{ˊ} πης) .$

•
Πεδίο ορισμού της $f (x) = lo g$ _α $x$ (ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικά): $D_{f} = (0, + \infty)$
•
Σύνολο τιμών της $f (x) = lo g$ _α $x$ (παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές): $f ((0, + \infty)) = R$
•
Τιμή στο 1: αφού log_α $1 = 0$ , η γραφική παράσταση διέρχεται από το (1, 0): $f (1) = 0$
•
Μονοτονία: $α > 1 : γνησ \overset{ι}{ˊ} ως α \overset{υ}{ˊ} ξουσα 0 < α < 1 : γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα$
•
Κατακόρυφη ασύμπτωτη: ο άξονας $y$ ′ $y (x = 0)$ . Καθώς $x$ → 0⁺, log_α $x$ → −∞ $(α > 1)$ .
•
Η λογαριθμική είναι η αντίστροφη της εκθετικής. Οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο $y = x$ .
❓ Γιατί:Με κατασκευή: log_α $θ = x$ ⇔ $α^{x} = θ$ . Άρα η συνάρτηση αντιστρέφει τη δράση της εκθετικής.

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-5.2-m1
Αν $α = lo g 100 + lo g 5 + lo g 2 + lo g 1$ , να δείξεις ότι $α = 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $lo g 100 = 2, lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1, lo g 1 = 0$ .
2. 2
  Σύνολο: $2 + 1 + 0 = 3$ .
2Μεσαίοlb-5.2-m2
Δείξε ότι $2 \cdot lo g 5 + 2 \cdot lo g 2 = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
$2 (lo g 5 + lo g 2) = 2 \cdot lo g (5 \cdot 2) = 2 \cdot lo g 10 = 2 \cdot 1 = 2$ .
3Εύκολοlb-5.2-e2
Υπολόγισε: $ln (e^{2}) - ln (e)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $ln (e^{2}) = 2, ln (e) = 1$ .
2. 2
  Διαφορά $= 1$ .
4Εύκολοlb-5.2-e1
Υπολόγισε: $lo g_{10} 100 + lo g_{10} 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $lo g 100 = 2, lo g 1 = 0$ .
2. 2
  Άθροισμα $= 2$ .

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-5.2-m1
Αν $α = lo g 100 + lo g 5 + lo g 2 + lo g 1$ , να δείξεις ότι $α = 3$ .
2Μεσαίοlb-5.2-m2
Δείξε ότι $2 \cdot lo g 5 + 2 \cdot lo g 2 = 2$ .
3Δύσκολοlb-5.2-h1
Αν $α = ln 2, β = ln 4, γ = ln 8$ , να δείξεις ότι $2 β = α + γ$ .
4Δύσκολοlb-5.2-h2
Δίνονται $α = lo g 20$ και $β = lo g 50$ . Να αποδείξεις ότι $α + β = 3$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.