Κεφ. 5 - Εκθετικές & Λογαριθμικές συναρτήσεις›5.1 Εκθετική Συνάρτηση

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 5 - Εκθετικές & Λογαριθμικές συναρτήσεις

§5.1 Εκθετική συνάρτηση

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📈Ορισμός & βασικά χαρακτηριστικά

•
Εκθετική συνάρτηση με βάση $α > 0, α \neq = 1$ : $f (x) = α^{x}, α > 0, α \neq = 1$
▶️ Slider βάσης α · γραφική εκθετικής y = αˣ ΚΑΙ λογαριθμικής y = log_α x μαζί.
y = 2.0^xy = log_2.0 x— — y = x
↗ Γνησίως αύξουσες (α > 1) · αντίστροφες, συμμετρικές ως προς y = x
βάση α = 2.00
•
Πεδίο ορισμού της $f (x) = α^{x}$ (η εκθετική ορίζεται για κάθε πραγματικό $x$ ): $D_{f} = R$
•
Σύνολο τιμών της $f (x) = α^{x}$ (παίρνει μόνο θετικές τιμές): $f (R) = (0, + \infty)$
•
Τιμή στο μηδέν: αφού $α^{0} = 1$ , η γραφική παράσταση διέρχεται πάντα από το (0, 1): $f (0) = 1$
▶️ y = αˣ και y = logαx — slider βάσης, συμμετρικές ως προς y = x.
y = 2.0^xy = log_2.0 x— — y = x
↗ Γνησίως αύξουσες (α > 1) · αντίστροφες, συμμετρικές ως προς y = x
βάση α = 2.00
•
Μονοτονία: $α > 1 : γνησ \overset{ι}{ˊ} ως α \overset{υ}{ˊ} ξουσα 0 < α < 1 : γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 2^{x} α \overset{υ}{ˊ} ξουσα .$
$f (x) = (\frac{1}{2})^{x} φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα .$
•
Οριζόντια ασύμπτωτη: ο άξονας $x$ ′ $x (y = 0)$ . Η αˣ δεν παίρνει ποτέ την τιμή 0.
❓ Γιατί:Για κάθε $x$ ∈ ℝ, $α^{x} > 0$ (αφού α > 0). Όσο πιο μικρό $x$ (για α>1), τόσο πιο κοντά στο 0 χωρίς να το αγγίζει.

🔗Ιδιότητες δυνάμεων

•
Γινόμενο εκθετικών με την ίδια βάση — προσθέτουμε εκθέτες: $α^{x} \cdot α^{y} = α^{x + y}$
•
Πηλίκο εκθετικών με την ίδια βάση — αφαιρούμε εκθέτες: $\frac{α ^{x}}{α ^{y}} = α^{x - y}$
•
Δύναμη εκθετικής — πολλαπλασιάζουμε εκθέτες: $(α^{x})^{y} = α^{x \cdot y}$
•
Δύναμη γινομένου με κοινό εκθέτη: $(α \cdot β)^{x} = α^{x} \cdot β^{x}$
•
Λύση εξίσωσης $α^{x} = α^{y}$ (με α > 0, α ≠ 1):
$α^{x} = α^{y}$ $⟺ x = y$
💡 Παράδειγμα:
$2^{x} = 2^{3}$ $⟺ x = 3.$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-5.1-m1
Δίνονται $f (x) = 4^{x}$ και $g (x) = 2 \cdot 2^{x} - 1$ . Δείξε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο και βρες το.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $f (x) = g (x)$
2. 2
  $4^{x} = 2 \cdot 2^{x} - 1$ . Θέτουμε $u = 2^{x}, u > 0$ : $u^{2} - 2 u + 1 = 0$
3. 3
  $(u - 1)^{2} = 0$
4. 4
  $u = 1$ . Άρα $2^{x} = 1$
5. 5
  $x = 0$ , μοναδική λύση. Κοινό σημείο: Α(0, 1).
2Μεσαίοlb-5.1-m2
Δίνεται $f (t) = q_{0} \cdot α^{t}, t \geq 0$ (ποσότητα φαρμάκου που υποδιπλασιάζεται κάθε ημέρα). Αν $α = \frac{1}{2}$ και $f (4) = 25 mg$ , βρες την αρχική δόση $q_{0}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $q_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{4} = 25$
2. 2
  $\frac{q _{0}}{16} = 25$
3. 3
  $q_{0} = 400 mg$ .
3Εύκολοlb-5.1-e2
Λύσε: $3^{x + 1} = 27$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $3^{x + 1} = 3^{3}$
2. 2
  $x + 1 = 3$
3. 3
  $x = 2$ .
4Εύκολοlb-5.1-e1
Λύσε: $2^{x} = 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2^{x} = 2^{3}$
2. 2
  $x = 3$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-5.1-m1
Δίνονται $f (x) = 4^{x}$ και $g (x) = 2 \cdot 2^{x} - 1$ . Δείξε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο και βρες το.
2Μεσαίοlb-5.1-m2
Δίνεται $f (t) = q_{0} \cdot α^{t}, t \geq 0$ (ποσότητα φαρμάκου που υποδιπλασιάζεται κάθε ημέρα). Αν $α = \frac{1}{2}$ και $f (4) = 25 mg$ , βρες την αρχική δόση $q_{0}$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📐 Quiz · Εκθετικές & Λογαριθμικές

← Προηγούμενο

4.4 Πολυωνυμικές Ανισώσεις

Επόμενο →

5.2 Λογαριθμική Συνάρτηση